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抛物线及其标准方程
瑞金一中高二数学备课组
程丽君
问题引入：动点M到定点F与到定直线l距
离MH之比为定值e，当0<e<1时，点M轨迹
为椭圆。
那么当e＞1时，点的轨迹是什么曲线？
当e=1时，它又是什么曲线 ？
l
N
M
·F
0＜e ＜1
一、抛物线的定义:
在平面内,到一个定
点F距离和定直线l(l不经 H
过点F)的距离相等的点
的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线。 l
注：
（1）“一动三定”；
（2）定点F不在定直线l
d
C
M
·
·F
e=1
准线
焦
点
问题2：如何求写抛物线方程呢？
求曲线方程的五个步骤：“建”、“设”、
“限”、“代”、“化”.
y
y
.
K
F
l
x
y
.
K
l
x
F
K O
l
.
F
x
建系一：以KF所在直线为x轴，以K为原
点建立直角坐标系，则F（p,0）
设动点M(x,y),
由定义得动点M限制条件：
y
将M（x,y）代入得:
( x p)  y  x
2
2
化简得：y  2 px  p ( p  0 )
2
2
d
. M(x,y)
.
K(O)
F
l
x
不同建系下的方程比较
y
.
K
x
F
y  2 px  p
.
K
l
2
y
y
x
F
K O
y  2 px  p
2
F
x
l
l
2
.
2
y  2 px
2
y
Ko
l
标准方程 y  2 px( p  0 ) 的特点
M(x,y)
（1）p的几何意义：焦点到准线的
距离.
x (2）焦点坐标为 F ( p ,0)
F
2
p
准线方程为：x  
2
2
(3)抛物线开口方向——向右
问题3：若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝
下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？
图
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
y2=2px
(p>0)
p
( ,0)
2
p
x
2
y2=-2px
(p>0)
p
( ,0)
2
p
x
2
x2=2py
(p>0)
p
(0， )
2
p
y
2
y
l
O
y
F
x
l
x
O
y
F
O
l
x
y
l
O
F
x
p
x2=-2py
(0，
 )
(p>0)
2
p
y
2
二
抛
物
线
的
标
准
方
程
• “三看” 抛物线的标准方程
• （1）从形式上看：方程左边为二次式，
系数为1；右边为一次项，系数为  2 p
• （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称
轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦
点与准线的距离相等，均为p\2.
• (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准
线及开口方向；一次项系数为焦点非零
坐标的4倍.
应用一、相关量的计算
• 例1.已知抛物线的标准方程求焦点坐
标和准线方程
( 1 ) y  6 x
2
( 2 )2 y  5 x  0
2
（3）y  ax ( a  0 )
2
• 归纳1：求抛物线准线方程或焦点坐标须先
将方程化为标准形式。
应用二、求抛物线方程
例2.求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）焦点到准线距离为5
1
( 2 )准线为: x 
4
( 3 )焦点在直线y  3 x  6上
（4）过点P ( 4 ,2 )
• 归纳2：求抛物线方程先确定开口方向，再
计算p值。即先定型，再定量。
.
例3.（1）如果抛物线的顶点在原点,焦点
在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的
距离等于5,求抛物线方程
（2）点M与点F（2，0）的距离比它到
直线x=-4的距离小2，求M的轨迹方程。
y
y
N
. M(m,-3)
A
x
N
M
O
F
F
x=-4 x=-2
归纳3：求解抛物线方程的两种方法——待
定系数法和定义法。
x
应用三、利用抛物线定义解决相关问
题.
例4.已知抛物线 y  8 x 的焦点为F，准
2
线l与x轴的交点为K， C为抛物线上一点.
（1）若CA⊥l于点A ，且直线AF的斜率
为  3 , 则 |CF|=_______
（2）若 CK  2 CF ,则 KFC 的面积为
________
y
C
A
y
C
A
K
O
F
x
K
O
F
x
归纳4：充分借助抛物线定义可将较复杂
的抛物线问题转化为简单几何求解。
思考已知抛物线形古城门底部宽12m,高6m
(1)一辆货车宽4m,高4m，问能否通过此城
门?
(2)若城门为双向行道，那么该货车能否
通过呢？
课堂小结
1.抛物线定义及标准方程的推导.
• 2.标准方程的四种形式及其特征.
• 3.已知标准方程求焦点和准线.
• 4.根据已知条件求抛物线标准方程.
• 5.能运用抛物线定义解决有关问题。