Transcript 1020_8.- Derivada 3

DERIVACION IMPLICITA
Prof. Luis Martínez Catalán
2008
DERIVACION IMPLICITA
En general, la ecuación f ( x , y )  0 , para determinados intervalos de x ,
define a y  y ( x ) como una función de x ; en tal caso su derivada y  ( x )
se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en
derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en x e y
teniendo presente que, para determinar dos intervalos de x , la variable y se
comporta como función de x y es diferenciable con respecto a x , es decir,
existe y  ( x ) , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con
respecto a
y
y luego con respecto a
x
dy
Ej: Por el método de derivación implícita, encontrar
1)
x  y a
2
2
2 x dy
2 y dy

dx
2x

dx
2 y dy
dx
dy
dx
 -
2
x
y
 0
0
dx
2)
y  3x y  x  5  0
3
3y
3
2
dy
 3x
dx
dy
dy  3 y  3 x 2  0
dx
(3 y  3 x )   (3 y  3 x )
2
2
dx
dy
dx
 
3 y  3x
2
3 y  3x
2
 
y x
2
y  x
2
Ej: Determinar f  ( x ) , si f ( x ) 
Solución:
x  2x
2
f ( x)  ( x  2 x)
2
1
2
1
1
2
f ( x ) 
( x  2 x) 2  (2 x  2)
2
2 ( x  1)
f ( x ) 
2
x  2x
2
Ej: Hallar la derivada y  de la relación
Solución:
y  3 xy  1  0
2
y  3x y  1  0  y  3x y  1
2
2
Por definición de valor absoluto se tiene:
i)
y  3x y  1
2
ii) y 2  3 x y   1
En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º
miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene:
2 y dy  3 y - 3 x dy
 0
dx
dx
dy
3y
( 2 y  3 y ) dy
 3y 

dx
dx
2 y  3x
Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva x 2  3 x y  y 2  5
En el punto (1,1) de ella
Solución: (1,1) es pto. de la curva.
Derivando implícitamente con respecto a x se tiene:
2 x  3 y  3 x dy
dy
 2 y
 0
dx
dx
 2x  3y
-5
 dy 

 
   1  mT  m N  1

dx
3x  2 y
5
 dx  (1,1 )
dy
T:
y  1   1( x  1)
y 1  x 1
x y20
N:
y 1  x 1
y  x
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
y  f ( x ) es diferenciable, entonces se tiene
-Sí
de y
dy
 f  ( x ) , 1ª derivada
dx
con respecto a x
- Puesto que f  ( x ) es función de x , se tiene derivando
respecto a
 f ( x ) 
d
f  ( x ) con
x
2

dx
d y
dx
2
 f  ( x ) , 2ª derivada de y con respecto a x
- f  ( x ) es función de x , entonces:
d
dx
 f ( x ) 
3

d y
dx
3
 f
(3)
( x ) , 3ª derivada de con respecto a x
-Sí y  f ( x ) tiene n derivadas, se llega a la expresión:
n

d y
d  ( n  1)
 f
f
 
n
( x)
dx
dx 
(n)
(x)
, n -ésima derivada de y con
respecto a x
Ej: Determinar las derivadas sucesivas de
y  f ( x) 1 x  3x  5x  1
3
2
3
Solución:
2
f ( x )  x  6 x  5
f  ( x )  2 x  6
f  ( x )  2
f
( IV )
(x)  0
2
Ej: Determinar d y
2
dx
que
en la ecuación x  x y  y  2 , suponiendo
y es función de x
Solución:
1  y  x dy  dy  0  dy 
dx
dx
dx
Derivando implícitamente:
dy
dy
2
2
d y
x d y



 0
2
2
dx
dx
dx
dx
1 y
1 x
d
2
dx
d
2
dx
y
2
y
2

1
1 x
2
dy
dx
2
d y
2 (1  y )
  1   2 1  y 

 




2
2


1 x 
dx
(1  x )
1 x 
APLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMA (Teorema de los valores extremos)
Si
f
es una función continua definida en el intervalo cerrado a , b  ,
existe (por lo menos) un punto x 1  a , b  tal que a  x 1  b , en el cual
f
toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto x 2  a , b  , tal
que a  x 2  b
en el cual
f
toma el menor valor.
Gráficamente
y
f ( x1 )
y  f ( x)
f ( x2 )
0
a
x1
x2
b
x
 x  a , b  se cumple f ( x 2 )  f ( x )  f ( x1 )
en que
f ( x1 )
f ( x2 )
es el máximo valor de f en a , b 
es el mínimo valor de f
en
a , b 
y
TEOREMA: Supóngase que f es continua en un intervalo que toma su
valor máximo (o mínimo) en algún punto x 0
que está en el interior del
Intervalo. Si existe f ( x 0 ) , entonces f ( x 0 )  0
COROLARIO: Sí
f ( x 0 ) es un mínimo de f , entonces f ( x 0 )  0 ,
Siempre que exista la derivada
NOTA: Es importante hacer notar que x 0 debe ser un punto interior al
intervalo, puesto que f ( x )  x 2 , definida en 1  x  2
Tiene un máximo en x  2
y un mínimo en
en todo punto del intervalo 1, 2 
x  1 y además f  ( x )  0
y
y  f ( x)  x
0
1
2
x
f (1)  1 es un mínimo de f en
1, 2 
f ( 2 )  4 es un máximo de f en
1, 2 
2
APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA
REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función
Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad
hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.
Analizando el comportamiento de la función
f  ( x1 )  0  ( x1 , y 1 )
y  f ( x ) se tiene, sí:
es un máximo o un mínimo
f  ( x ) 
concavidad
f  ( x )  0 
Punto de inflexión de la función, cambio
de concavidad
Entonces:
1)
2)
3)
f  ( x1 )  0  f  ( x1 )  0  f  ( x1 ) es un máximo relativo de la
función en x 1
f  ( x1 )  0  f  ( x1 )  0  f  ( x1 )
f  ( x1 )  0  f ( x )
NOTA 1: Los puntos donde
es un mínimo relativo de f ( x )
en x 1
tiene un punto de inflexión en x 1
f ( x ) tiene un máximo, un mínimo y un punto de
inflexión se llaman puntos críticos de la función.
NOTA 2: No siempre cuando
dy
 0 la función
dx
punto extremo (máximo o mínimo).
y  f ( x ) tiene un
Ej: Estudie y grafique la función f ( x )  x  5 x  1
5
Dominio de existencia: R
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
4
f ( x )  5 x  5 ,
4
f ( x )  0  x  1  0
 ( x  1) ( x  1)  0
2
2
 ( x  1) ( x  1) ( x  1)  0
2
 x  1

x 1

x  i  R
 Puntos extremos
x  1
y x 1
-1
1
Sí
x   1  f ( x )  0  f ( x )
es creciente
 1  x  1  f ( x )  0  f ( x ) es decreciente
x  1  f ( x )  0  f ( x )
es creciente
Concavidad:
3
f ( x )  20 x , f ( x )  0  x  0 Punto de inflexión  ( 0 ,1)
Sí
x  0  f  ( x )  0  f ( x )
es cóncava hacia abajo
x  0  f  ( x )  0  f ( x )
es cóncava hacia arriba
Ahora: f  (  1)  0
y
f  (  1)  0  f ( x ) tiene un máximo, su valor
f (  1)  5
f  (1)  0
f  (1)  0  f ( x )
tiene un mínimo, su valor
f (1)   3
Así la gráfica resulta:
y
5
1
-1
0
-3
x
1
f ( x)  x  5 x  1
5