Transcript Lesson1.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪1‬‬
‫מערכות יחוס‬
‫וטרנספורמציות‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪1 -‬מערכות יחוס וטרנספורמציות‬
‫‪1‬‬
‫מערכות יחוס‬
‫‪ ‬מיקומה של נקודה במרחב תלת‪-‬מימדי מוגדר ע"י קביעת ‪3‬‬
‫קואורדינטות בלתי‪-‬תלויות לינארית‬
‫‪ ‬מערכות הייחוס האורתוגונליות העיקריות‪:‬‬
‫‪ ‬קרטזית – )‪:(x, y, z‬‬
‫לכל הקואורדינטות אותו‬
‫מימד‬
‫‪ds 2  dx 2  dy 2  dz 2‬‬
‫‪dv  dx dy dz‬‬
‫‪‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U‬‬
‫‪grad U   U ‬‬
‫‪xˆ ‬‬
‫‪yˆ ‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪    Ax  Ay  Az‬‬
‫‪div A    A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪zp‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪yp‬‬
‫‪xp‬‬
‫‪X‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪1 -‬מערכות יחוס וטרנספורמציות‬
‫‪2‬‬
)‫מערכות יחוס (המשך‬
‫ חסרת מימד‬ ‫הזווית‬
 x  r cos  ; y  r sin  ; z  z

r  x 2  y 2 ;   tan 1 y ; z  z

x
rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ ; ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ
Z
z
ˆ
P
r̂

X
3
r
:(r, , z) – ‫ גלילית‬
Y
ds 2  dr 2  r 2 d 2  dz 2 ; dv  r dr d dz

U
1 U ˆ U
‫יעקוביאן‬
U 
rˆ 

zˆ
r
r 
z
  1 
1  A  Az
r Ar  
 A 

r r
r 
z
‫מערכות יחוס וטרנספורמציות‬1 - ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
)‫מערכות יחוס (סיום‬
‫ חסרות מימד‬ , ‫הזוויות‬
Z
r̂
P

ˆ
ˆ
r
Y

X
:(r, , ) – ‫ כדורית‬
 x  r cos  sin ; y  r sin  sin ; z  r cos 

 r  x 2  y 2  z 2 ;   tan 1 y ;   cos 1 z

x
r
 rˆ  cos  sin xˆ  sin  sin yˆ  cos  zˆ

ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ

ˆ  cos  cos  xˆ  sin  cos  yˆ  sin zˆ

ds 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 ; dv  r 2 sin dr d d

U
1 U ˆ
1 U ˆ
U 
rˆ 


‫יעקוביאן‬
r
r 
r sin  
  1  2
1

1  A
 A sin  
 A  2
r Ar 
r r
r sin  
r sin  

4

‫מערכות יחוס וטרנספורמציות‬1 - ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫טרנספורמציות‬
‫מימדית‬-‫ דוגמא דו‬:‫ טרנספורמציית סיבוב‬
Y
Y
Y’
P
P
y
X’
r

y’
x
'  
r'  r
X
x’

 x'  r cos  '  r cos     r cos  cos   sin  sin 
 
 y'  r sin  '  r sin     r sin  cos   cos  sin 
 x'  x cos   y sin

 y'   x sin  y cos 
5
r ’
 x'  cos 
    
 y'    sin 
‫מערכות יחוס וטרנספורמציות‬1 - ‫תרגול‬
sin   x 
  
cos    y 
‫סמסטר א' תשס"ד‬
X
)‫טרנספורמציות (המשך‬
i , j  x, y, z .j-‫ ל‬i’ ‫ את הזוית בין הצירים‬ i j -‫ נסמן ב‬
‫ אזי‬ i j  cos  i j
‫וכן‬
 x'  11 12   x 
  
   
 y'   21 22   y 
:‫• בשלושה מימדים נקבל‬
 x'  11 12
  
 y'    21 22
 z'   
   31 32
6
13   x 
 
23   y 
33   z 
‫מערכות יחוס וטרנספורמציות‬1 - ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪1 -‬מערכות יחוס וטרנספורמציות‬
‫‪7‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪1 -‬מערכות יחוס וטרנספורמציות‬
‫‪8‬‬
‫תרגילי בית‬
‫תרגום‪ :‬מצא את מטריצת הטרנספורמציה המסובבת את ציר ‪ Z‬במערכת קרטזית בזוית ‪450‬‬
‫בכיוון ציר ‪ .X‬הציר ‪ Y‬הינו ציר הסיבוב‪.‬‬
‫תרגום‪ :‬מצא את מטריצת הטרנספורמציה המסובבת מערכת קואורדינטות קרטזית בזוית‬
‫‪ ,1200‬כאשר ציר הסיבוב הוא קו היוצר זוויות זהות עם שלושת הצירים המקוריים‪.‬‬
‫תאריך הגשה‪ :‬י"ד חשון תשס"ד – ‪ 15‬נובמבר ‪2003‬‬
‫בהצלחה!‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪1 -‬מערכות יחוס וטרנספורמציות‬
‫‪9‬‬