BAB 6 PENERAPAN INTEGRAL

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di atas sumbu-x

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di atas sumbu-x

Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva dan andaikan f kontinu dan tak-negatif pada selang a≤x≤b. Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh grafik-grafik y=f(x), x=a, x=b dan y=0. Maka luasnya A(R) =

b a



f

 

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di atas sumbu-x Contoh 1.

Tentukan luas daerah R di bawah kurva x=-1 dan x=2.

y



x

4  2

x

3  2 diantara

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di atas sumbu-x

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di bawah sumbu-x Luas dinyatakan oleh bilangan tak negatif.

Apabila grafik y=f(x) terletak di bawah sumbu-x, maka

b a



f

 

dx

adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat menyatakan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negatif dari luas daerah yang dibatasi oleh y=f(x), x=a, x=b dan y=0. Sehingga luas daerah R dibawah sumbu-x adalah

A

(

R

)  

b a



f

 

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di bawah sumbu-x Contoh 2.

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

y



x

2  4 3 , sumbu-x, x=-2 dan x=3.

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah di bawah sumbu-x

A(R) =  3   2 

x

2 3  4 

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Contoh 3.

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

y



x

3  3

x

2 

x

 3 sumbu-x, x=-1 dan x=2.

, ruas A(R)=A(R1)+A(R2)  1  1 

x

3

x

2 

x

 3 2  

x

1 3  3

x

2 

x

 3 

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Cara Berpikir menghitung luas Metode lima langkah

1. Gambarlah daerah yang bersangkutan 2. Irislah menjadi irisan-irisan kecil; berilah label pada suatu irisan tertentu.

3. Hampiri luas irisan tertentu ini, dengan menganggapnya berupa sebuah segiempat.

4. Jumlahkanlah hampiran-hampiran luas irisan tersebut.

5. Ambilah limit dengan lebar masing masing irisan mendekati nol, sehingga diperoleh suatu integral tertentu.

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Cara Berpikir menghitung luas Langkah1.

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Cara Berpikir menghitung luas

 x xi

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Cara Berpikir menghitung luas Langkah 2

      

Langkah 3.



Ai=(f(xi))



xi Langkah 4. A



(f(xi))



xi Langkah 5. A =

b



a f

 

dx

Y=f(xi)

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Cara Berpikir menghitung luas Menjadi 3 langkah 1. Gambar dan iris 2. Hampiri,



A



(f(xi))



xi 3. Integrasikan; A =

a b



f

(

x

)

dx

Catatan: dengan cara yang serupa untuk daerah di bawah sumbu-x

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Daerah antara dua kurva

Tinjaulah kurva-kurva y=f(x) dan y=g(x) dengan g(x)≤f(x) pada interval a≤x≤b.

 A  (f(x)-g(x))  x A =

b a

 

f



g

  

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Contoh 5.

Tentukan luas daerah di antara kurva

y



x

4 dan

y

 2

x



x

2

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Contoh 5.

y

y



x

4 R  x     

y

 2

x



x

2 2

x



x

2 

x

4 x x 

A

  2

x



x

2 

x

4  

x A

 0  1  2

x



x

2 

x

4 

dx

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Contoh 6.

Tentukan luas daerah R antara 2 parabola dan garis 4x-3y=4 y

y

2  4

x

R 4

x

 3

y

 4 x

6.1. Luas Daerah Bidang Rata

Contoh 6.

y y

y

2  4

x

R

A



A

    4 1 3 3  

y

4

y

4   4 4  

y

2 4 4

y

2  

y



dy

 y 4

x

 3

y

 4 x