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UNIDAD 5
PRODUCTOS Y COCIENTES
NOTABLES
Ejercicios Resueltos
Índice
•
•
•
•
•
•
•
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3
OBJETIVO 4
OBJETIVO 5
OBJETIVO 6
OBJETIVO 7
Objetivo 2. Memorizarás y aplicarás la
regla para obtener el cuadrado de un
binomio.
Calcula los productos notables que se indican:
 ax
1.)
 ax
2
 by
2
 by
   ax 
2 2
2 2

2 2
 2  ax
2
by   by 
2 2
2
 a x  2abx y  b y
2
4
2
2
2
4
2.)
1 5 3 3
 t  w 
4 
2
2
2
2
1 5 3 3 1 5
 1 5  3 3   3 3 
 t  w    t   2 t  w    w 
4  2 
2
 2  4   4 
1 10 3 5 3 9 6
 t  t w  w
4
4
16
2
3.)
 4a
5
a 

 b

2
2
2
 4a
 4a 
 4a  5
5
5 2
 a      2 a   a 

 b
  b 
 b 
2
6
16a 8a
10
 2 
a
b
b
4.)
5 4
3
 w z 
2 
5
2
2
2
5 4 3 
3
 3  5 4   5 4 
 w  z    w   2  w  z    z 
2  5 
5
 5  2   2 
9 2
25 8
4

w  3wz 
z
25
4
2

5.)

2x  3 y
2x  3 y

2
 
2

2


 



 

2x  2 2x 3 y  3 y
2
 2 x  6 2 xy  9 y
6.)
2
2
3x  2 x
3x  2 x

2
   2 3x 
2
 12 x  8 3x  4 x
2
 2 2 3x 2 x  2 x
 16 x  8 3x
2
7.)
 sen x  cos x 
2
 sen x  2sen x cos x  cos x
2
 sen x  cos x 
2
2
  sen x   2  sen x  cos x    cos x 
2
 1  2sen x cos x
2
8.)
a  b  c  d 
a  b  c  d 
2
2
  a  b    c  d  
2
  a  b   2  a  b  c  d    c  d 
2
2
  a 2  2ab  b 2   2  ac  ad  bc  bd    c 2  2cd  d 2 
 a 2  2ab  b 2  2ac  2ad  2bc  2bd  c 2  2cd  d 2
Índice
Objetivo 3.
Memorizarás y aplicarás la
regla para obtener el producto de la suma
por la diferencia de dos cantidades.
Calcula los productos notables que se indican:
a
1.)
a
3
 7b
2
3
 7b
 7b
2
2
 7b
a
3
2

   a    7b 
 a  49b
6
a
3
3 2
4
2 2
1 
1

 x   x  
x 
x

2.)
1 
1
2

1
 x   x     x    
x 
x

x
3
3.)
3
2

7x  2 y 3 7x  2 y

1
x  2
x
2
 

7x  2 y 3 7x  2 y  3 7x
 63x  4 y
  2 y 
2
2
4.)
 a  b  1 a  b 1
 a  b  1 a  b  1   a  b   1  a  b   1
 a  b 1
2
2
 a  2ab  b  1
2
2
5.)
 2x  y  z  2x  y  z 
 2 x  y  z  2 x  y  z    2 x   y  z   2 x   y  z 
  2x    y  z 
2
2
2
 4 x   y  2 xy  z

 4 x  y  2 xy  z
2
2
2
2
2
Índice
Objetivo 4. Memorizarás y aplicarás
la regla para obtener el cubo de un
binomio.
Calcula los productos notables que se indican:
1.)
ht  2t 
 ht   3ht  2t   3ht 2t 
3
2
2 3
2 2
2
2
 h t  6h t  12ht  8t
3 6
2.)
a
x
b
 
 a
x 3
a
3x
2 5
4
 2t 
3
3

y 3
  b   3a b   b 
3 a
x 2
y
y 2
x
 3a b  3a b
2x
y
x
2y
y 3
b
3y
3.)
x
 x
 5y

 3 x
2a 3

a 3
2a
 5 y   3  x 5 y   5 y 
2a 2
a
a 2
2a
 x  15x y  75x y  125 y
6a
4.)
4a
2a
2a
a 3
3a
 2x  y 
2 3
  2x  3 2x
3
2
 y   3 2x   y    y 
2 2
2
 8 x  12 x y  6 xy  y
3
2
2
4
6
2 3
 5x  6 y 


 2x 
2
5.)
3
3
 5x 3 y 
  
x 
 2
2
3
2
 5x 
 5 x   3 y   5 x  3 y   3 y 
    3     3     
 2
 2   x   2  x   x 
3
2
2
125 x 225 x y 135 xy 27 y



 3
8
2x
2x
x
125 x 3 225 xy 135 y 2 27 y 3



 3
8
2
2
x
3
3

6.)


x  2 xy
3
 x   3 x  2xy  3 x 2xy
3
2
3
2
2
5
2
 2 xy
 x  6 x y  12 x y  8x y
2
2
3
3
3
 x  6 x y  12 x y  8x y
3
2
5
2
3
3
a  2 b 
3
7.)



 
 a   3a  2 b  3a  2 b  2 b
3
2
 a  6a
3
8.)
1 
3
 a  b
2 


b  12ab  8 b
2

3
3
3
   
3
2
 
2
1 
1  1 
3
a  3 a  b  3 a  b   b
2 
2  2 
33 2
33 2 1 3
a
a b
ab  b
2
4
8
3
3
2
3
 x 1 y
9.)
3
  x  1  y 
  x  1  3  x  1
3

3
2
 y   3  x  1 y    y 
2
3

 x3  3  x  1  3  x 1  13  3  x2  2 x  1  y   3  x  1 y 2  y 3
2
2
 x3  3x 2  3x  1  3x 2 y  6 xy  3 y  3xy 2  3 y 2  y 3
10.) Eleva a la tercera potencia la diferencia de
b 1
menos
b  1  c  1  b  c  2 
3
 b  c   2
3
.
c 1
3
 b  c   3b  c  2  3b  c 2  2
3
2
2

3

 b3  3b 2c  3bc 2  c3  6 b 2  2bc  c 2  12b  12c  8
 b  3b c  3bc  c  6b  12bc  6c  12b  12c  8
3
2
2
3
2
2
Índice
Objetivo 5. Memorizarás y aplicarás la
regla para obtener el producto de dos
binomios con un término común.
Calcula los productos notables que se indican:
1.)
1
 3

  y   y 
4
 4

1
 3

  y   y 
4
 4

  y
2
1 3
 1  3 
    y    
4 4
 4  4 
3
 y  y
16
2
2.)
2
2

x  x 5  4x

x  x 5  4x


 2 x  x 5 2 x

 2 x

2





  x  5 2 x   x  5
 4 x  2 x x  10 x  5 x
 9 x  2 x x  10 x
 ab  ac  ab  bc 
3.)
 ab  ac  ab  bc 
  ab   ac   bc   ab    ac  bc 
2
 a b  a bc  ab c  abc
2 2
2
2
2
4.)
 4x  y  1 4x  3 y  1
4x  y  14x  3 y  1
  4 x  1  y  4 x  1  3 y 
  4 x  1  y   4 x  1  y   4 x  1  3 y 
  4 x  1   y   3 y   4 x  1   y  3 y 
2
 16 x  8 x  1  8 xy  2 y  3 y
2
2
5.)
x
x
 x  y 
 z x  y 
2
y z
2
2
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



  x  y   z   x  y   0
 x  y
2
x
4

2 2
  z 2  0  x 2  y 2    z 2   0 
 2x y  y  x z  y z
2
2
4
2 2
2 2

Índice
Objetivo 6. Memorizarás y aplicarás las reglas
para obtener el cociente de la diferencia de los
cuadrados de dos cantidades entre la suma o
la diferencia de las cantidades.
Calcula los cocientes notables que se indican:
4 x  121
2 x  11
2
1.)
2 x   11


2
2
2 x  11
 2x 11
9a b  16a b
3a 2b  4ab3
4 2
2.)
2 6
3a b    4ab 


2
2
3a b  4ab
2
3 2
3
 3a b  4ab
2
3
2 x2
3.)
a
 4b
x 1
x
a  2b
2x
2 x2
a
 4b
x 1
x
a  2b
2x
a    2b 


x 1 2
a
x 1
x 2
 2b
x
a
x 1
 2b
x
3a  9b
y
2x
3b  3a
4x
3a  9b
y
2x
3b  3a
4x
4.)
2y
2y
3a  9b

2x
y
3a  3b
4x


3a
2x
2y
  3b 
2
3a  3b
2x
y 2
y
 3a  3b
2x
y
Índice
Objetivo 7.Memorizarás y aplicarás las reglas
para obtener el cociente de la suma o la
diferencia de los cubos de dos cantidades entre
la suma o la diferencia de las cantidades.
Determina el resultado de los siguientes
cocientes notables:
a  27b
3a  9b
3
1.)
3
a 3  27b3

3a  3b 

a  27b
3a  9b
3
3

1 a   3b  

3

3
1 2
2
 a  a 3b   3b 
3

3


a  3b
2
a
2

 ab  3b
3
64m  125n
4m  5n
3
2.)
3
64m  125n
4m  5n
3

4m  5n 

3
3
4m  5n
 4m   4m 5n   5n 
2
 16m  20mn  25n
2
2
2
3
6
6
x
 343 y
27
2
x
 73 y
3
3.)
3

x 
   73 y
3


x2
 73 y
3
2

3
x
 343 y
27
2
x
 73 y
3
x
 
 3
2
4
2

 
 x  3
    7 y  73 y
  3
23
2
7x y
x
2
3


7 y
9
3

2
x  x  3x y  3xy  y
2
x x y
6
4.)
3
2
2
x  x  3x y  3xy  y
2
x x y
6
3
2
2
3

x   x  y 

x  x  y 
 2
x  x  y 
2 3
3
6
3
3
x 2  x  y 
   x x  y   x  y 
 x
2 2
2
2
 x  x  x y  x  2 xy  y
4
3
2
2
2
5.)
xy  8 xy
xy  8 xy
26 xy  3 xy


3


3
26 xy  3 xy
 
3
xy  26 xy
26 xy  3 xy
 
2
xy 
3


3
 
xy 26 xy  26 xy

2
 x y  2 xy  43 xy
3
2
2
Índice