Transcript Lesson6.ppt
בס"ד מכניקה קלאסית – תרגול מס' 6 מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי מטוטלת פיסיקלית הבעיה :למצוא פתרון מקורב לתנועת מטוטלת פיסיקלית. 1 T m 2 2 ; V m g 1 cos 2 g 2 1 2 'L T V m 1 cos m 2 L 2 ℓ ℓ m בהנחה של סטיות קטנות , ,נקבל קירוב: 4 1 2 g 2 2 2 4 cos 1 L' !2 !4 2 2 24 g g 3 מכאן משוואת אוילר-לגרנז': 0 6 הפתרון יהיה תנודתי ,רק בתדירות מעודכנת: 0 1 1 (כי זמן המחזור משתנה) V=0 סמסטר א' תשס"ד תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי 2 מטוטלת פיסיקלית – תורת הפרעות נגדיר משתנה חדש , t :ובעקבותיו את הנגזרת: 2 2 d2 d d 2 2 0 1 2 1 2 2 dt d d 2 כמו כן ,נפתח את בטור חזקות ב x0 x1 : - נציב כל זה במשוואת אוילר ונקבל: d 2 x0 d 2 x1 g g 3 2 0 1 2 1 x x x x 0 1 0 1 2 2 d d 6 2 g g 0 2 d x0 2 : 0 ולפי סדרים x0 0 x0 A cos 0 ; 0 : 2 d 2 3 2 (הפתרון ההומוגני זהה לזה d x x d x g g 1 2 2 0 0 1 : 0 x1 2 0 1 2 2 d d של סדר אפס וניתן להזניחו) 6 סמסטר א' תשס"ד חלק לא- מימדיות ותנועה תרגול – 6מערכות חד- הומוגני בכוח מרכזי חלק הומוגני 3 מטוטלת פיסיקלית – פתרון סדר 1 החלק הלא-הומוגני שווה: d 2 x0 g x03 g A A2 2 3 2 1 cos 0 2 0 1 cos 0 2 d 6 6 g A A2 A2 2 1 cos 0 cos 3 0 8 24 cos 0 רזוננטי עם החלק ההומוגני ,ז"א גורם לאיברים לא חסומים בפתרון .לכן יש לאפס את המקדם שלו ,כלומר לדרוש 1 A2 16 הפתרון הפרטי של האיבר הנותר הינו g A2 1 16 סמסטר א' תשס"ד ;cos 3 t 0 A3 cos3 0 192 A3 192 תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי x1 , p t A cos t 0 4 מטוטלת פיסיקלית -יציבות נוותר כעת על הנחת הזוויות הקטנות ונחזור לV m g 1 cos - dV נקודות שיווי-משקל: 0 sin 0 k k d הפוטנציאל בנק' ש"מ הראשונותV 0 0 0; V 1 2 m g : יציבות m g 0 : 1 d 2V ; m g 0 d2 0 d 2V d 2V ; m g cos 2 d d2 ז"א שאם אנרגיית המטוטלת הינה 0 E 2 m g אזי המטוטלת מוגבלת בתנועתה לתחום , A דהיינו נע סביב נקודת ש"מ יציב .אם למטוטלת אנרגיה הגדולה מ , 2 m g -היא מגיעה לנקודת ש"מ שניה ומאבדת יציבות. משמעות פיסיקלית :כל עוד האמפליטודה קטנה מ ,-מתרחשות תנודות. ברגע שהאמפליטודה עולה על ,המטוטלת מתחילה להסתובב. סמסטר א' תשס"ד תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי 5 תנועה בפוטנציאל מרכזי הבעיה :לפתור את הבעיה עבור פוטנציאל מרכזי כללי 1 2 L r V r בשיעור הקודם ,הגענו לביטוי 2 1 או בקואורדינטות כדוריותL r 2 r 2 2 r 2 2 sin2 V r : 2 הוא משתנה ציקלי ,לכן p r 2 sin2 l z const אנו חופשיים לבחור את כיווני הצירים ,לכן ניתן להגדירl l z ẑ const : מכאן נובע p r 2 0 const :אנו ניקח 2 מכאן 2חוקי קפלר( :א) התנועה מתבצעת במישור הניצב לציר Zו(-ב) שטחים שווים מכוסים בזמנים שווים ,כי 1 2 l dt )(1 dA r dt const dt 2 2 סמסטר א' תשס"ד תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי 6 בעיית כוח מרכזי כבעיה חד-מימדית פתרנו 2מתוך 3דרגות החופש של הבעיה .כעת נגזור מש' אוילר ל r -ואחר כך נציב התוצאות ל -ו -ונגזרותיהן ,כי השיטה מיועדת למשתנים בלתי-תלוים 2 l2 Veff V r 2 2 r l2 dV r 3 r dr . u מעבר בין הנגזרות נובע משימור התנע: 1 החלפת משתנים: r t 2 d l u d dV d u dV 2 2 dV r d l dt u dt d dr dr du du אוסצילטור dr 1 du l du d 2r l 2 2 d 2u 2 ; 2 u הרמוני 2 2 dt u dt d dt d מאולץ 2 l 2 2 d 2u l 2 3 d V d u dV 2 2 u u u u 2 2 2 d du d l du סמסטר א' תשס"ד תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי 7 בעיית קפלר k בעיית קפלר היא מקרה פרטי של בעיית כוח מרכזי עם V k u r d 2u k אוסצילטור עם כוח מאלץ קבוע.מהמשוואה ( )2נקבל u 2 : 2 d l 2 k l p ונקבל: הפתרון . u 2 A cos :נסמן; p A : l k p p u 1 cos p r r cos x 2 y 2 x r או בצורה נוחה יותר: 1 2 x 2 2 p x y 2 p2 0 מסלולי ם סגורים 0 : x 2 y 2 p 2 circle of radius p ; x xc 2 y 2 1 xc p p xc , a , b ellipse 2 2 2 b 1 1 מסלולים 1 : parabola ; 1 : hyperbola לא סגורים א' תשס"ד סמסטר תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי a2 1: אקסצנטריות 8 זמן מחזור במסלול אליפטי במסלול סגור ,ניתן לחשב את זמן המחזור .במקום לחשב את האינטגרל 1 / 2 k l dr 2 E 2 r 2 r rmin dA A l 2 A נעדיף להשתמש בחוק השני של קפלר: d t 2 l l 2a A a b ; b p a ונקבל את החוק השלישי נציב את הנתונים: k של קפלר: rmax 2 2 a3 a3 k 2 כאשר aזהו חצי הציר הגדול של האליפסה. במסלול מעגלי נקבל: סמסטר א' תשס"ד 2 a3 תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה בכוח מרכזי 9