Transcript lec5.ppt
עבודה ואנרגיה עבודה ואנרגיה במרחב נתייחס לשלושה מושגים: כוח עבודה אנרגיה תחילה נגדיר את הגדלים ולאחר מכן נעמוד על הקשרים ביניהם. נתחיל בהסתכלות בבעיה פשוטה .נסתכל בגוף שמסתו m ואשר מרחף במרחב הבין-גלקטי .במלים אחרות לא פועלים כוחות חיצוניים עליו ולכן הוא נע במהירות קבועה. בזמן t = 0מפעילים עליו כוח חיצוני Fextקבוע בכיוון תנועתו. לשם פשטות נניח כי המהירות והכוח החיצוני בכיוון ציר . x חישוב המהירות כפונקציה של הזמן נמצא כיצד כוח קבוע כזה משפיע על מהירות הגוף .עפ"י החוק השיני של ניוטון הגוף ינוע בתאוצה קבועה בפרק הזמן ) (0, tוקיים: dv Fext = ma = m dt 1 dv = Fext dt m v t 1 'v dv' = m Fext 0 dt 0 1 v t - v t = 0 = Fext t-0 m Fext כאשר ) v0 = v(t = 0המהירות v t = v0 + t m התחילית של הגוף. מושג המתקף הפעלת כוח על גוף משנה את התנע וקיים הנ"ל: mv - mv0 = Fext t מתקף השינוי בתנע הגדרה :המכפלה של הכוח באינטרוול זמן פעולתו מוגדר כמתקף. J = Fext t המתקף Jשווה לשינוי התנע של החלקיק באינטרוול (.)0,t באופן כללי :אם Fextתלוי בזמן :המתקף מוגדר כ- t ' F t' dt ext J 0 הכוח שמופעל על mמשנה את התנע הליניארי של m והשינוי שווה למתקף שהכוח מוסר לחלקיק בפרק הזמן של פעולתו. חישוב הדרך כפונקציה של הזמן לחישוב מסלול התנועה נשתמש בהגדרת המהירות: dx = vt dt dx = v t dt t x 0 x0 ' dx' = v t' dt ע"מ לקבל ביטוי מפורש ל x(t) -עלינו להציב ביטוי מפורש ל v(t) -ולבצע אינטגרציה בגבולות המתאימים. Fext 2 x t = x 0 + v0 t + t 2m :נציב את הביטוי 1 x t - x 0 = v 0 + Fext t' dt' = m 0 t = v 0 t' 0 t Fext t' + m 2 2 t Fext v t = v0 + t m 0 את מקוםx0 -וסמנו ב .t = 0 החלקיק בזמן t נכתוב את הביטוי האחרון בצורה נוחה יותר ע"י הצבת .מהנוסחה של המהירות m t= v - v0 Fext Fext m m x - x0 = v - v0 v0 + v - v0 Fext 2m Fext m 1 = v - v0 v0 + v - v0 Fext 2 v + v0 m 1 m 2 2 = = v - v0 v - v0 Fext 2 Fext 2 מצאנו אפוא את הביטוי הבא: m 2 2 = v - v0 2 שני גדלים סקלרים חדשים: – Kאנרגיה קינטית – Wעבודה Fext x - x 0 m 2 =K v 2 W = Fext x - x 0 W = K - K0 הגדרה :האנרגיה הקינטית של הגוף הנה מחצית המכפלה של מסת הגוף בריבוע מהירותו. הגדרה :העבודה שמבצע כוח קבוע על גוף תוגדר כמכפלה של רכיב הכוח המקביל לכוון תנועתו באורך המסלול. m 2 2 = v - v0 2 Fext x - x 0 העבודה שמבצע כוח חיצוני על גוף לאורך דרך שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף; במילים אחרות כוח שפועל על גוף יכול לשנות את האנרגיה הקינטית של הגוף. אנרגיה ועבודה-יחידות ומימדים יחידת עבודה/אנרגיה :ג'אול ()Joule הג'אול שווה לעבודה שנעשית ע"י כוח קבוע שעוצמתו 1 N הפועל לאורך דרך של .1 m )1 Joule = 1 N m=1 (kg m2/s2 מימדים: ][W] = [Force] [distance ]= [mass] [acceleration] [distance = M (L/T2( L = M L2 / T2 בשיטת היחידות CGSיחידת האנרגיה הנה הארג ) ,(ergוהיא מוגדרת כעבודה שמבצע כוח שעוצמתו דין ) (dyneאחד לאורך דרך של ס"מ אחד. )1 erg = 1 (gr cm2/s2 1 Joule = 107erg הערות פרקטיות אם כוח פועל על גוף בכוון תנועתו תהיה העבודה שהכוח מבצע על הגוף שווה למכפלה של הכוח בגודל ההעתק. v F אם כוח פועל על גוף בזוית ө ביחס לכוון תנועתו ,נפרק את הכוח לרכיב מקביל FIIולרכיב ניצב ┴ .Fהעבודה תהיה שווה במקרה זה למכפלה של הרכיב המקביל בגודל ההעתק. F v θ F┴ = F sinθ Y v θ X FII= F cosθ θ F עבודה – הגדרה פורמאלית Y θ F┴ = F sinθ θהיא הזווית בין הכוח לבין ההעתק רכיב הכוח שהוא ניצב לכיוון תנועת החלקיק אינו מבצע עבודה. הגדרת העבודה כמכפלה סקלארית של הכוח בהעתק X כוללות את כל האפשרויות, עבור ), dr=(dx,dy,dz )F=(Fx,Fy,Fz FII= F cosθ W = F dr = Fxdx + Fy dy + Fz dz W = FIIdr העבודה שווה למכפלה של רכיב בכוח שמקביל להעתק בהעתק. W = F(dr)II העבודה שווה למכפלה של הכוח ברכיב ההעתק במקביל לכוח. F F מקרים פרטיים: העבודה חיובית אם הכוח פועל בכיוון ההעתק F>0 , dr>0 W = Fdr > 0 , cos = 1 , F<0 , dr<0 העבודה שלילית אם הכוח פועל בכיוון הפוך להעתק F<0 , dr>0 W = Fdr > 0 , cos = -1 , F>0 , dr<0 הכוח פועל בניצב להעתק dr W = Fdr = 0 , cos = 0 N מקרים שבהם העבודה הנה אפס. v m T T m m v כוח מרכזי כוח שואף מרכז (צנטריפטלי) אינו מבצע עבודה כי ההעתק ניצב לכוח. Fc עבודה שמבצע כוח משתנה • האינטגרל מבטא את השטח מתחת לעקומה של הכוח כפונקציה של הדרך. .1אם ידוע הכוח כפונקציה של ,xנבצע אינטגרציה אנליטית או נומרית. FII x x2 x1 dW = F(r) dr = F (x)dx .2אם נתון גרף של Fכפונקציה של הדרך נחשב את השטח מתחת לעקומה בגבולות x המתאימים ונתמיר את השטח W x1 x 2 = dW = F x dx x לשווי ערך מתאים של עבודה. בעיה חד מימדית 2 1 הגדרה דיפרנציאלית: dW = F(r)·dr העבודה לאורך העתק אינפיניטסימלי dr ) -F(rמייצג ערך יציג של הכח בקטע ( ;)r,r+drבגבול ,dr0 ) F(rיהיה הכוח בנקודה .r הגדרה אינטגרלית :העבודה שמבצע הכוח לאורך מסלול C בין הנקודות ① ו ② -שווה לאינטגרל רימן. W 1 2 F dr C 2 F x,y,z dx + F x,y,z dy + F x,y,z dz z y x 1 עבודה בשדה כוח קבוע -נפילה חופשית גוף נופל ממנוחה מגובה . hבזמן t=0מהירותו ; v0=0והוא בגובה . x=h על הגוף פועל כוח הגרביטציה Fg = -mgשכוונו כלפי מטה בכוון נפילת הגוף .במצב הסופי המהירות ) ;v(tוגובה הגוף מפני הארץ .x=0 h Y 0 חישוב Wg = K f - K i 1 1 2 2 Fg x - x 0 = mv - mv 0 2 2 1 - mg 0 - h = mv 2 - 0 2 1 mgh = mv 2 2 בגובה hלגוף אנרגיה פוטנציאלית בשיעור mghביחס לפני הארץ; כאשר הגוף נופל מגובה hלגובה 0האנרגיה הפוטנציאלית הופכת לאנרגיה קינטית. עבודה בשדה כוח-הגבהת גוף מפני הארץ לגובה h על מנת להעלות גוף מגובה 0לגובה hיש להפעיל כוח חיצוני שכיוונו כלפי מעלה, Fext = - Fg = mg העבודה שמבצע Fextעל הגוף: Wext = Fext (x - x 0 ) = mg (h - 0) = mgh העבודה ש Fext -ביצע על הגוף הפכה לאנרגיה פוטנציאלית בשיעור .mgh העבודה שדרושה להעלות גוף מפני הארץ לגובה hשווה לעבודה שמבצע כוח הכבידה על הגוף כאשר הגוף נופל מגובה x0=hאל פני הארץ בגובה .x=0 נניח עתה כי גוף נופל מגובה התחלתי x0ומהירות תחילית v0לגובה xומהירות .v Wg = K 1 ] - mg (x - x 0 ) = [mv 2 - mv02 2 1 1 2 Mgx 0 + mv0 = mgx + mv 2 2 2 סכום אנרגיה קינטית ופוטנציאלית בגובה x סכום אנרגיה קינטית ופוטנציאלית בגובה x0 xכלשהו ולכן עבור גובה כלשהו : 1 mgx + mv 2 = E ; E = const 2 הגדרה E :אנרגיה הכללית של הגוף. האנרגיה הכללית של הגוף הינה גודל קבוע בזמן. V(x) = mgx 1 K = mv 2 2 נסמן :אנרגיה פוטנציאלית: אנרגיה קינטית פונקצית האנרגיה האנרגיה הפוטנציאלית תלויה בכוח שפועל גל הגוף. 1 E = V(x) + mv 2 2 עבור כבידה U g = mgx xגובה mמנקודת יחוס. למקרה של כוח אלסטי Fe = - kx כוח שמפעיל קפיץ. Fext = - Fe = kxכוח חיצוני שיש להפעיל על קצה הקפיץ כדי למתוח אותו בשיעור xביחס לאורכו במצב שיווי משקל x x 1 2 We = Fext dx' = kx'dx' = kx 2 0 0 2 kx = Ue 2 Ueמבטא את העבודה שהכוח החיצוני מבצע על mעל מנת לשנות את אורך הקפיץ בשיעור xביחס למצבו הרפוי. m x0 m x+x0 m x0 m x+x0 x-x0 2x באופן כללי :אם חלקיק נמצא בשדה כוח ) F(xכלשהו כי אז על מנת להעבירו ממקום התחלתי x0אל מקום xיש לבצע עבודה על הגוף (כנגד הכוח )Fבשיעור : x ' F(x')dx x (x')dx' = - F ext x0 = W x0 x x0 W x0 x = U x - U x0 או x ' F(x')dx x0 U x = U x0 - השינוי באנרגיה הפוטנציאלית כאשר גוף משנה את מקומו ממצב התחלתי x1אל מצב x2יהיה איפוא U x 2 - U x1 x F(x')dx' 0 x1 - F(x')dx' - U x 0 x1 x2 = U x0 x1 x2 x0 x0 ' F(x')dx' + F(x')dx =- ההפרש אינו תלוי ב x0-ולפיכך אין חשיבות לבחירת x0אם אנו מעוניינים לחשב הפרשים של האנרגיה הפוטנציאלית בשתי נקודות התוך השדה. לשם פשטות נבחר נקודת ייחוס שבהU(x0)=0 : כך ש- x ' F x'dx x0 Ux = - הגדרה :האנרגיה הפוטנציאלית בשדה הכוח ) F(xמוגדר באינטגרל x ' F x' dx Ux = - x0 זוהי הגדרה אינטגראלית כדי לקבל הגדרה דיפרנציאלית נחשב את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית במעבר x x + dxכאשר dxהעתק אינפיניטסימאלי. dU = U x+dx - U x = - x+dx x0 =- F x' dx' - x+dx x0 x+dx x0 x x x F x' dx' 0 x F x' dx' - F x' dx' = - F x' dx' )) כמוהו כהחלפת גבולות האינטגרציה-1(-(כפל אינטגרל ב dx0 בגבול dU = - F x' dx dU Fx = dx או הכוח שפועל על גוף שווה לקצב השינוי של האנרגיה הפוטנציאלית שיש לגוף לפי המקום. בכל מקרה הכוח Fשפועל על הגוף נובע מאינטראקציה פנימית כגון כבידה ,כוח אלקטרומגנטי או כוח קפיץ. הכללה :כוח Fintכלשהו והזזה drבכיוון כלשהו בתוך שדה הכוח. dW = Fext dr = - Fint dr B או W A B = - Fint r dr A האינטגרל נקרא אינטגרל קווי של הכוח בגבולות AוB- B Fext = - Fint Fint r A r תנועה במרחב חופשי מאינטראקציות .כאשר מזיזים גוף מנקודה Aלנקודה Bע"י הפעלת כוח חיצוני Fextעל הגוף נעשית עבודה על הגוף השווה לאינטגרל הקווי לאורך מסלול תנועתו. dv =m dt B B Fext B dv dr W A B = Fext dr = m dr = mdv dt dt A A A 1 1 2 2 = mv B - mv A 2 2 vB vA B B 1 1 2 mv dv = m d v v = mv 2 A 2 A 1 1 2 2 W A B = mv B - mv A = k B - k A 2 2 העבודה שנעשית על הגוף חופשי ע"י כוח חיצוני כלשהו שמופעל עליו שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף. כוחות משמרים כוח הינו משמר אם העבודה ( W)A--<Bשמבצע הכוח על ()4 אל A מנקודה בהעתקתו גוף ()2 ()3 נקודה Bב"ת במסלול התנועה של הגוף. העבודה שמבצע כוח משמר ()1 לאורך כל אחד מן המסלולים A ( )1(-)4הנו זהה .העבודה תלוי אך ורק בנקודה התחלתית ()A וסופית (.)B מתוך הגדרתהW A B = -W B A : העבודה שמבצע כוח משמר לאורך מסלול סגור שווה לאפס. B W A B + W B A W A A 0 כוחות מרכזיים הכוח שמפעיל חלקיק 1על חלקיק 2הנו כוח מרכזי אם גודל הכוח הנו פונקציה של המרחק בין החלקיקים וכיוונו מונח על הישר שמחבר את החלקיקים. ˆFc = f |r| r הגדרה מתמטית : כוח הגרביטציה העולמי הינו כוח מרכזי ומשמר. ˆ Gm1m 2 FG = r 2 r הכוח האלקטרוסטאטי בין שני מטענים נקודתיים במנוחה הנו כוח מרכזי ומשמר. ˆ r kq1q 2 Fel = 2 r