Transcript 4.3

Relativistische Stösse
vx1  vx2
S
v1
v1
y
vy1



0
A

y*
vy1
x

B

v2
v 2
vy1
vy2=-vy1
A
0* v  v
x1

 

v 2
v2
vx2
B : vx2  vx2  0  Beobachter in O*misst in S*: v * y2
WS 2014/15
x*
B


 

A : vx1  vx1  0  Beobachter in O*misstin S*: v *y1 
Gaub
v1
v1

vx1
v x1
vx1  vx2
S*
mA=mB
vx2
v y1  v
 vy1
 v x1v 
 1  2 

c 
v y2
 0 v y2



 v x 2 v 

 1 2 

c 
In beiden Intertialsystem muss Impulserhaltung gelten!
mAvy1  mBvy2  m *A v *y1 m *B v *y2  0
Mit konstanter Masse
nicht erfüllbar!
da vA ≈ vx1 = v , v*A≈ 0
m(v)vy1  m0vy2  0
und vB ≈ 0, v*B ≈ vx1 = v
m0v *y1 m(v)v *y2  0
(m(v))2 vy2 v *y1
2



m20
v *y2 vy1


 m(v)  m0 


Gaub
m0
1 v 2 / c 2
Die Masse eines bewegten Teilchens
nimmt mit seiner Geschwindigkeit zu
Ruhemasse: mo= m(v=0)
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Kraft und relativistischer Impuls
d
d
m0
d
m0 v
dp
)v  ma
) (
 (mv )  (
F
2
2
2
2
dt 1 v / c
dt 1 v / c
dt dt
d / dt  (d / dv)(dv / dt)

/ c2 )a
m0 (v
F
v  ma
2
2 3/2
(1 v / c )

2
2


v
v
3
F   m0 a 2 eˆv  (1 2 )eˆa 
c
c

 p  m(v)v  m0v
Die relativistische Kraft hat eine Kompo
nente in Richtung der Geschwindigkeit !
Gaub
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Transformation der Kräfte
Übergang von S mit Teilchen v, m = mo nach S* mit v* = 0, m *= mo
Wir wählen v = vx damit gilt eˆv  eˆa und in S* gilt: a x∗ = γ3ax
(Lorentz-Transformation)
Fx = dpx/dt = γ3m
0ax
=> Fx∗ = m0ax∗ = γ3m0ax ≡ Fx
mit a y∗ = γ2ay
Fy = dpy/dt = mdvy /dt= γm0 ay => Fy∗ = m0ay∗ = γ2m0ay = γFy
(vy<<vx)
Fx
2 ax


Fy
ay
Gaub
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
Relativistische Energie
Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten!
Einsteins Gedankenexperiment:
p = -E/c
Lichtblitz bei t1=0 =>Rückstossimpuls
v  c
v
L
p
E

M
Mc
p = E/c
∆x
wird nach t2=L/c absorbiert
 vt 2  EL/ Mc2
Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle!

=> Transport der Masse m während Energietransport

 mL Mx  0
2
Jede Masse entspricht der Energie  E  mc

Gaub

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m(v)  m0 
 E  m c2 
m0
1 v2 / c 2
m0 c2
1 v2 / c2
 m0 c2  (m  m0 )c2
Gesamtenergie = Ruheenergie + Bewegungsenergie


Taylor-Entwicklung
Ekin  (m  m0 )c2  m0 ( 1)c2
v <<c
2
4
v 2 1/2
 1 v  3 v 
 1       .....
  (1   )
c 
2 c  8 c 
1
 m0 v2
2

a k
a(a 1) 2
a
(1 x)  ( )x  1 ax
x .....

2!

k0 k

Gaub
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 E 2  m2c4  m0 c4  m2c2v2  m0 c 4  p2 c2
2
weil m c 
2 4
m2
2
2
c 4  m2c2v2
2
v
1 2  2
 c
1
2
 
v2
1 2
c
1



 E  c m0 c  p
2 2
2
E
pc
m0c2
Gaub

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Inelastische Stöße bei relativistischen Energien
v AB  0
A
v1
S


AB
A
v *A  0
S*
v2  v1
2v
v2  v

v *2 
2
v2 v
v
1 2
1 2
c
c
c2 
v *2 2 
1 (1 2 ) 
v
v *2 
c 



B
v *AB  v1

AB
B
v *2

v  v1

Impulserhaltung in S*:
m(v *2 )v *2  M *AB v
Energie in S*: m(v *2 )  mo  M *AB


m(v *2 )
v

m0
v *2 v

m(v) 
m0 
2
1 v / c
Gaub
2
  (v)m0

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v *2 2 1/2
  (1 2 )
c
  (v *2 )
Relativistischer Energiesatz
im 4d Minkowski-Raum
x  Eigenzeit dx/ d 


 
dy/ d 
y 
v  iceˆt


r˜  xeˆx  yeˆy  zeˆz  icteˆt 

 dr˜ / d 
dz/ d  1 v2 / c2
z 


 
eˆx eˆyeˆz eˆt
icdt/ d 
ict 
dr˜ 2  dx2  dy2  dz2  c2dt2  c 2 d 2




d  dt /   dt 1 v2 / c2 weil d  dt2 1/c2 (dx2  dy2  dz2 )


2
dr˜
v  iceˆt
˜
d
p
d
r˜
˜
 mo
 p˜  mo
 F 
 mo 2
2
2
d
d
d
1 v / c


d

d
   (m0 v )  ic (m0 eˆt )
Minkowski-Impuls
Minkowski-Kraft
dt

dt
Totales Differential:

Gaub


d
  F  i (m0 ceˆt )


dt

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Relativistischer Energiesatz
2
˜
d
r
d
r˜ dr˜
˜
 ( F )  mo ( 2 )
d
d d
mo d dr˜ 2

( )
2 dr d
dr˜ 2
dr˜
˜
 (F )  0 weil ( )  c2  const
d
d
 

d
  F  i (m0 ceˆt ) v  iceˆt    2 (F dr  d (mc2 )) 0


dt
dt dt

 d(mc2 )  Fdr  dW
 Eges
Gaub
2
 E pot  mc  E pot 
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m0 c2
2
1 v / c
2
 const
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Erhaltungssätze und Symmetrien
In einem abgeschlossenen System (keine WW mit Umgebung)
sind zeitlich konstant:
Gesamtimpuls (wobei die einzelnen Teile des Systems
miteinander wechselwirken können)
Gesamtdrehimpuls (unabhängig von der Wahl des
Bezugspunktes)
Gesamtenergie (wobei die verschiedenen Energieformen
ineinander umgewandelt werden können)
Der tiefer liegende Grund für diese Erhaltungssätze sind
Symmetrieeigenschaften von Raum und Zeit
Gaub
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Legrange-Formalismus
Def.: Lagrangefunktion:
N
mi 2
L(ri , vi )   vi  E pot (r1, r2 ...rN )  Ekin  E pot
2
i
L
 mi vi  pi
vi


E p
L

 Fi
ri
ri
d L
L Newto

( )
dt vi
ri n

Gaub
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L !
d
L
L Ý
L Ý
0
L
  r i  vi
t
dt
t i ri
i vi
Isotropie der Zeit: t  t
d L
L Ý d
L
  vi ( )  ( )vi   vi
=> Energieerhaltung
dt vi
vi
dt i vi
i
2
d  L 
mi vi
  vi ( )  L  0   vi pi  L   vi pi  
 E pot  const
dt i
vi
2
i
i
i

Ekin  E pot  Eges  const

Isotropie des Raumes bezüglich
Erhaltungssätze und
Symmetrien
Ort r  r

=> Impulserhaltung

Richtung   
=> Drehimpulserhaltung

N
L !
d L
d N L
 r  0   dt (v )  dt (v )  0
i
i
i
i
i
i

N
N
ri   ri
L
L
L  
ri  
vi ! 0
vi   vi
i ri Ý
i vi

pi
p
N
i
N
N
N
d
!0
Ý
Ý


p
(


r
)
p
(


v
)


(r

p
)

(v

p
)


(r

p
)

 i
 i i i i

i
i
i
i
i
dt
i
i
i
N


 p )  L  const
Weil (a  b )c  a(b  c )  (b  c )a  (c  b )a   (r 
i
i
i