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第3章 误差与实验数
据的处理
3.1 误差的基本概念
3.2
随机误差的正态分布
3.3
有限数据的统计处理
3.4
有效数字及其运算规则
甲、乙两名化验员分别测定某种镍合金中的镍的含量，
结果如下：
甲：71.06,71.36,71.40,71.25,71.31,71.18（%）
乙：71.38, 71.45, 71.48, 71.50, 71.26, 71.32, 71.45,
71.42,71.16（%）
假定镍合金中镍的实际含量为71.30%，则两名化验
员的结果谁的更好？
3.1 误差的基本概念
1、准确度和误差：
真值：客观存在，但绝对真值不可测;
理论真值: （如化合物的理论组成）;
约定真值: （如国际计量大会确定的长度、质量、物质
的量单位等等）;
相对真值: （如高一级精度的测量值相对于低一级精度
的测量值）。
准确度: 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。
误差
绝对误差: 测量值与真值间的差值, 用 E表示
E = x - xT
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = （x – xT） /xT×100％
例 某一物体质量称量为1.6380g,其真实质量为
1.6381g，则:绝对误差=？
说明：在实际分析中，真实值难以得到，常以多次
平行测定结果的算术平均值代替真实值。
例 某同学用分析天平直接称量两个物体，一为
5.0000g，一为0.5000g, 试求两个物体的相对误差。
解：用分析天平称量，两物体称量的绝对误差均
为正负0.0002g, 则两个称量的相对误差分别为：
讨
论
1）绝对误差相等，但相对误差并不一定相等。测定
量大的相对误差小，准确度就高。用相对误差来表
示准确度，更为确切。
2）误差有正和负，正值表示表示分析结果偏高，负
值表示分析结果偏低。
2、精密度和偏差：
精密度: 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡
量。
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示。
∑di = 0
例 测定某试样中铝的百分含量为：57.64%，
57.58%，57.54 %，57.60%，57.55(%)，试计算其
绝对偏差和相对偏差。
平均偏差： 各单个偏差绝对值的平均值。
n
d 

i 1
xi  x
n
相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值。
n
d
相对平均偏差%   100% 
x
x
i 1
i
x
nx
 100%
例：测定某试样中氯的百分含量，三次分析结果分别为
25.12、25.21和25.09，计算平均偏差和相对平均偏差。如
果真实百分含量为25.10,计算绝对误差和相对误差。
解：平均值
平均偏差
2512
.  25. 21 25. 09
X
 2514
. (%)
3
d
0. 02 0. 07 0. 05
 0. 05(%)
3
相对平均偏差＝(0.05/25.14)×1000‰=2‰
绝对误差E=25.14-25.10=+0.04(%)
相对误差＝(+0.04/25.10)×1000‰=+2‰
如下二组数据，各次测量的偏差分别为：
第一组：+0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4, 0.0,-0.3,+0.2,-0.3;
第二组：0.0, +0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1;
哪一组数据的精密度好？
平均偏差 ：
特点：简单
缺点：大偏差得不到应有反映。
标准偏差：又称均方根偏差
标准偏差的计算分两种情况
（1）当测定次数趋于无穷大时（总体）
标准偏差 ：
μ 为无限多次测定的平均值（总体平均值）； 即：
lim X  
n 
当消除系统误差时，μ即为真值。
（2）有限测定次数（样本）
s
 (x  x )
2
n 1
n→∞时， →μ ， s→σ
x
相对标准偏差（变异系数）:

准确度与精密度的关系：
(1) 准确度是测量结果接近真值的程度，精密度
表示测量的再现性或重现性；
(2)精密度是保证准确度的先决条件；精密度高
不一定准确度高；
(3) 两者的差别主要是由于误差类别的存在。
只有准确度及精密度都高－结果可信。

下面论述中正确的是：
A.精密度高，准确度一定高
B.准确度高，一定要求精密度高
C.精密度高，系统误差一定小
D.分析中，首先要求准确度，其次才是精密度
某人对试样测定五次，求得平均值的偏差d 分
别为+0.04，-0.02，+0.01，-0.01，+0.06。则此
计算结果应是？
A.正确的
B.不正确的
C.全部结果是正值
D.全部结果是负值
3、系统误差和随机误差：
系统误差:又称可测误差；
产生的原因：
方法误差: 溶解损失、终点误差－用其他方法校
正；
试剂或仪器误差: 刻度不准、砝码磨损－校准
(绝对、相对)；所用的试剂不纯等；
操作（主观）误差: 生理上或习惯上主观原因造成
的误差。
特点：具单向性、重复性、可测性特点；

随机误差: 又称偶然误差
不可校正，无法避免，服从统计规律
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其
平均值越接近真值。一般平行测定4-6次；
过失:由粗心大意引起，可以避免的。
误差的减免 ：

系统误差的消除 ：
1 采用标准方法或对照试验，找出校正数据，消除
方法误差 ；
2 实验前校正器皿和仪器，消除仪器误差；
3 做空白实验，检验和消除溶剂误差；

减小偶然误差 :
1 大小相近的正误差和负误差出现的机率相等，
即绝对值相近 ( 或相等 ) 而符号相反的误差以
同等的机率出现。
2 小误差出现的频率高，而大误差出现的频数较
低，很大误差出现的机率近于零或极少。即：偶
然误差的规律符合正态分布。
在消除系统误差的情况下，增加测定次数，取其
平均值，可减少偶然误差。
系统误差与随机误差的比较：
项目
系统误差
随机误差
产生原因
固定因素，有时不存
在
不定因素，总是存
在
分类
方法误差、仪器与试
剂误差、主观误差
环境的变化因素、
主观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或 服从概率统计规律、
周期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减
小的方法
校正
增加测定的次数
若试样的分析结果精密度很好，但准确度不好，可能
原因是：
A 试样不均匀 B 使用试剂含有影响测定的杂质
C 有过失操作 D 使用的容量仪器经过了校正
下面有关误差论述中正确的为（
）。
A．精密度好误差一定小
B．随机误差具有方向性
C．准确度可以衡量误差的大小
D．绝对误差就是误差的绝对值
测定中出现下列情况属于偶然误差的是（ ）。
A.试样未经充分混匀
B.滴定时有液滴溅出
C.砝码生锈
D.滴定管最后一位估读不准确
4 误差的传递
系统误差
a. 加减法
R=mA+nB-pC
b. 乘除法
R=mA×nB/pC
c. 指数运算
R=mAn
d. 对数运算
R=mlgA

ER=mEA+nEB-pEC

ER/R=EA/A+EB/B-EC/C

ER/R=nEA/A

ER=0.434mEA/A
随机误差
a. 加减法
R=mA+nB-pC
b. 乘除法
R=mA×nB/pC
c. 指数运算
R=mAn
d. 对数运算
R=mlgA
 sR2=m2sA2+n2sB2+p2sC2
 sR2/R2=sA2/A2+sB2/B2+sC2/C2
 sR/R=nsA/A
 sR=0.434msA/A
极值误差
最大可能误差
R=A+B-C
R＝AB/C
 ER=|EA|+|EB|+|EC|
 ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|