Transcript Lesson3.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪3‬‬
‫חשבון וריאציה‬
‫ולגרנז'יאן‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪1‬‬
‫עקרון המילטון‬
‫‪ ‬פעולה הינה פונקציונל מהצורה‬
‫(האינטגרציה מתבצעת לאורך המסלול‬
‫הפיסיקלי של המערכת)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L q t , q t , t dt‬‬
‫ק' בלתי‬
‫תלויה‬
‫‪‬‬
‫‪S q  ‬‬
‫‪Path‬‬
‫הלגרנז'יאן‬
‫קואורדינטו‬
‫ת מוכללות‬
‫‪ ‬עקרון המילטון‪ :‬לאורך המסלול הפיסיקלי‪ ,‬פעולת המערכת‬
‫מש' אוילר‬
‫מינימלית‪.‬‬
‫‪ ‬מסקנה‪ :‬במימד אחד‬
‫‪ ‬במספר מימדים‬
‫‪L‬‬
‫‪ L d   L‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ q d t   q ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L d  L ‬‬
‫)‪k  q  qk  0   q  d t   q   0 (no constraint s‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪ S q   0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S q   0 ‬‬
‫‪ ‬כשיש אילוצים שלא ניתן להיפטר מהם‪ ,‬נשתמש בכופלי לגרנז'‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪2‬‬
‫משוואות אוילר‬
 L d   L

  0

 q d t   q 
:‫ הניסוח המקורי‬
d   L d L  L  d   L  L d L  L

 q
 
 

 q 


d t   q  d t  t
 d t   q   q  d t  t
‫ ניתן להראות כי‬
=0
‫ הוא נוח במקרים‬.‫ הניסוח השני‬-
L d 
 L
 L  q
  0

t d t 
 q 
‫ומכאן‬
:‫ אז מקבלים‬.t -‫ אינו תלוי מפורשות ב‬L ‫בהם‬
L
L  q
 const
 q
3
‫ – חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬3 ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫בעיית ‪Brachistochrone‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬חלקיק נע בין ‪ 2‬נקודות במישור תחת כוח קבוע ) ‪.( m g‬‬
‫מהו המסלול המאפשר את המעבר המהיר ביותר בין הנקודות ?‬
‫‪ ‬נעביר את ציר ‪ X‬בכיוון הכוח ואת ציר ‪ Y‬ימינה‪ .‬המהירות‬
‫‪ ‬זמן התנועה הינו‬
‫‪ const‬‬
‫‪‬‬
‫'‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫'‪x 1 y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d x2  d y2‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪ds dx‬‬
‫‪T  d t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪dx v‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2g x‬‬
‫‪1  y '2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2g x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫'‪ y‬‬
‫‪v  2g x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d  L‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0 ‬‬
‫‪d x   y'‬‬
‫‪ L‬לא תלוי ב‪y-‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪4‬‬
‫בעיית ‪ - Brachistochrone‬המשך‬
‫‪1 / 2‬‬
‫‪:‬‬
‫ונקבל‬
‫‪ ‬נסמן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪const‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪2 a x  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 a y '2  x 1  y '2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  x    x 2a  x   2 a sin ‬‬
‫‪ ‬הפתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2a ‬‬
‫‪ ‬זוהי ציקלואידה; עדיף ביטוי פרמטרי (ש"ב)‬
‫‪1‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪5‬‬
‫הבעיה הגאודזית על‪-‬פני כדור‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬למצוא את המסלול הקצר ביותר בין ‪ 2‬נקודות על‪-‬פני כדור‬
‫‪ ‬אלמנט אורך על‪-‬פני כדור בעל רדיוס ‪ds  R d  2  sin 2  d 2 :R‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪ ‬הביטוי למרחק‬
‫‪d‬‬
‫‪ d  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  sin  ‬‬
‫‪ R  ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s  R  d  sin  d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬מכאן "הלגרנז'יאן" יהיה ‪ . L   '2  sin 2 ‬ניתן להשתמש בניסוח‬
‫השני של משוואת אוילר‪:‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪L  q‬‬
‫' ‪  '  sin    ‬‬
‫‪ '  sin    c‬‬
‫‪ q‬‬
‫' ‪‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  '  sin    '  c  '  sin    d ‬‬
‫‪sin sin 2   c 2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪6‬‬
‫הבעיה הגאודזית ‪ -‬המשך‬
‫‪ ‬האינטגרציה מביאה לתוצאה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  0 ,  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫כדי להבין את התוצאה‪ ,‬נשכתב אותה‪:‬‬
‫‪ cot ‬‬
‫‪  sin ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cot    sin  0 ‬‬
‫‪ cos 0  sin sin   sin0  sin cos   cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נסמן‪  cos 0  A;  sin 0  B :‬ונכפיל את המשוואה המתקבלת ב‪R-‬‬
‫‪AyBx  z‬‬
‫‪‬‬
‫‪A R sin sin   B R sin cos   R cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬זוהי משוואת מישור העובר דרך הראשית (=מרכז המעגל)‪ .‬המסלול‬
‫הגאודזי הינו חיתוך מישור זה עם פני הכדור‪ ,‬דהיינו קשת מעגלית‬
‫בין שתי הנקודות‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪7‬‬
‫הבעיה האלקטרוסטטית‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬כשישנם מספר משתנים בלתי תלויים (כגון ‪ t‬ו‪ ,) r   x, y, z -‬משוואת אוילר‬
‫תתרחב‪:‬‬
‫‪ L    L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪  r   t   t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬סימונים מועילים‪:‬‬
‫‪  q  ‬‬
‫‪L  L q, q,‬‬
‫‪, r , t  ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪i  ri‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪        i  ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬לקבל מש' אוילר עבור‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫;‪ i   i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L  E   ‬ולבדוק את התאמתו‪.‬‬
‫‪  E2 ‬‬
‫‪    i 2  i    2  2i   0‬‬
‫‪   i ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪   i   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫זוהי מש' לפלס כנדרש ולכן הלגרנז'יאן מתאים ‪  0‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 3‬חשבון וריאציה ולגרנז'יאן‬
‫‪8‬‬