Transcript Document 7705469

ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA
Dvodimenzionalni signali
1, m  n  0
[m, n]  
0, drugde.
jedinična impulsna funkcija
1, m, n  0
u[m, n]  
0, drugde.
 A m n , m, n  0
e[m, n]  
 0,
drugde.
x[m, n]  f col [m]g row [n]
jedinična odskočna funkcija
eksponencijalna sekvenca
separabilne sekvence
x[m, n]  x[m  M , n]  x[m, n  N ],  m, n
periodične sekvence
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Linearni vremenski i prostorno invarijantni dvodimenzionalni sistemi
y[m, n]  Τ x[m, n].
K
 K
Τ  ai xi [m, n]   ai yi [m, n],
 i 1
 i 1
Linearnost (aditivnost+homogenost)
Τ x[m  m1 , n  n1 ]  y[m  m1 , n  n1 ].
h[m, n; k , l ]
prostorna invarijantnost
impulsni odziv sistema
h[m, n; k , l ]  Τ  [m  k , n  l ]  h[m  k , n  l ],
impulsni odziv prostorno
invarijantnog sistema
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Linearni vremenski invarijantni dvodimenzionalni sistemi
  

y[m, n]  Τ  x[m, n]  Τ    x[k , l ] [m  k , n  l ]
k  l 





konvoluciona suma

  x[k , l ]Τ  [m  k , n  l ]    x[k , l ]h[m, n; k , l ],
k  l 
k  l 
konvolucija kod prostorno invarijantnih sistema
y[m, n]  R x[m, n] 


  x[ k , l]h[m  k , n  l]  x[m, n] h[m, n]
k   l  
x[m, n]  0, 0  m, n  N  1,
x[m, n]  0,
drugde,
y[m, n]  0, 0  m, n  N  M  2,
y[m, n]  0,
drugde.
h[m, n]  0, 0  m, n  M  1,
h[m, n]  0,
drugde.
broj aritmetičkih operacija
( N  M  1) 2 M 2
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
konvolucija separabilnih sistema
h[m, n]  hm [m]hn [n]
hm [m]  0, 0  m  M  1
hm [m]  0,
inače,
y[m, n] 
f [ k , n] 
hn [n]  0, 0  n  M  1
hn [n]  0,
inače



k 

l 
k 
 hm [m  k ]  x[ k , l]hn [n  l ]   hm [m  k ] f [ k , n]
 x[ k , l]hn [n  l ]  x[ k , n] hn [n]
broj operacija
M ( N  M  1) 2
MN ( N  M  1)
l 
ukupno
N  M
MN ( N  M  1)  M ( N  M  1) 2
broj operacija smanjen
M 2
puta
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
konvolucija kontinualnih i diskretnih sistema:
c  x, y   a  x, y   b  x, y  
 
  a, bx  , y  dd
 
cn1 , n2   an1 , n2   bn1 , n2  


  an , n bn
k1   k 2  
1
2
1
 k1 , n2  k 2 
osobine konvolucije:
c  a b  b  a
komutativnost
c  a  b  d   a  b  d  a  b  d
c  a  b  d   a  b  a  d
asocijativnost
distributivnost
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretne unitarne transformacije
N 1
 g [ n] g
n0
i

j
[n]   [i  j ]
N 1
 q[n]g
n 0

i
[ n]  0
x[n], n  0,1..., N  1
x[n] 
N 1
 X [k ]g[n, k ],
ortonormalnost
kompletnost
g k  n  g[n, k ] jezgro
ili bazisna funkcija
N 1
n  0,1,, N  1
X [k ] 
k 0
P 1
xP [n]   X [k ]g[n, k ], P  N
k 0
 x[n] f [n, k ],
n0
 2e

N 1
  x[n]  x P [n]
n0
2
k  0,1,, N  1
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretne unitarne transformacije – matrični oblik
x[n] 
N 1
 X [k ]g[n, k ],
N 1
n  0,1,, N  1
X [k ] 
 x[n] f [n, k ],
n0
k 0
xN  GN N XN
X N  FN  N x N
G N  N  FN1 N
unitarna matrica
FN1 N  (FN  N ) T
x N  (FN*  N ) T X N
k  0,1,, N  1
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretne unitarne transformacije dvodimenzionalnih signala
M 1 N 1
  f [m, n, k , l] f [m, n, k , l ]  [ k  k , l  l ]
m 0 n  0
M 1 N 1
  q[m, n] f

[m, n, k , l ]  0
k 0 l 0
ortonormalnost
kompletnost
x[m, n], m  0,1,..., M  1, n  0,1,..., N  1
M 1N 1
X [k , l] 
  x[m, n] f [m, n, k , l],
k  0,1,, M  1, l  0,1,, N  1
m 0 n  0
M 1 N 1
x[m, n] 
  X [ k , l] f *[m, n, k , l],
k 0 l 0
m  0,1,, M  1, n  0,1,, N  1
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretne unitarne transformacije 2D signala – matrični oblik
xMN
y MN 
X M  N napisati ih u obliku kolona vektora x MN
N
 Nn YM  N cn
n 1
N
YM  N 
 (Nn ) T y MN (cn ) T
n 1
 0 1
 
 
 0 n  1
 
c n   1 n
 0 n  1
 
 
 0 N
 
X MN  F MN  MN x MN
*
T
x MN  (FMN
 MN ) X MN
F MN  MN
X MN
 0  1
   


 0 n 1


N n  I M  M  n
 0 n 1




 
 0  N


 F11 F12
F
F22
21

 


F N 1 F N 2
 F1 N 
 F2 N 


 

 FNN 
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Separabilne unitarne transformacije 2D signala
f [m, n, k , l ]  a[m, k ]b[n, l ]
ortonormalnost, unitarnost, separabilnost
kompletni ortonormalni skupovi jednodimenzionalnih bazisnih funkcija
a[m, k ], k  0,1,..., M  1
unitarne matrice
b[n, l ], l  0,1,..., N  1
A M M ( A*M M )T  I M M
B N  N (B*N  N )T  I N  N
2D transformacija simetrična M  N
AN  BN
N 1 N 1
X [k , l] 
  a[m, k ]x[m, n]a[n, l],
m 0 n  0
N 1 N 1
x[m, n] 
k , l  0,1,, N  1
  a*[m, k ] X [ k , l]a*[n, l],
k 0 l 0
X N N  A N  N x N  N A N  N
m, n  0,1,, N  1
x N  N  ( A*N  N ) T X N  N ( A*N  N ) T
inverzna transformacija - sinteza slike korištenjem bazisnih slika
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Očuvanje i kompresija energije
očuvanje energije kod jednodimenzionalnih unitarnih transformacija
XN
2

N 1
N 1
 | X [k ]|2  ( X*N ) T X N  (x*N ) T (FN* ) T FN x N  (x*N ) T x N   | x[n]|2 
k 0
n0
xN
generalizacija na dvodimenzionalni slučaj
M 1 N 1
  | X [ k , l]|
2
k 0 l 0

M 1 N 1
  | x[m, n]|2
m 0 n  0
kompresija energije
najveći deo energije signala sadržan u malom broju transformacionih
koeficijenata (nezavisno od raspodjele energije u originalnom domenu
signala)
primjena u postupcima za kompresiju slike
2
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
 
Au , v  

 j ux  vy 


a
x
,
y
e
dxdy

  
a  x, y  
1
4 2
A( m , n ) 
a[m, n] 
Am1 , m2  

j ux  vy 


A
u
,
v
e
dudv

  


  a[m, n]e
 j ( m m  n n )
m  n 
FT diskretnih signala
 
1
4
FT kontinualnih signala
 
2
  A(
m
, n )e j ( mm  nn ) d m d n
 
N1 1 N 2 1
  an , n e
n1  0 n2  0
1
an1 , n2  
N1 N 2
1
j
2
n1m1
N1
2
N1 1 N 2 1
j
e
  Am , m e
m1  0 m2  0
1
2
j
2
n 2 m2
N2
diskretna FT (DFT)
2
n1m1
N1
j
e
2
n 2 m2
N2
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Dvodimenzionalna Furijeova transformacija
lijevo: magnituda
desno: faza
lijevo: rekonstrukcija
na osnovu magnitude
desno: rekonstrukcija
na osnovu faze
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
amplitudski i fazni spektar
kompleksni original
Am1 , m2   Am1 , m2 e jm1 ,m2 
an1 , n2   an1 , n2  e jn1 ,n2 
linearnost
F
F
w1a  w2b  F w1a  F w2b  w1 A  w2 B
1
w1 A  w2 B  F
1
w1 A  F
1
w2 B  w1a  w2b
simetrija: realnost - parnost
Am1 , m2   A*  m1 ,m2 
Am1 , m2   A m1 ,m2 
m1 , m2    m1 ,m2 
realna i parna – parna i realna
Am1 , m2   A m1 ,m2 
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
cirkularni pomjeraj
a[ n1  n01  N1 ,  n2  n02  N2 ]  X [m1 , m2 ]e
j
2
2
nl
mk  j
N
M
e
rotacija
n1  r cos , n2  r sin  , m1  w cos  , m2  w sin 
a[r ,   0 ]
F

A( w,  0 )
separabilnost
a[n1 , n2 ]  a1[n1 ]a2 [n2 ]
F

A(m1 , m2 )  A1 (m1 ) A2 (m2 )
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
Parsevalova teorema
 
E

a  x, y 
  
E
N1 1 N 2 1
2
1
dxdy  2
4
  an1 , n2 
n1  0 n2  0
2
1
 2
4
 

Au , v  dudv
2
  
N1 1 N 2 1

m1  0 m2  0
Am1 , m2 
cirkularna konvolucija u vremenu
F
c  a b  C  A B
množenje u vremenskom domenu
F
c  a b  C 
1
A B
2
4
2
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
skaliranje
a x, y   a M x  x, M y  y 
Au, v   Au M x , v M y  M x  M y
početne vrijednosti
Au  0, v  0 
 
  ax, y dxdy
  
1
a x  0, y  0  2
4
 
  Au, v dudv
  
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Osobine dvodimenzionalne Furijeove transformacije
izvod u kontinualnom domenu
a x, y 

x
F
juAu, v 
 2 a  x, y 
2


u
Au, v 
2
x
F
ax, y 

y
F
jvAu, v 
 2 a  x, y 
2


v
Au, v 
2
y
F
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Unitarna diskretna kosinusna transformacija 2D signala
M 1 N 1

m0 n 0
2M
C[k , l ]   [k ] [l ]   x[m, n]cos
k (2m  1)cos

2N
l (2n  1),
0  k  M  1, 0  l  N  1
M 1 N 1

k 0 l 0
2M
x[m, n]    [k ] [l ]C[k , l ]cos
k (2m  1)cos

2N
l (2n  1),
0  m  M  1, 0  n  N  1
1 M ,
k  0,
[ k ]  
 2 M , 1  k  M  1.
1 N ,
l  0,
[l ]  
 2 N , 1  l  N  1.
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Unitarna diskretna kosinusna transformacija 2D signala
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretna Volšova (Walsh) transformacija (DWT)
 p1
bi [ n]bp 1i [ k ] 
, k  0,1,, N  1
 x[n] (1)
 i 0

n0
 p 1
1 N 1
bi [ n ]bp 1i [ k ] 
x[n] 
X W [ k ] ( 1)
, n  0,1,, N  1

N k 0
 i  0

1
XW [ k ] 
N
N 1
DFT ili druge diskretne transformacije sa
sinusoidalnim bazisnim funkcijama : WN
p 1
q 1
1 M 1 N 1
bi [ m ]b p 1i [ k ]
b [ n ]b
[l ]
X W [k , l ] 
x[m, n] ( 1)
( 1) i q1i ,



MN m 0 n 0
i 0
i 0
k  0,1, , M  1, l  0,1, , N  1
p 1
q 1
1 M 1 N 1
bi [ m ]b p 1i [ k ]
b [ n ]b
[l ]
x[m, n] 
X W [k .l ] ( 1)
( 1) i q1i ,



MN k 0 l  0
i 0
i 0
m  0,1, , M  1, n  0,1, , N  1
p  log 2 N
bi [n ] i-ti bit
broja n
DWT: +1 ili -1
prilagođeni FFT algoritmi
p  log 2 M
q  log 2 N
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretna Adamarova (Hadamard) transformacija
p 1
1
X H [k ] 
N
1
x[n] 
N
N 1
 x[n]( 1)
n0
N 1

k 0
 b [n]b [ k ]
i
i
i 0
, k  0,1,, N  1
p 1

X H [ k ]( 1) i 0
bi [n ]bi [ k ]
p  log 2 N
bi [n ] i-ti bit
, n  0,1,, N  1
broja n
-nije moguća prosta zamjena eksponencijalnih faktora
sa 1 u FFT algoritamima
-u praksi se Volšova transformacija više koristi
- Volšova i Adamarova transformacija imaju dobru
kompresiju energije, ali slabiju u poređenju sa DCT
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretna Adamarova (Hadamard) transformacija (...)
p 1
X H [k , l ] 
k  0,1,
1
M 1 N 1
  x[m, n](1)
MN m  0 n  0
, M  1, l  0,1,

q 1
bi [ m ]bi [ k ]
i 0
bi [n ] i-ti bit
broja n
x[m, n] 
m  0,1,

M 1 N 1
X
H
MN k 0 l 0
, M  1, n  0,1,
( 1) i0
bi [ n ]bi [ l ]
, N 1
p 1
1

[k , l ]( 1) i0
, N 1
q 1
bi [ m ]bi [ k ]

( 1) i0
bi [ n ]bi [ l ]
p  log 2 M
q  log 2 N
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Harova (Haar) transformacija
bazisne Harove funkcije se razlikuju po skali (širini) i poziciji u vremenu
kontinualne Harove funkcije definisane na zatvorenom intervalu x [0,1]
k  0,1,..., N  1
h0,0 ( x) 
N  2n
1
, x  [0,1]
N
q 1
q  0.5
 p2
2
,

x


2p
2p

1  p 2 q  0.5
q
hp , q ( x) 

x

2 ,
2p
2p
N 
q 1
q

0,
0

x

,
 x 1
p
p

2
2

ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretna Harova (Haar) transformacija
, ,..., N  1
kontinualna promenljiva x uzima diskretne vrednosti x  i N i  01
N 8
h0,0(i)
h2,1(i)
i
0
0
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
h0,1(i)
h2,2(i)
4 5 6 7
0
i
1 2
h1,1(i)
4 5 6 7
h2,3(i)
2 3
1
i
3
0
1 2 3
0
i
1
i
4 5 6 7
1 2 3 4
h1,2(i)
1 2 3 4 5
6 7
h2,4(i)
6 7
0
i
5
0
i
7
0
1 2 3 4 5 6
i
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Diskretna Harova (Haar) transformacija
Harovim bazisnim funkcijama formiraju se razlike usrednjenih
vrijednosti odabiraka signala, pri čemu različitim bazisnim funkcijama
odgovaraju različiti položaji i veličine oblasti usrednjavanja.
- lokalizacija pozicije naglih promjena signala (ivica) Onoj bazisnoj funkciji koja je najsličnija promjeni signala odgovaraće
najveći transformacioni koeficijent. Ostalim bazisnim funkcijama će,
zbog osobine ortonormalnosti, odgovarati mali koeficijenti.
Furijeova transformacija: nagle promjene signala izazivaju samo
promjene nagiba faze (problem lokalizacije ivica)
- primjena u kompresiji slike
- osnov za talasnu transformaciju (engl. wavelet transform).
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Karhunen-Leve (Loé ve), Hoteling (Hotelling) transformacija
- kompresije energije
Postoji li optimalna transformacija?
- transformacija u sopstvene vrijednosti
 x1 
x 
x   2
 
 
 xn 
1
mx 
M
mx  E x

Cx  E  x  m x  x  m x 
T

1
Cx 
M
M
x
k 1
k
M
x x
k 1
k
T
k
 m x mTx
kovarijansna matrica je realna i simetrična – moguće je odrediti
ortonormalne sopstvene vektore i sopstvene vrijednosti:
Cx ei  i ei , i  1, 2,..., n
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Karhunen-Leve (Loé ve), Hoteling (Hotelling) transformacija
Matrica A se formira od sopstvenih vektora poredanih u opadajućem
redoslijedu, tako da je  j   j 1 , j  1,2,..., n  1
A je transformaciona matrica:
y  A  x  mx 
my  0
Cy  ACx AT
1

1

Cy  


 0
.
0




.

1 
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Karhunen-Leve (Loé ve), Hoteling (Hotelling) transformacija
rekonstrukcija:
A je ortonormalna (i realna) matrica
A1  AT
x  AT y  mx
ako prilikom rekonstrukcije ne koristimo sve, već samo K sopstvenih
vektora kojima odgovaraju najveće sopstvene vrijednosti:
xˆ  ATK y  mx
srednjekvadratna greška:
n
K
j 1
j 1
ems    j    j 
n

j  K 1
j
Sopstvene vrijednosti monotono opadaju, što znači da se greška
minimizira ovakvim izborom K sopstvenih vektora, te se radi o
optimalnoj transformaciji u smislu srednjekvadratne greške.
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Karhunen-Leve (Loé ve), Hoteling (Hotelling) transformacija
optimalna transformacija u statističkom smislu po više kriterijuma:
- minimizira srednju kvadratnu grešku između polazne i
rekonstruisane sekvence
- potpuno dekoreliše sekvencu u transformacionom domenu
- dodeljuje maksimalnu energiju minimalnom broju
transformacionih koeficijenata
Transformacioni koeficijenti zavise od statističkih osobina signala koji
se transformiše, iz čega slijedi da skup bazisnih funkcija ove
transformacije nije fiksan, već zavisi od signala. (nije moguće razviti
brze algoritme za izračunavanje ove transformacije).
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Karhunen-Leve (Loé ve), Hoteling (Hotelling) transformacija
Primjena:
- u teoretskim istraživanjima, za poređenje sa drugim
transformacijama za koje postoje brzi algoritmi (pokazano je da
Diskretna kosinusna transformacija ima vrlo bliske karakteristike
sa Hotelingovom transformacijom)
- u prepoznavanju oblika, gde se transformacioni koeficijenti
sa najvećim varijansama koriste za klasifikaciju svojstava
objekata i prepoznavanje objekata na sceni
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Slučajni signali
svaki piksel slike slučajna promenljiva – diskretno slučajno polje
uzorak iz ansambla slika se naziva slučajna slika
E {x[m, n]}  [m, n]
 2x  E{| x[m, n]  [m, n]|2 }
srednja vrednost
varijansa
kovarijansna funkcija
 x ( x[m, n], x[ k , l ])   x [m, n; k , l ]  E {( x[m, n]  [m, n])( x[ k , l ]  [ k , l ])}
stacionarnim u širem smislu - prostorno invarijantno (homogeno)
[m, n]  
 x [m, n; k , l ]   x [m  k , n  l ]
 [m, n]   x ( x[m, n], x[0,0])   x ( x[m  k , n  l ], x[ k , l ]), za svaki par [ k , l ]
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Slučajni signali
diskretni bijeli šum
ako su bilo koja dva elementa polja uzajamno nekorelisana
kovarijansna funkcija bijelog šuma i stacionarnog bijelog šuma
 [m, n; k , l ]   2x [m, n][m  k , n  l ]
 [m, n]   2 [m, n]
Ako svaki konačni segment polja , kada se preslika u vektor, ima Gausovu
gustinu verovatnoće , kažemo da je diskretno slučajno polje Gausovo.
separabilnost kovarijansne f. bijelog šuma i stacionarnog bijelog šuma
 [m, n; k , l ]   m [m, k ] n [n, l ]
 [m, n]   m [m] n [n]
ANALIZA DVODIMENZIONALNIH SIGNALA I SISTEMA (…)
Slučajni signali
Gustina spektra snage stacionarnog slučajnog polja je
Furijeova transformacija kovarijansne (autokorelacione) funkcije

   x [m, n]e  j (m
S x ( m ,  n ) 
 x [m, n] 
1
4

m   n  
 
2
  S x ( m ,  n )e j (m
m  n n )
m  n n )
d md n
 
jednakost srednje snage u prostornom i spektralnom domenu
 2x
 E (| x[m, n]  | )   x [0,0] 
2
 
1
4
2
  S x ( m ,  n )d md n
 
gustina spektra snage stacionarnog belog šuma
S ( m ,  n )  
2


  [m, n]e  j (m
m   n  
m  n n )
 2