Transcript 3.6

學習內容
• 3.1 Derivatives and Rates of Change
– 導函數與改變率
• 3.2 The Derivative as a Function
– 視導函數為函數
• 3.3 Differentiation Formulas
– 微分公式
• 3.4 Derivatives of Trigonometric Functions
– 三角函數的導函數
• 3.5 The Chain Rule
– 鎖鏈法則
• 3.6 Implicit Differentiation
– 隱函數微分
• 3.9 Linear Approximations and Differentials
– 線性估計與微變量
3.6
Implicit Differentiation
隱函數微分
學習重點
• 辨識隱函數
• 隱函數法微分方法
函數的表示型態
• 顯函數 (explicit function)
– y = f(x)
– 應變數在 = 號的一邊，自變數在另一邊
– y = x2 + 2x - 1
• 隱函數 (implicit function)
– f(x, y) = 0
– 應變數和自變數混合在一起，無法分離
– x2 + y2 – 6xy = 25
Example: 在點(3,-4)之切線斜率?
x2 + y2 = 25
y2 = 25 - x2
y   25  x 2
隱函數微分法
• 視 y = f(x)
• = 號兩邊每一項都對x微分
– 只有x則依基本微分法則對x微分
– 只有y則依鎖鏈法則對y微分，再乘以y’
– 若有x和y則可能需依乘法或除法法則微分
• 將含有y’項者移至 = 號左邊，其餘移至 =
號右邊
• 提公因式y’ ，求解 y’
Example: 圓x2 + y2 = 25 上點(3,-4)之切線
斜率?
x 2  y 2  25
2 x  2 y  y  0
2 y  y  0  2 x
 2x
x
y 

2y
y
x
3
y  

y 3, 4 
4
Example 2*: 求在曲線
(2,4)之切線與法線?
x3 + y3 -9xy = 0
x3  y 3  9 x  y  0
3 x 2  3 y 2  y  91  y  x 1 y  0
3 y 2  y  9 x  y  9 y  3 x 2
y3 y 2  9 x   9 y  3 x 2
9 y  3x 2
9  4  3  22 4
y  2


3 y  9 x 2, 4  3  4 2  9  2 5
上點
y ( 2, 4 )
4

5
過點(2, 4)之切線斜率
(2, b)
4) 之切線方程式
過點(a,
4
(a
 y  b4  y5
2)
2)( x  a
過點(2, 4)之切線
5

過點(2, 4)之法線斜率
4
(2, b)
4) 之法線方程式
過點(a,
5 ( x  a)
 y  b4  mnormal
2
4
過點(2, 4)之法線
4
4
Example 4 Find y” if x + y = 16
3
x
y'   3
y
4 x  4 y  y  0
3
3
d  x3 
y 3 (d / dx)( x 3 )  x 3 (d / dx)( y 3 )
y ''   y’3   
dx  y 
( y 3 )2
y  3x  x (3 y y ')

6
y
3
2
3
2
 x 
3x y  3x y  y’3 
y
y 


y ''  
6
y
y
3
2
3
3
2
3( x y  x )
3x ( y  x )



7
7
y
y
2
4
2
6
2
2
3x (16)
x
y ''  
 48 7
7
y
y
4
4