Transcript lec14.ppt
גרביטציה שביל החלב ,הגלקסיה שלנו ,היא אוסף של אבק ,גז ,כוכבי לכת ומיליארדים של כוכבים ,ביניהם השמש שלנו .הכוח המחזיק את הגלקסיה ביחד הוא אותו כוח המחזיק אותנו לכדור הארץ :כוח הגרביטציה. כוח זה אחראי גם לחורים השחורים ,גופים כה דחוסים שאפילו אור אינו יכול להימלט מפניהם. אם כך ,כיצד מגלים כוכב כזה? בשביל החלב השמש היא קרובה לקצה, כ 26000-שנות אור מהמרכז (הנראה במזל .)Sagittarius הגלקסיה שלנו היא חברה בקבוצת גלקסיות מקומיות הכוללת את גלקסיית אנדרומידה (במרחק 2.3×106שנות אור ,היא בקושי נראית לעין) והענן המאג'לני הגדול. מערכת השמש מסלול כוכב הלכת נראה מסובך כשצופים עליו מכדור הארץ. התמונה משמאל מראה את מסלולו של כוכב הלכת מאדים. קפלר (:)1595 מודל למערכת השמש חוקי קפלר ()1606 חוק Iשל קפלר: כל כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים כאשר השמש נמצאת באחד המוקדים. m r M ea ea a המסלול נקבע ע"י האקסצנטריות eוחצי הציר הראשי .aהמרחק בין המוקד ומרכז האליפסה הוא eולמעגל .e = 0לכוכבי לכת ערכי eלא גדולים; מסלול כדור הארץ הוא כמעט מעגל: .e = 0.0167 m r M ea ea a היפרבולה פרבולה e = 1 0 < e <1 אליפסה מעגל e = 0 e>1 חוק IIשל קפלר: הווקטור המחבר בין כוכב לכת לשמש מתווה שטחים שווים בזמנים שווים. שטח המשולש Aקרוב לשטח הגזרה שמתווה הרדיוס בזמן .t r m (r)( rθ) 1 2 ΔA r Δθ 2 2 dA 1 2 dθ 1 2 r r ω dt 2 dt 2 r M p p m r M pr dA 1 2 dθ 1 2 L r r ω dt 2 dt 2 2m L rp (r)(mv ) (r)(m ω r) mr 2ω חוק השטחים השווים אומר שהתנע הזוויתי הוא .גודל קבוע L dA 2m dt חוק IIשל קפלר אומר שהתנע הזוויתי הוא גודל קבוע. מאידך ,שימור התנע הזוויתי אומר שהווקטור rמתווה שטחים שווים בזמנים שווים. החוק קובע (למשל) שקרוב לשמש ,כוכבי לכת נעים מהר יותר מאשר רחוק מהשמש. חוק IIIשל קפלר ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת בתנועה סביב השמש פרופורציוני לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול. a T Planet (1010 m) (y) Mercury 5.79 0.241 Venus 10.8 0.615 Earth 15.0 1.00 Mars 22.8 1.88 Jupiter 77.8 11.9 Saturn 143 29.5 Uranus 287 84.0 Neptune 450 165 Pluto 590 248 T2/a3 (1024y2/m3) 2.99 3.00 2.96 2.98 3.01 2.98 2.98 2.99 2.99 חוק הגרביטציה של ניוטון מתוך חוקי קפלר ,שתארו את מסלול תנועת כוכבי הלכת סביב השמש ,הסיק ניוטון שכל שני גופים מושכים אחד את השני בכוח F שגודלו m1m 2 2 FG G= 6.67x10-11 N·m2 / kg2 r m1 -F Gהוא קבוע הגרביטציה .קטנותו מסבירה מדוע יש צורך במסות גדולות כדי שנרגיש אותו .כך מרגישים שתפוח נמשך לכדור הארץ ולא מרגישים את כוח המשיכה בין שני תפוחים. r F m2 הגוף הראשון מושך את השני כפי שהשני מושך את הראשון .הם זוג פעולה-תגובה. m1 -F r הכוח בין שני גופים אינו משתנה עקב נוכחות גוף שלישי אפילו אם הוא נמצא בין שני הגופים. F m2 כאמור Gקובע את גודל הכוח .אילו הוא היה גדול פי ,10היינו מתמוטטים על הרצפה .ואילו היה קטן פי ,10כדור הארץ היה מאבד את האטמוספרה שלו. חוק IIIשל קפלר-ביקור חוזר ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת בתנועה סביב השמש פרופורציוני לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול. r 2π ω T 3 r Mm mω r 2 r 2 2 2 4π T GM G כוח הכובד על גוף שמסתו mבגובה hהיא –GMm /(R+h)2 ,כאשר Mו R-הם מסת ורדיוס כדור הארץ .איפה mg בנוסחה זו? h 2 ) (1 R GMm R2 GMm 2 )(R h נניח כי h<<R F G Mm mg R2 F Fהוא הכוח בין שני גופים נקודתיים .ניתן להשתמש בנוסחה הזאת כאשר המרחק בין הגופים גדול מאוד ביחס לרדיוסם. m1m 2 2 ואם התנאי הזה לא קיים (כמו בדוגמה בצד שמאל)? התשובה :קליפה כדורית של חומר מושכת חלקיק הנמצא מחוץ לקליפה כאילו כל מסתה מרוכזת במרכזה .והיא מפעילה שום כוח על גוף שנמצא בתוכה. r2 r1 r FG גרביטציה על פני כדור הארץ נניח שכדור הארץ הוא כדור אחיד שמסתו .Mעל גוף שמסתו m במרחק rממרכז כדור הארץ פועל כוח משיכה הניתן ע"י Mm r2 a g GM/r2 תאוצת הגוף agתהיה מקום F ma g G גובה(ק"מ) )ag (m/s2 פני כדור הארץ הר האוורסט 0 8.8 9.83 9.80 כדור פורח (שיא) 36.6 9.71 ספינת חלל לווין תקשורת 400 35700 8.70 0.225 יש להבדיל בין חישוב התאוצה ag=GM/r2לתאוצת הנפילה החופשית .gלהבדל שלוש סיבות: .1כדור הארץ איננו כדור אחיד. התלות הרדיאלית של צפיפות כדור הארץ היא כפי השרטוט .והצפיפות של הקליפה משתנה ממקום למקום ולכן gמשתנה מאזור לאזור. ליבה פנימית ליבה חיצונית מעטפת .2הארץ אינה כדורית בגלל סיבוב סביב הקטבים ,כדור הארץ היא שטוחה מעט .הפער בין רדיוס קו המשווה והמרחק בין הקטבים הוא 21ק"מ ,ותאוצת הנפילה החופשית g בקטבים גדולה יותר מאשר על קו המשווה. .3הארץ מסתובבת הודות לסיבוב הארץ ,כל גוף הנמצא על כדור הארץ (חוץ מאשר בקטבים) סובב במעגל .לכן יש לו תאוצה צנטריפטלית arהמכוונת לציר הסיבוב .תאוצה זו מכוונת כלפי מרכז כדור הארץ רק אם הגוף נמצא על קו המשווה. ארגז שמסתו mיושב על מאזניים ב על קו המשווה .במבט מהציר הצפוני: הכוחות על הארגז הם .1הכוח הנורמלי N .2כוח הכובד mag N – mag = -mar = -m2R הכוח Nהוא המשקל mgשמראים המאזניים mg = mag - m2R g = ag - 2R על קו המשווה = 2/24h , R = 6.37 × 106 m ,וההבדל בין agוg- הוא 0.034 m/s2לעומת .g=9.8 m/s2 הרכבת כוחות גרביטציוניים כאשר נתונה מערכת של nגופים ,הכוח הפועל על כל גוף הוא הסכום הווקטורי של הכוחות הנובעים מכל הגופים האחרים .הכוח הפועל על גוף מספר ( 1לדוגמה) הוא F1,net = F12 + F13 + F14 + ….+ F1n = F1i כלומר הכוחות שפועלים בין שנע גופים אינם מושפעים מנוכחות הגופים האחרים. ובהתחלקות רציפה של מסה: F1 = dF דירגו את הכוחות הפועלים על )(b )(a )(c )(d אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית נתונות שתי מסות Mו m-הנמצאות במרחק Rאחת מהשנייה .העבודה הדרושה להרחיק אותם למרחק אינסופי אחת מהשנייה היא W F(r) d r R dr m F F(r) dr G Mm dr 2 r 1 GMm W GMm 2 dr R r R ΔU W U U W R האפס של Uנמצא ב ∞ = .rמדוע? GMm U R M נניח שמעבירים מסה mבמסלול ABCDEFבשדה גרביטציה של . F D E C B A } } WAF = WAB +WBC + WCD + WDE + WEF =0 =0 העבודה לאורך המסלול ABCDEFשווה לעבודה לאורך הקו ישר :AF WAF = WAB + WCD + WEF כל מסלול ניתן לחלוקה לקטעים מקבילים לכוח ולקטעים מאונכים לו. אין עבודה לאורך הקטעים המאונכים לכוח .לכן העבודה שעושה הכוח הכובד אינה תלויה במסלול .הכוח הגרביטציוני הוא כוח משמר. האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת של שני גופים הנמצאים במרחק rאחד מהשני היא Mm U G r במערכת הכוללת nגופים האנרגיה הפוטנציאלית היא סכום האנרגיות הפוטנציאליות של הזוגות. במקרה של 3מסות: m1m 2 m1m3 m 2 m3 (U G ) r13 r12 r23 mi m j rij n n U G i 1 ji r12 m2 m1 r23 r13 m3 מהירות הבריחה ניתן לשלוח גוף שמסתו mמכוכב שמסתו Mכך שהגוף משתחרר מכוח המשיכה של הכוכב .כדי לעשות זאת יש לתת לגוף אנרגיה קינטית לא פחות מהפרש האנרגיה הפוטנציאלית בין מרחקו ההתחלתי Rממרכז הכוכב לבין מרחק אין-סוף מהכוכב .כלומר ,יש לתת לו מהירות התחלתית לפי 1 mM 2 K U mv (G )0 2 R והיא 2GM R v קליפת כדור אחידה שמסתה Mמושכת כאילו כל מסתה הייתה במרכז המסה שלה Rdθ G(2 π R σ sin θ) m 2 )R sin θ (r Rcos θ 2 2 π U 0 s=M/4R2 m R r π U G(2 π R σ sin θ) m 2 2 2 R sin θ (r Rcos θ) 0 π 2πR Gσm 2 GMm 2 π sin θ dθ 2 2 R r 2rRcos θ 0 d (cos θ) R r 2rR(cos θ) 2 0 GMm 2 Rdθ 2 1 1 du R r 2rRu 2 2 GMm 2Rr R r 2rRu 2 2 1 1 GMm GMm R r R r 2Rr r מה אומרת הפיסיקה של ניוטון על כוכבי לכת? יש שלושה קבועי תנועה :תנע ,Pתנע זוויתי Lואנרגיה מכאנית .E L mr ω 2 GMm m 2 E UK v r 2 GMm m 2 2 2 r r ω r 2 2 GMm m 2 L r 2 r 2 2mr GMm L2 r 2mr 2 2 GMm m 2 L E r r 2 2mr 2 L2 2mr 2 E GMm r לכל המסלולים בתמונה אותה אנרגיה. חללית נעה במסלול מעגלי שרדיוסו rסביב כדור הארץ .בנקודה Pיורה הנווט רקטות האטה ומקטין את האנרגיה הקינטית של החללית .לאיזה מסלול תיכנס החללית ומה קורה לזמן מחזורה? E GMm 2a 2 4π T2 a3 GM תנאי לחור שחור :האור אינו יכול לברוח ממנו מהירות הבריחה: 2GM R v אם ,c<vאזי האור אינו יכול לברוח מן הכוכב .הכוכב הינו חור שחור. תנאי לחור שחור.R< 2GM/c2 : RS= 2GM/c2הוא נקרא "רדיוס שוורצשילד". המצוד אחרי חורים שחורים מערכת בינארית היא מערכת של שני כוכבים המסתובבים סביב מרכז מסתם .לעתים רואים רק כוכב אחד הנע במעגל .אור המגיע מכוכב שכזה מראה שלכוכב מהירות של ,270 km/sזמן מחזור של 1.70 ימים ומסה .m1 = 6Msנחשב את המסה m2של הכוכב החשוך m m בהנחה כי r r 2 2 1 •הם נעים במסלול מעגלי •מרכז המסה נמצא בין הכוכבים •הכוח הצנטריפטלי הגורם לתנועה מעגלית הוא כוח המשיכה בין המסות. 1 v2 G 2 r1 r m2 m1 r1 r O r2 m2 m1 0 m 2 r r1 m1 m 2 vT r1 2π m1 m 2 r r1 m2 m32 v 3T 3 . 47 M s 2 2πG (m1 m 2 ) m32 (6M s m 2 ) 2 3.47 M s m2 9.35 Ms :הפתרון כאשר ,m2 9.35 Msרדיוס שוורצשילד הינו RS = 2G(9.35 MS)/c2 = 27.8 km ואילו . r2 = 4.05 × 109 m