与正多边形有关的问题

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与正多边形有关的问题
一、教学目标
 1.培养学生的实验、探究的能力；
 2.让学生获得研究正多边形问题的经验和方法；
 3.发展学生的个性和创新精神。
二、教学重点

培养学生的观察——实验——发现——归纳
 —验证等的研究性的学习思维品质。
三、教学难点
将复杂问题简单化，将特殊问题一般化。
四、教学过程
 1.回顾第一轮复习时有关正多边形的知识
 （1）有关角 （2）有关边 （3）周长
 （4）面积 （5）对称性 （6）特例
 2.新课讲授
 今天我们将站在更高更深的角度去研究正多边形。
请看例题1：
 问题背景 本周二我们数学组的全体老师在业务学习研讨
中，得到了如下两个命题：
 ①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的
点，若BM与CN相交于O，∠BON=60º则BM=CN；
 ②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的
点，若BM与CN相交于O，∠BON=90º则BM=CN。
 然后运用类比的思想提出了如下命题：







③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，
若BM与CN相交于O，∠BON=108º，则BM=CN。
任务要求：
（1）请你从上述①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n>5）边形ABCD…中，M，N分别是CD，DE上
的点，BM，CE相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN
成立？（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，当M、N分别是DE、AE上的点，
且BM与CN相交所成的一个角为108º时，BM=CN是否成立？若成立，
请给予证明；若不成立，请说明理由。
我选
。
 小结：

本题是典型的类比的思想题，我们要认真思考起始题
和图，有关正多边形的问题，我们要根据要求认真思考正
三角形的特点，然后过渡到四边形、五边形、……最后得
出规律，并加以总结，或者运用它去解决问题。
建议：

同学们课后去阅读07、08、09年的江西的最后一题。
 例题2：
 两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
 实验与论证
 设旋转角∠
示。
，所表示的角如图8.5-3所
 （1）用含 的式子表示角的度数：
，
， =
；
 （2）图1～图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是
否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一
个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
 设正n边形
与正n边形
重合（其中，A1与
B1重合），现将正n边形
绕顶点A0逆时针旋转

。
 （3）设 与上述“
”的意义一样，请直接写出
的度数；
 （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平
分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要
求证明）；若不存在，请说明理由。
[解题思路]

本题要把正多边形边数n分奇、偶两类来探讨，思考
时应会将图形分解（如：图2可只看成，由△
转至
△
的位置），或关注图形的对称性，结合正多边形的
内角、中心角等概念，并发现其规律性获得结论。
 [解答过程]
 （1）
。
 （2）存在，答案不唯一，选图1，图1中有直线A0H垂直平分
 证明：∵△
与△
是全等的等边三角形，

∴

∴

∴

∴
 ∴点A0在线段
。
，
，又
，
，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上，又
的垂直平分线上，所以直线A0H垂直平分
，
。
 （3）当n为奇数时，
；当n为偶数时，
 （4）存在，当n为奇数时，直线A0H垂直平分

当n为偶数时，直线A0H垂直平分
。
。
。
 [解后心得]

本题是研究一个由特殊到一般结论的数学问题，先从
既简单又特殊的特殊情形入手，将此获得的结论推广到一
般，在研究的过程中应会发现图形的对称性，会将图形简
化，会结合图形的其它性质，灵活运用分类、化归等数学
思想方法解决问题。
 [变式训练]
 [2010·北京]问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内
的一点，且AD=CD，BD=BA，探究DBC与∠ABC度数的比值。
 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况
进行分析并加以证明。

（1）当∠BAC=90º时，依问题中的条件补全右图。
 观察图形，AB与AC的数量关系为
；
 当推出∠DAC=15º时，可进一步的度数为
；
 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为
。

（2）当∠BAC≠90º时，请你画出图形，研究∠DBC与
∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜
想并加以证明。










解：（1）相等，15º；1：3。
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同。
证明：如图②，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，
连结DK. ∵∠BAC≠90º
∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC.
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3.
∵△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD=BD.








∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6.
∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB.
∴∠KBD=60º.
∵∠ACB=∠6=60º-∠1.
∵∠BAC=2∠ACB=120º-2∠1.
∵∠1+（60º-∠1）+（120º-2∠1）+∠2=180º
∴∠2=2∠1. ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3.