Transcript Lesson9.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪9‬‬
‫המילטוניאן במערכת מואצת‬
‫סוגרי פואסון‬
‫המילטוניאן במערכת מסתובבת‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬לקבל את ההמילטוניאן של ג'וק המהלך על תקליט מסתובב‬
‫במהירות זוויתית שרירותית ‪.  t ‬‬
‫‪Ylab‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (t‬‬
‫‪Xlab‬‬
‫‪ ‬נעבוד בקואורדינטות קוטביות‪ .‬נסמן ב‪ r ,  -‬את הקואורדינטות במערכת‬
‫מסתובבת וב‪ rlab ,lab  -‬את מערכת המעבדה (צופה חיצוני אינרציאלי)‪.‬‬
‫‪ ‬היחס בין הקואורדינטות‪r  rlab ,    lab   t  :‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 9‬מערכות מואצות וסוגרי פואסון‬
‫‪2‬‬
‫המילטוניאן במערכת מסתובבת ‪-‬‬
‫סיום‬
‫‪ ‬מנקודת מבטו של צופה חיצוני‪ ,‬האנרגיה הקינטית תבוטא בקואורדינטות‬
‫מעבדה‪ .‬את הפוטנציאל ניתן לבטא בשתי מערכות הקואורדינטות בשווה‪:‬‬
‫‪  V r , ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪v lab  V r ,  ‬‬
‫‪rlab  rlab‬‬
‫‪ lab  V r ,  ‬‬
‫‪r  r 2   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ ‬כעת נחשב את התנעים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pr‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪pr  m r  r ‬‬
‫‪, p  m r      ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m r2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪pr‬‬
‫‪m  pr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  V r , ‬‬
‫‪H  pr r  p   L ‬‬
‫‪ p ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m r ‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪ 2 m‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪pr2‬‬
‫‪ p  H   p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫‪r‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lab‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2m 2m r‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן של הג'וק במערכת המסתובבת שונה מזה שבמערכת המעבדה‬
‫(או בבעיה ללא סיבוב התקליט) בגודל ‪. p‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪‬‬
‫תרגול ‪ – 9‬מערכות מואצות וסוגרי פואסון‬
‫‪3‬‬
‫טרנספורמציות קנוניות וסוגרי פואסון‬
‫‪ ‬מטרתנו בטרנספורמציות‪ :‬לפשט את משוואות התנועה במערכת המילטונית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬טרנספורמציה קנונית‪ :‬מעבר בין מערכות קנוניות ‪ q , p  Q , P‬‬
‫ששומר על הקנוניות שלהן ועל משוואות המילטון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬כלי חשוב ביותר‪ :‬סוגרי פואסון‬
‫‪N‬‬
‫‪  F G  F G ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F ,G q , p   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ pk  qk ‬‬
‫‪k 1   qk  pk‬‬
‫‪ ‬בפרט‪ ,‬אם הטרנספורמציה קנונית‪ ,‬מתקיים‪F ,G Q , P  F ,G q , p :‬‬
‫‪Q , P q , p  Q , P Q , P  1‬‬
‫‪ ‬ולגבי הקואורדינטות עצמן‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪d f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ ‬פונקציה ‪ f q , p , t ‬במערכת המילטונית מקיימת‪:‬‬
‫‪  f , H ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ‬בפרט‪ ,‬סוגרי פואסון של גודל שמור עם ההמילטוניאן מתאפסים‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 9‬מערכות מואצות וסוגרי פואסון‬
‫‪4‬‬
‫בחינת טיב הטרנספורמציות – דוגמא‬
 sin p  '‫א‬
 , P  q cot p ‫ האם הטרנספורמציה‬
?‫ היא קנונית‬Q  ln
 q 
:‫ נבדוק את סוגרי פואסון‬
sin p
Q
1
P
q
q2

 ;

sin p
q
q
 p sin2 p
q
cos p
Q
cos p
P
cos p
q


;
 cot p 
sin
p
p
sin p
q
sin p
q
Q , P q , p
5
Q  P Q  P
1
cos 2 p




1 
2
2
 q  p  p  q sin p sin p
‫ – מערכות מואצות וסוגרי פואסון‬9 ‫תרגול‬
‫ קנונית‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫בחינת טיב הטרנספורמציות – דוגמא‬
'‫ב‬



Q  ln 1  q cos p , P  1  q cos p

q sin p ‫ האם הטרנספורמציה‬
‫ נשים לב כי‬f q , p  1  q cos p :‫היא קנונית? כדאי להציב‬
 f cos p
f
fq 

; fp 
  q sin p  Q  ln f , P   f f p
q 2 q
p
:‫ כעת ניגש לחישוב סוגרי פואסון‬
fp
 Q  P  Q  P fq
2
 fq f p  f f pq  
Q , P  


 f p  f f pp 
q  p  p q
f
f
 f 
   cos p 
2   q 
2

 
 f p f pq  f q f pp  f p
 q sin p


 p fp 
 p  2 q sin p 

1
 sin2
2
6

 sin p cos 2 p  1
sin2 p  cos 2 p 1
2
  sin p
p 

 1
2
2
sin p
2
 sin p sin p  2
‫ לא קנונית‬
‫ – מערכות מואצות וסוגרי פואסון‬9 ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬