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辅导高一、二、三年级学生研究性学习(北师大版)
内容：在三角形中，根据三角形的边与角的关系，利用正、余
弦定理及不等式知识来确定三角形边长的取值范围.
三角形中边长范围的确定方法(定理(上))
作者：江西省永丰二中 曾庆发
学科学段：高中数学
三角形中最大与最小边长取值范围的确定定理
定理1：在锐角 ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a, b, c .
(1)若A  B  C，则三角形的最大边长c的取值范围为 b  c  a 2  b 2 ；
最小边长 a 的取值范围为c  b  a  b.
(2)若A  B  C，则三角形的最大边长c的取值范围为 b  c  a 2  b2 ；
最小边长 a 的取值范围为c  b  a  b .
证明(1)：因 A  B  C，在三角形中，“由大角对大边，小角对小边”
a2  b2  c2
0，
定理得 a  b  c；又最大角C为锐角，由余弦定理cos C 
2bc
2
2
2
得 c  a  b ；从而得b  c  a 2  b 2 (注: a 2  b2  a  b ).
c b  a  b
由于“三角形的任意两边之差小于第三边” ，可得
证明(2)：由(1) 的证明过程易得(不取等号而已)
b  c  a 2  b2 ；c  b  a  b .
.
三角形中最大与最小边长取值范围的确定定理
定理2：在钝角 ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a, b, c .
若A  B  C (或 A  B  C )，则三角形的最大边长c的取值范围为
；最小边长a 的取值范围为 c  b  a  b (或 c  b  a  b).
2
2
a b  c  ab
证明：因 A  B  C，在三角形中，“由大角对大边，小角对小边”
2
2
2
a

b

c
定理得 a  b  c ;又最大角C为钝角，由余弦定理 cos C 
0 ，
2ab
得
c 2  a 2  b 2 ，即 c  a 2  b2 ；由于“三角形的任意两边之和大于第
c  a  b ,从而得a  b  c  a  b ;
三边，任意两边之差小于第三边” ;则
2
也可得 c  b  a  b(或 c  b  a  b ).
2
三角形中最大与最小边长取值范围的确定定理
定理3：在直角 ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a, b, c .
若A  B  C ，则三角形的最大边长c的值为 c  a 2  b2 ；
最小边长 a 的值为 a 
c 2  b2.
证明：因 A  B  C，在三角形中，“由大角对大边，小角对小边”
定理得a  b  c ；又最大角C为直角，即 C  90 ；在直角三角形ABC
中，由勾股定理可得 c 
a 2  b 2 ；a  c 2  b 2 .
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