Transcript 7.3

§7.5 Transportprozesse in Gasen
Transport von:
Gasvolumina
Verteilung einer Molekülsorte in einer anderen
Energie
Impuls
–
–
–
–
Gasströmung
Diffusion
Wärmeleitung
Viskosität
Auftreten bei räumlichem Unterschied von Dichte, Temperatur und
Strömungsgeschwindigkeit
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Diffusion
Nettotransport von Teilchen
aus einem Gebiet hoher
Konzentration in ein Gebiet
niedriger Konzentration
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Fluorescence recovery after photobleaching (FRAP)
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
Diffusion
Bei gegebener Dichteverteilung der Teilchen nA(x),
einer mittleren freien Weglänge Λ und isotroper
Geschwindigkeitsverteilung (T=const) ist die
Wahrscheinlichkeit W- , dass ein bestimmtes
Teilchen die Fläche dA an der Stelle x =x0 nach
seinem letzten Stoß bei x =x0 – L cos ϑ unter dem
Winkel ϑ zur Flächennormalen nach rechts durchquert ist gleich der Wahrscheinlichkeit W+, dass ein
bestimmtes Teilchen von rechts nach links läuft.
dA
Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden!
Mit einer Teilchenzahldichte n+ auf der linken Seite durchfliegen dN+Teilchen
von links nach rechts in einem Zeitintervall dt aus dem Raumwinkel dΩ mit
der Geschwindigkeit v im Intervall dv unter dem Winkel ϑ die Fläche dA:
d
dN v  n f v dv v dt dA cos
4
d
dN v  n f v dv v dt dA cos
4
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dn
n  n 0  x
dx
dn
n  n0  x
dx
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Diffusion
Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist: j 
dN  dN
dA dt
Beitrag der Teilchen mit
1 dN v dN v
v zur Stromdichte :
djv dv  


 dv
dA  dt

dt

cos2  sin  d d dn
 djx v dv  2 L f v v dv
4
dx


 j x  2 L



1
f v v dv
4
2   /2
dn
 cos  sin  d d dx
0

2
0
2π/3
v
L v dn
dn
j



D
Ficksches Gesetz: x

3 dx
dx
r 
oder vektoriell:
j  D gradn

Lv
1
mit Gaub
der Diffusionskonstanten D  WS 2014/15

3
n
8 kT
9m
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Diffusion
Schwere Teilchen diffundieren langsamer:
Heliumatome viel leichter als Luftmoleküle
 Heliumatome gleichen den geänderten
Partialdruck viel schneller aus!
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Brownsche Bewegung
Bewegung von Mikroteilchen unter Einfluss der
thermischen Bewegung kleinerer Gas- oder
Flüssigkeitsmoleküle.
Die Bewegung besteht aus kurzen geraden
Stücken, deren Richtungen und Längen statistisch
verteilt sind.
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Annalen der Physik,
Band 17, 1905, p 549Gaub
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Robert Brown
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See also Jan Ingenhousz
J. Philos. 26, 339- (1785)
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43
Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549See also Dissertation April 1905 Uni Zürich
published in Ann Physik 19, 289-(1906)
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Outline:
Concept of osmotic pressure works for makromolecules, no reason why it should not for
suspended particles! Einstein proved this first.
Osmotic pressure gradient results in force on particle.
In steady state this force is balanced by friction (implicit assumption of over-damped
regime)
Particles move independently + basic statistics
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FluktuationsDisssipationsTheorem
Smoluchowski
Langevin
Kubo
Memory-less trajectories,
ballistic motion decays after ≈ m/6kP ≈ 10-8 s
For a comprehensive review see
Hänggi, Marchesoni and Nori, Ann. Phys. (Leipzig) 14, 51-70 (2005)
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Brownian Motor
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Up-hill Transport
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
Wärmeleitung in Gasen
Energieübertrag von Orten höherer Temperatur zu
Orten niedriger Temperatur durch Stöße.
Gas zwischen zwei Platten an den Orten x1 und x 2 :
Transport abhängig vom Verhältnis der mittleren
freien Weglänge zum Plattenabstand.


Falls Λ > d :
Energie der Moleküle, die von Platte 1 kommen:
1
3
m v12 
k T1
2
2
Auf das Flächenelement dA treffen pro Zeiteinheit
bei einer Teilchendichte n aus dem Raumwinkel Ω
um die Richtung ϑ kommend:
d
Nv,   n cos dA
dt
E kin1 
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

 v f v dv
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d
4
Wärmeleitung in Gasen
Integriert ergibt sich:
n v dA
dN

dt
4

2
 sin
cos d
0
2
 d 
n v dA
0
4
Unter der Annahme, dass jedes Molekül beim Kontakt die Temperatur der Platte
annimmt, verliert das Flächenelement dA pro Zeiteinheit die Energie:


dW1
dN
f
dA   1 dA U1
mit: U1 
k T1
dt
dt
2
Gleichzeitig gewinnt das Flächenelement Energie:
dW 2
dN 2
dA  
dA U 2
dt
dt

Die Netto-Wärmeleistung ist also:

mit der Wärmeübergangszahl κ:
Gaub

 mit:
f
U2 
k T2
2
dW
  A1 T2  T1
dt
J
nv k f
   1 2
 
sm K
8
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Wärmeleitung in Gasen
Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten:
n1
T
 2
n2
T1
Falls Λ << d :
Moleküle stoßen oft zwischen den Platten und
 übertragen die Energie auf andere.
 Es stellt sich ein Temperaturgradient im Gas ein.
Wärme wird „diffusiv“ transportiert =>
dW
1
d
1
f
dv

L
v
n
U

L
n
k
T
  3
dt
3
dx
2
dx

weil:
Gaub
Un  n
f
kT
2 
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Wärmeleitung in Gasen
mit:
wird:
dv
dv dT


dx
dT dx
2
8k
dT
T  m dx
dW
dT
 
dt
dx
mit der Wärmeleitfähigkeit λ
1
 
fnkvL
12


J
smK
 λ wird im Druckbereich Λ << d unabhängig von der Dichte, weil:
L 
1
n

 1 f k v
 
12 


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Viskosität von Gasen
Liegt zusätzlich zur thermischen Bewegung noch eine
Bewegung des Systems vor (Strömung), tritt viskose
Reibung auf.
Strömt ein Gas in y-Richtung über eine
Fläche, bewegt sich die der Fläche nächste
Schicht auf Grund der Reibung nicht.
x
Die Bewegung der Moleküle in einer Schicht x  x 0 
2
ist eine Überlagerung von (statistischer und
isotroper) thermischer Bewegung und
Strömungsgeschwindigkeit u(x).

Aufgrund der thermischen Bewegung
wechseln die Teilchen in andere
Schichten und übertragen bei Stößen
abhängig vom
Geschwindigkeitsgradienten Impuls
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Viskosität von Gasen
Die Impulsstromdichte j p (transportierter Impuls pro Fläche und Zeit) lässt sich
schreiben als:
jp  
du
dx

mit dem Viskositätskoeffizienten η:
 
1
nmvL
3


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§7.6 Die Erdatmosphäre
Die verschiedenen Bestandteile neigen einerseits dazu, sich durch Diffusion zu
vermischen und werden andererseits durch die Gravitation auseinander
gezogen.
Im stationären Gleichgewicht sind der Diffusionsstrom und der nach
unten gerichtete gravitative Strom gleich groß:
jD z  jg z  0
Bei Fall eines Teilchens wirkt eine
Reibungskraft der Schwerkraft entgegen.

 konstante Sinkgeschwindigkeit, damit
konstanter Strom jg  n v g
Gaub

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§7.6 Die Erdatmosphäre
Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich, dass das
Konzentrationsverhältnis eines leichten Gases zu einem schwereren mit
der Höhe zunimmt.
Das sich aus Messungen ergebende
konstante Konzentrationsverhältnis
ist mit der nicht konstanten
Temperatur zu begründen.
Starke vertikale Strömungen

schwerere
Starke Durchmischung der
atmosphärischen Schichten
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§7.6 Die Erdatmosphäre
Standardatmosphäre:
Temperaturverlauf:
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