Transcript LIMIT FUNGSI Oleh: Dr. RIYADI, M.Si. PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET LIMIT FUNGSI Definisi (Secara Intuitif) Diketahui E  R, f: E  R fungsi dan.

LIMIT FUNGSI
Oleh:
Dr. RIYADI, M.Si.
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
LIMIT FUNGSI
Definisi (Secara Intuitif)
Diketahui E  R, f: E  R fungsi dan c disebut titik limit himpunan E.
Bilangan real L disebut limit fungsi f di titik c, jika x dekat dengan c, maka
f(x) dekat dengan L.
Definisi (Secara Eksak)
Diketahui E  R, f: E  R fungsi dan c titik limit himpunan E. Bilangan
real L disebut limit fungsi f di titik c, jika untuk setiap persekitaran L, yaitu
N  L , maka terdapat persekitaran c, yaitu N c , sehingga jika x 
N c   E dengan x  c, maka f(x)  N  L .
LIMIT FUNGSI
Secara grafik, limit fungsi f di titik c dinyatakan sebagai berikut.
L+
)
f
L-
(
L
)
(
c -
c
c+
Contoh 1:
lim2 x  5  7
x 1
Pembahasan:
Didefinisikan fungsi f : R  R dengan aturan: f x   2 x  5 untuk setiap
x R.
Diberikan sebarang bilangan  > 0.

Diambil   , oleh karena itu, jika 0  x  1   , maka:
f x   7
2
= 2x  5  7
= 2x  2
= 2 x 1

< 2    = .
Jadi
2
lim2 x  5  7 .
x 1
Contoh 2:
x 2  2x  3
lim
4
x 1
x 1
Pembahasan:
x 2  2x  3
Didefinisikan fungsi f : R  R dengan aturan: f x  
untuk setiap
x 1
x R dengan x  1.
Diberikan sebarang bilangan  > 0.
Dipilih    , oleh karena itu, jika 0  x  1   , maka:
f x   4
=
=
x 2  2x  3
x 2  2x  1
x 2  2 x  3  4( x  1)
4 =
=
x 1
x 1
x 1
x  1x  1
x 1
x 2  2x  3
 4.
Jadi lim
x 1
x 1
= x  1 < .
LIMIT FUNGSI
Definisi:
Diketahui E  R, f: E  R fungsi dan c titik limit himpunan E.
Bilangan real L dikatakan bukan limit fungsi f di titik c, jika
terdapat persekitaran L, yaitu
N  L , sehingga untuk setiap
persekitaran c, yaitu N c  , terdapat x  N c   E dengan
x  c, tetapi f(x)  N 
L .
Teorema
Diketahui f : E  R fungsi dan c titik limit E. Jika f mempunyai limit di c,
maka limitnya tunggal.
Bukti:
Andaikan bahwa limit fungsi f di titik c adalah L dan M dengan L  M.
Ambil  
1
L  M , jelas bahwa   0 .
3
Selanjutnya dibentuk persekitaran masing-masing dengan pusat L dan M,
dan jari-jari , yaitu N  L dan N M  .
1
Karena   L  M , jelas bahwa N  L dan N M  saling asing, atau
3
N  L  N M  = .
Karena L titik limit f, menurut definisi limit fungsi terdapat bilangan 1 >0
sehingga jika x  N c E dan x  c, berakibat f x   N  L .
1
Juga, karena M titik limit f, menurut definisi limit fungsi terdapat bilangan
 2 >0 sehingga jika y  N c  E dan y  c, berakibat f  y   N M  .
2
Selanjutnya diambil   min1 ,  2 , dan dibentuk persekitaran dengan pusat c
dan jari-jari  , yaitu N c .
Karena c titik limit E, berakibat terdapat z  N c E dengan z  c.
Konsekuensinya, berdasarkan definisi limit fungsi haruslah f(z)  N  L
dan f(z)  N M  .
Kontradiksi dengan hasil tersebut di atas bahwa N  L dan N M  saling
asing.
Jadi yang benar jika f mempunyai limit di c, maka limitnya tunggal.
Teorema
Diketahui f : E  R dan c titik limit E.
lim f  x   L  untuk sebarang bilangan  >0 terdapat bilangan  >0
xc
sehingga jika x  E dan 0  x  c   , maka f x  L   .
Bukti:
() Menurut hipotesis fungsi f mempunyai limit L di c. Hal ini berarti, jika
diberikan sebarang persekitaran L dengan jari-jari , yaitu
N  L , maka
terdapat persekitaran c dengan jari-jari , yaitu N c  , sehingga jika
x  N c  E dengan x  c, maka f(x) 
N  L .
Perlu diperhatikan bahwa x  N c  E dengan x  c, berarti x  E dan
0  xc  .
Sedangkan f(x) 
N  L berarti f x  L   .
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh: untuk sebarang bilangan  >0
terdapat bilangan  >0 sehingga jika x  E dan 0  x  c   , maka
f x   L   .
() Menurut hipotesis untuk sebarang bilangan  >0 terdapat bilangan  >0
sehingga jika x  E dan 0  x  c   , maka f x  L   .
Perlu diperhatikan bahwa x  E dan 0  x  c   , berarti bahwa
x  N c  E dengan x  c, sedangkan
f(x) 
N  L .
f x  L   , berarti bahwa
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh: untuk setiap persekitaran L dengan
N  L , terdapat persekitaran c dengan jari-jari , yaitu
N c , sehingga jika x  N c E dengan x  c, maka f(x)  N  L .
jari-jari , yaitu
f x   L .
Dengan kata lain lim
xc
Teorema
Diketahui f : E  R dan p titik limit E.
lim f  x   L  untuk setiap barisan
x p
pn   E dengan
lim p n  p dan pn  p
n 
f  p n   L.
untuk setiap n, berakibat barisan  f  pn  konvergen ke L atau lim
n 
Bukti:
() Diambil sebarang bilangan  >0. Terdapat bilangan  > 0 sehingga jika
x  E dengan 0  x  p   berakibat f x  L   .
Karena barisan pn   E konvergen ke p, dengan adanya bilangan  > 0
terdapat bilangan asli N o sehingga untuk n  N o berlaku pn  p   .
Akibatnya, untuk n  N o berlaku f  pn   L   .
Jadi terdapat bilangan asli N o sehingga untuk n  N o berlaku f  pn   L   ,
f  p n   L.
yang berarti lim
n 
f x   L.
() Andaikan lim
x p
Berarti terdapat bilangan  >0 sehingga untuk setiap bilangan  > 0, terdapat
x  E dengan 0  x  p   dan f x  L   .
1
n
Diambil  n  , n = 1, 2, 3, ....
1 = 1  ada p1  E dengan 0  p1  p  1 dan f  p1   L   .
2 =
1
1
 ada p2  E dengan 0  p 2  p  dan f  p2   L   .
2
2
3 =
1
1
 ada p3  E dengan 0  p3  p  dan f  p3   L   .
3
3

n =
1
1
 ada pn  E dengan 0  p n  p  dan f  pn   L   .
n
n

Berarti terdapat barisan pn   E konvergen ke p, dengan pn  p tetapi
barisan  f  pn  tidak konvergen ke L.
f x   L .
Kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi yang benar lim
x p
Definisi
Diketahui E  R,  R dan f, g : E  R. Didefinisikan fungsi-fungsi:
1) f + g : E  R dengan  f  g x  f x  g x untuk setiap x  E.
2) f  g : E  R dengan  f  g x  f x  g x  untuk setiap x  E.
3) f : E  R dengan   f x    f x untuk setiap x  E.
4)
f
: E  R dengan
g
f
f x 
 x  
, g x   0 untuk setiap x  E.
g x 
g
Teorema
Diketahui E  R, p titik limit E,   R, dan f, g : E  R.
f x   A dan
Jika lim
x p
lim g  x   B , maka
x p
1)
lim f x   A
2)
lim f  g x   A  B
3)
lim f  g  x   A  B
4)
lim f  g x   A  B
5)
x p
x p
x p
x p
f
A
lim x   , untuk B 0.
x p g
B
 
Bukti: 1)
Ambil sebarang bilangan  > 0.
f x   A , oleh karena itu terdapat
Menurut hipotesis (yang diketahui), lim
x p
 > 0 sehingga jika
xE
dan 0  x  p   , berakibat f x   A 

.
 1

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh: f x   A   f x   A  
.
 1
. f x   . A
Hal ini berarti lim
x p
Bukti: 2)
Ambil sebarang bilangan  > 0.
f x   A , oleh karena itu terdapat
Menurut hipotesis (yang diketahui), lim
x p
 1  0 sehingga jika x  E dan 0  x  p  1 , berakibat f  x   A 

2
......... (*)
g  x   B , oleh karena itu terdapat  2  0 sehingga jika x  E
Juga karena lim
x p
dan 0  x  p   2 , berakibat g x   B 

2
................................................ (**)
Selanjutnya diambil   min1 ,  2 , maka kondisi (*) dan (**) dipenuhi,
akibatnya diperoleh:
 f x  gx  A  B  f x  A  gx  B <
 f  g x   A  B .
Hal ini berarti lim
x p


+ = .
2
2
Bukti: 4)
Ambil bilangan  = 1.
g  x   B , oleh karena itu terdapat  1  0
Menurut hipotesis (yang diketahui), lim
x p
sehingga jika x  E dan 0  x  p  1 , berakibat g x   B  g x   B  1 .
Akibatnya diperoleh gx  1  B .
Selanjutnya diambil sebarang bilangan  > 0.
f x   A , oleh karena itu terdapat
Menurut hipotesis (yang diketahui), lim
x p
 2  0 sehingga jika x  E dan 0  x  p   2 , berakibat f x   A 

21  B 
g  x   B , oleh karena itu terdapat  3  0 sehingga jika x  E
Juga karena lim
x p
dan 0  x  p   3 , berakibat g x   B 

21  A 
.
.
Lebih lanjut, diambil   min1 ,  2 ,  3  , dan diperoleh:
f xg x  AB
=
f xgx  gxA  gxA  AB

gx f x  A  Agx  B

g x  f x   A + A g  x   B
 1  B  f x  A +
<
1  B 
<

2
+

2

21  B 
=
 f  g x   A  B .
Hal ini berarti lim
x p
+ A
A g x   B

21  A 
Bukti: 5)
Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa jika g x   0 untuk setiap x  E dan
lim g  x   B untuk B  0, maka lim
1
1
 .
x p g x 
B
x p
Ambil bilangan  =
B
2
, jelas bahwa  > 0.
g  x   B , oleh karena itu
Menurut hipotesis (yang diketahui), lim
x p
terdapat 1  0 sehingga jika x  E dan 0  x  p  1 , berakibat
g x   B  g x   B 
B
Akibatnya diperoleh B 
B

2
2
.
 g x   B 
B
2
, sehingga diperoleh g x  
2
1

untuk x  E dan 0  x  p  1 .
B
g x 
B
2
Selanjutnya diambil sebarang bilangan  > 0.
g  x   B , berakibat terdapat  2  0 sehingga jika x  E dan
Karena lim
x p
0  x  p   2 , berakibat g x   B 
1
2
B .
2
Selanjutnya, diambil   min1 ,  2 , dan diperoleh:
g x   B
2 g  x   B 
1
1
2 1
2
=

<

 .
B


2
2
g x  B
g x  B
B
B 2
1
1
 .
Hal ini berarti lim
x p g x 
B
f
x p g
 
Berdasarkan 4) diperoleh lim x  = lim
f x   lim
x p
x p
1 A
1
= A  .
B B
g x 
Teorema
Diketahui E  R, p titik limit E dan f : E  R.
f  x  ada, maka 0  lim f  x  .
Jika 0  f(x) untuk setiap x  E, x  p, dan lim
x p
x p
Bukti:
f  x  ada dan misal lim f  x  = L.
Menurut hipotesis (yang diketahui) lim
x p
x p
f  x  < 0, hal ini berakibat – L > 0.
Andaikan L = lim
x p
Selanjutnya diambil  = – L.
f  x  = L, berakibat terdapat bilangan 
Karena lim
x p
0
sehingga jika x  E
dan 0  x  p   , maka f x  L < .
Oleh karena itu diperoleh: L    f x  L    L  L  0 atau f(x) < 0 untuk
x  E dengan 0  x  p   .
Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa 0  f(x) untuk setiap x  E.
Jadi pengandaian salah, yang benar adalah L = lim f  x   0.
x p
Teorema (Teorema Perbandingan Limit)
Diketahui E  R, p titik limit E dan f , g: E  R.
f  x  dan lim g  x  masingJika f(x)  g(x) untuk setiap x  E, x  p, serta lim
x p
x p
f x   lim g  x  .
masing ada, maka lim
x p
x p
Bukti:
Didefinisikan fungsi h : E  R, dengan aturan hx  g x  f x untuk setiap
x  E, x  p.
Karena f(x)  g(x) untuk setiap x  E, x  p, jelas bahwa hx   0 untuk setiap
x  E, x  p.
h x   0, yang ekuivalen
Berdasarkan Teorema sebelumnya diperoleh lim
x p
g x   lim f x   0 .
dengan lim
x p
x p
g  x   lim f  x  atau lim f x   lim g  x  .
Akibatnya diperoleh lim
x p
x p
x p
x p
Teorema
Diketahui E  R, p titik limit E dan f : E  R.
f  x  ada, maka a  lim f  x   b.
Jika a  f(x)  b untuk setiap x  E, x  p, dan lim
x p
x p
Teorema (Teorema Limit Apit)
Diketahui E  R, p titik limit E dan f , g, h: E  R.
f  x   L  lim h x  ,
Jika f(x)  g(x)  h(x) untuk setiap x  E, x  p, dan lim
x p
x p
g x   L .
maka lim
x p
Bukti:
Diambil sebarang bilangan  > 0.
f  x   L , berakibat terdapat bilangan 1 >0 sehingga jika x  E
Karena lim
x p
dan 0  x  p  1 , maka f x  L   .
h x   L , berakibat terdapat bilangan 2 >0 sehingga jika x 
Dan karena lim
x p
E dan 0  x  p   2 , maka hx  L   .
Selanjutnya dipilih bilangan 3 > 0, sehingga jika x  E dan 0  x  p  3
berlaku   L  f x  g x  hx    L .
Lebih lanjut dipilih bilangan   min1 ,  2 ,  3  , sehingga jika x  E dan
berlaku
berakibat
  L  f x  g x  hx    L
0  x p 
  L  g  x     L  g x   L   .
g x   L .
Dengan kata lain lim
x p
Contoh:
1
6
Dapat dibuktikan bahwa x  x 3  sin x  x , untuk setiap x  0, dan
x  sin x  x 
1 3
x untuk setiap x  0 .
6
1
6
Oleh karena itu diperoleh 1  x 2 
sin x
 1 untuk setiap x  0 .
x
1  1 , dengan menggunakan Teorema Apit
Karena lim1  x 2   1 dan lim
x0
x 0

diperoleh lim
x0
1
6

sin x
 1.
x