Transcript - Matematica 1AT
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Elementi di Statistica descrittiva
Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’
-
Campo di variazione
Scarto dalla media
Varianza
Scarto quadratico medio
Coefficiente di variazione
1
Slide 2
Indici di Variabilità
I valori medi sono indici importanti per la
descrizione sintetica di un fenomeno statistico
Hanno però il limite di non darci alcuna
informazione sulla distribuzione dei dati
2
Slide 3
Esempio
In tre differenti prove di matematica 4 studenti
hanno riportato le seguenti valutazioni
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
2a Prova
5
7
6
7
6,25
3a Prova
6
7
6
6
6,25
In tutte e tre le prove la media è 6,25
ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso
3
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Diagramma di distribuzione delle tre prove
valutazioni
Diagramma dispersione dati
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
media
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
3
4
num prova
4
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valutazioni
Diagramma dispersione dati
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
media
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
3
4
num prova
• nel caso della 1a prova e 2a prova sarà opportuno
fare un recupero per alcuni studenti
• nel caso della 3a prova l’insegnante può ritenere
che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe,
anche se ad un livello solo sufficiente
5
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In statistica è possibile valutare in modo sintetico
la distribuzione dei dati mediante gli indici di
variabilità (o dispersione)
Vedremo i seguenti indici
• Campo di variazione (Range)
• Scarto medio dalla media
• Varianza e scarto quadratico medio
•
Coefficiente di variazione
6
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Campo di variazione
E’ il più semplice degli indici di variazione:
Si calcola facendo la differenza tra il dato più
grande e il dato più piccolo
Campo variazione = x max – x min
Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati
7
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Esempio
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
Xmax = 9;
Xmin = 3
Range = 9 – 3 = 6
8
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Calcoliamo il Range per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
range
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
6
6,25
6
6,25
1
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
Range 3a prova = 1 dati più concentrati,
risultati più omogenei
Range 1a prova = 6
Range 2a prova = Range 1a prova = 6
Stessa Distribuzione?
9
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Vediamo graficamente
valutazioni
Campo di variazione delle tre prove
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
num prova
3
4
range
10
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Osservazioni:
1. Il campo di variazione dà informazioni sulla
distribuzione dei dati:
• più R è piccolo più i dati sono concentrati;
• più R è grande più i dati sono dispersi.
2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati
3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della
distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni
diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range
uguali
Es.
Range 1aprova = Range 2a prova.
ma distribuzione 1a prova Distribuzione 2a prova
11
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Scarto semplice medio
Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati
(tenendo conto di tutti i dati) consiste nel
calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e
fare la media aritmetica di tali distanze
x
x
x
x
.....
x
x
1
2
n
Scarto
medio
S
m
n
Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media
12
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Esempio
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
x1 = 3 – 6,25 = 3,25;
x2 = 5 – 6,25 = 1,25;
x3 = 8 – 6,25 = 1,75;
x4 = 9 – 6,25 = 2,75;
Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25
4
13
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Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
scarto medio
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
2,25
6,25
2,13
6,25
0,38
Scarto 1a prova = 2,25 dati più dispersi,
risultati più eterogenei
Scarto 3a prova = 0,38 dati più concentrati,
risultati più omogenei
Scarto 2a pr. Scarto 1a pr. “Le Distribuzioni Differiscono”
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Diagramma degli scarti dalla media
Scarto dalla media
Diagramma degli scarti dalla media
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
stud.1
stud.2
1
2
3
stud.3
stud.4
num. prova
15
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Osservazioni:
1. Lo scarto semplice medio dalla media dà informazioni
sulla
distribuzione dei dati:
• più SM è piccolo più i dati sono concentrati;
• più SM è grande più i dati sono dispersi.
2. SM è espresso nella stessa unità di misura dei dati
3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in
quanto SM tiene conto di tutti i dati della distribuzione
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Varianza e Scarto quadratico medio
Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e
tengono conto della distribuzione di tutti i dati.
Varianza
Rappresenta la media aritmetica dei quadrati
delle distanze dei dati dalla media M
x
x
x
x
.....
x
x
Varianza
2
2 1
2
2
2
n
n
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x
x
x
n
2
i
n
2
i
1
Varianza
1
n
n
18
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Esempio - Varianza
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
(x1)2 = (3 – 6,25 )2 = 10,5625;
(x2)2 = (5 – 6,25 )2 = 1,5625;
(x3)2 = (8 – 6,25 )2 = 3,0625;
(x4)2 = (9 – 6,25 )2 = 7,5625;
2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,6875
4
19
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Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
varianza
Varianza 1aprova = 5,69
Varianza 3a prova = 0,19
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
5,69
6,25
6,19
6,25
0,19
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
dati più concentrati,
risultati più omogenei
Varianza 2a pr. Varianza 1a pr
“Le Distribuzioni Differiscono”
20
Slide 21
Scarto quadratico medio o
Deviazione standard
È uguale alla radice quadrata della varianza
x
x
x
x
.....
x
x
Scarto
quadr.
medio
2
1
2
2
2
n
n
x
x
x
n
2
i
n
2
i
Scarto
quadr
medio
1
1
n
n
21
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Esempio - Scarto quadratico medio
Riprendiamo le valutazioni della prima prova
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
3
5
8
9
scarti da M
-3,25
-1,25
1,75
2,75
6,25
0,00
scarti2
10,5625
1,5625
3,0625
7,5625
5,6875
n
x
2
i
5
,
6875
2
,
384
1
n
2
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Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
scarto quadratico
Scarto q. 1aprova = 2,38
Scarto q. 3aprova = 0,43
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
2,38
6,25
2,49
6,25
0,43
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
dati più concentrati,
risultati più omogenei
Scarto q. 2a pr. Scarto q. 1a pr
“Le Distribuzioni Differiscono”
23
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Osservazioni:
1. La varianza 2 e lo scarto quadratico medio danno
informazioni sulla distribuzione dei dati:
• più 2 e sono piccoli più i dati sono concentrati;
• più 2 e sono grandi più i dati sono dispersi.
2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della
distribuzione
24
Slide 25
3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui
la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima
4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità
di misura dei dati
5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei
dati e pertanto viene preferito alla varianza
25
Elementi di Statistica descrittiva
Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’
-
Campo di variazione
Scarto dalla media
Varianza
Scarto quadratico medio
Coefficiente di variazione
1
Slide 2
Indici di Variabilità
I valori medi sono indici importanti per la
descrizione sintetica di un fenomeno statistico
Hanno però il limite di non darci alcuna
informazione sulla distribuzione dei dati
2
Slide 3
Esempio
In tre differenti prove di matematica 4 studenti
hanno riportato le seguenti valutazioni
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
2a Prova
5
7
6
7
6,25
3a Prova
6
7
6
6
6,25
In tutte e tre le prove la media è 6,25
ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso
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Diagramma di distribuzione delle tre prove
valutazioni
Diagramma dispersione dati
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
media
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
3
4
num prova
4
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valutazioni
Diagramma dispersione dati
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
media
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
3
4
num prova
• nel caso della 1a prova e 2a prova sarà opportuno
fare un recupero per alcuni studenti
• nel caso della 3a prova l’insegnante può ritenere
che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe,
anche se ad un livello solo sufficiente
5
Slide 6
In statistica è possibile valutare in modo sintetico
la distribuzione dei dati mediante gli indici di
variabilità (o dispersione)
Vedremo i seguenti indici
• Campo di variazione (Range)
• Scarto medio dalla media
• Varianza e scarto quadratico medio
•
Coefficiente di variazione
6
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Campo di variazione
E’ il più semplice degli indici di variazione:
Si calcola facendo la differenza tra il dato più
grande e il dato più piccolo
Campo variazione = x max – x min
Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati
7
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Esempio
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
Xmax = 9;
Xmin = 3
Range = 9 – 3 = 6
8
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Calcoliamo il Range per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
range
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
6
6,25
6
6,25
1
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
Range 3a prova = 1 dati più concentrati,
risultati più omogenei
Range 1a prova = 6
Range 2a prova = Range 1a prova = 6
Stessa Distribuzione?
9
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Vediamo graficamente
valutazioni
Campo di variazione delle tre prove
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 studente
2 sttudente
3 studente
4 studente
0
1
2
num prova
3
4
range
10
Slide 11
Osservazioni:
1. Il campo di variazione dà informazioni sulla
distribuzione dei dati:
• più R è piccolo più i dati sono concentrati;
• più R è grande più i dati sono dispersi.
2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati
3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della
distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni
diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range
uguali
Es.
Range 1aprova = Range 2a prova.
ma distribuzione 1a prova Distribuzione 2a prova
11
Slide 12
Scarto semplice medio
Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati
(tenendo conto di tutti i dati) consiste nel
calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e
fare la media aritmetica di tali distanze
x
x
x
x
.....
x
x
1
2
n
Scarto
medio
S
m
n
Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media
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Esempio
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
x1 = 3 – 6,25 = 3,25;
x2 = 5 – 6,25 = 1,25;
x3 = 8 – 6,25 = 1,75;
x4 = 9 – 6,25 = 2,75;
Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25
4
13
Slide 14
Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
scarto medio
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
2,25
6,25
2,13
6,25
0,38
Scarto 1a prova = 2,25 dati più dispersi,
risultati più eterogenei
Scarto 3a prova = 0,38 dati più concentrati,
risultati più omogenei
Scarto 2a pr. Scarto 1a pr. “Le Distribuzioni Differiscono”
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Diagramma degli scarti dalla media
Scarto dalla media
Diagramma degli scarti dalla media
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
stud.1
stud.2
1
2
3
stud.3
stud.4
num. prova
15
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Osservazioni:
1. Lo scarto semplice medio dalla media dà informazioni
sulla
distribuzione dei dati:
• più SM è piccolo più i dati sono concentrati;
• più SM è grande più i dati sono dispersi.
2. SM è espresso nella stessa unità di misura dei dati
3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in
quanto SM tiene conto di tutti i dati della distribuzione
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Varianza e Scarto quadratico medio
Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e
tengono conto della distribuzione di tutti i dati.
Varianza
Rappresenta la media aritmetica dei quadrati
delle distanze dei dati dalla media M
x
x
x
x
.....
x
x
Varianza
2
2 1
2
2
2
n
n
17
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x
x
x
n
2
i
n
2
i
1
Varianza
1
n
n
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Esempio - Varianza
Consideriamo le valutazioni della prima prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
1a Prova
3
5
8
9
6,25
(x1)2 = (3 – 6,25 )2 = 10,5625;
(x2)2 = (5 – 6,25 )2 = 1,5625;
(x3)2 = (8 – 6,25 )2 = 3,0625;
(x4)2 = (9 – 6,25 )2 = 7,5625;
2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,6875
4
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Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
varianza
Varianza 1aprova = 5,69
Varianza 3a prova = 0,19
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
5,69
6,25
6,19
6,25
0,19
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
dati più concentrati,
risultati più omogenei
Varianza 2a pr. Varianza 1a pr
“Le Distribuzioni Differiscono”
20
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Scarto quadratico medio o
Deviazione standard
È uguale alla radice quadrata della varianza
x
x
x
x
.....
x
x
Scarto
quadr.
medio
2
1
2
2
2
n
n
x
x
x
n
2
i
n
2
i
Scarto
quadr
medio
1
1
n
n
21
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Esempio - Scarto quadratico medio
Riprendiamo le valutazioni della prima prova
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
3
5
8
9
scarti da M
-3,25
-1,25
1,75
2,75
6,25
0,00
scarti2
10,5625
1,5625
3,0625
7,5625
5,6875
n
x
2
i
5
,
6875
2
,
384
1
n
2
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Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove
1a Prova
1° studente
2° studente
3° studente
4° studente
media
scarto quadratico
Scarto q. 1aprova = 2,38
Scarto q. 3aprova = 0,43
2a Prova
3a Prova
3
5
8
9
2
7
8
8
6
7
6
6
6,25
2,38
6,25
2,49
6,25
0,43
dati più dispersi,
risultati più eterogenei
dati più concentrati,
risultati più omogenei
Scarto q. 2a pr. Scarto q. 1a pr
“Le Distribuzioni Differiscono”
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Osservazioni:
1. La varianza 2 e lo scarto quadratico medio danno
informazioni sulla distribuzione dei dati:
• più 2 e sono piccoli più i dati sono concentrati;
• più 2 e sono grandi più i dati sono dispersi.
2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della
distribuzione
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3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui
la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima
4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità
di misura dei dati
5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei
dati e pertanto viene preferito alla varianza
25