Transcript CHAPITRE 5 Fractions Objectifs: - Simplifier des fractions. - Utiliser la propriété suivante et sa réciproque: « si a b  c d alors a x d = b x.

CHAPITRE 5
Fractions
Objectifs:
- Simplifier des fractions.
- Utiliser la propriété suivante et sa réciproque:
« si
a
b

c
d
alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0).
- Savoir additionner, soustraire, multiplier et
diviser des fractions.
Extrait de la pièce Marius
de Marcel Pagnol (acte 11).
CÉSAR (à Marius) - Eh bien, pour la deuxième fois,
je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. Approche-toi !
Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers.
Bon. Maintenant, un tiers de citron.
Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur.
Regarde comme c'est joli.
Et à la fin, un GRAND tiers d'eau. Voilà.
MARIUS - Et ça fait quatre tiers.
CÉSAR - Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris.
MARIUS - Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
CÉSAR - Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers.
MARIUS - Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre
que trois tiers.
CÉSAR - Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre.
MARIUS - Ça, c'est de l'Arithmétique.
I. Quotients égaux
1) Fractions égales
Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire
ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un
même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.
ka
Autrement dit :
k b

a
b
avec k ≠ 0
Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou
à les « réduire » au même dénominateur.
Exemples :
1,8
4,2

18
42

3
7

15
35

45
105
2) Propriété du produit en croix
Pour tous nombres
Si
a
b

Réciproquement : Si
a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)
c
alors
d
axd=bxc
axd=bxc
a
alors
b
Exemples : a) Trouver le nombre p tel que
On a
donc
p
7


c
d
3
4
p=7x3÷4
p
21
4
ou encore
p = 5,25
b)
.
3
Comparer
7
12
et
 28
12 x 7 = 84
-3 x (-28) = 84
3
donc
.
7
4
Comparer

5
et
12
 28
12
20
12 x 5 = 60
donc
4 x 20 = 80
4
5

12
20
3) Avec les signes
Soient a et b des entiers (avec b≠ 0)
a
b

a
b

a
et
b
a
b

a
b
Remarque : Cette règle vient de la règle des signes
de la division.
Exemples :  4
5
3
7


4
5
3
7

4
5
II. Addition et soustraction
1) Fractions de même dénominateur
Pour additionner ou soustraire deux fractions de
même dénominateur:
1- On additionne ou on soustrait les numérateurs
2- On garde le dénominateur commun
Autrement dit :
Exemple :
a
d
3
11


b
d

9
11
a b

d
39
11
et

a
d

b
d

a b
d
12
11
Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire
avec la machine, on utilise la touche d
c
2) Fractions de dénominateurs différents
On se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord
les fractions au même dénominateur.
Exemples :
2
3

7
9

23
33

7

9
6
9

7

9
67
9

1
9
Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9
est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9.
5
3
8

58
18

3
8

40
8

3

8
40  3
8
Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8
est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8.
2
5

1
4

2 4
5 4

15
45

8
20

5
20
Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4
est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.


85
20
37
8

3
20
III. Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs
entre eux et les dénominateurs entre eux.
Autrement dit :
Exemple :
4
35


 49
3

4   49 
35  3
a
b

c
d
 

ac
bd
4  49
35  3

(avec b ≠ 0 et d ≠ 0)
477
7 53

28
15
On décompose les numérateurs
et dénominateurs afin de
calcul final.
5 simplifier
3  5 le15
 3  

Attention
7
7
7
5
35
et
non pas
 3  
7
35
IV. Nombre inverse et division
1) Le nombre inverse
Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit
qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
1
L’inverse de x est
(avec x ≠ 0)
x
L’inverse de
Exemples :
2
3
a
b

 4
est
3
2
1
1
4
1
b
(avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
a
donc
donc
3
2
est l'inverse de
1
4
est l'inverse de
2
3
4
2) La division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Autrement dit :
a
b

c
d

a
b

d
(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)
c
Exemples :
3
4

5
8

Diviser par
3
4

-5/8
8
5

6
3 
Diviser par
5
6
3
45


32 4
revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire
5
38

1
3

8/-5
5 1
63
revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire
1/3
 
5
18
45
 
6
5
V. Exemples de calcul prioritaire
Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
Le dénominateur
commun de 7 et 42
est 42
5  
3
2
A


5

 

42  
8
 7
5   40 3 
  12
A

 

42   8
8
 42
A
A
7
42

37
8
 7  37
67 8
A
37
48
On simplifie par 7
Le dénominateur
commun de 1 et 8
est 8
B
7

11
7
11
20
2
2

3
7
B
2
2  3
B   20  2

Les calculs au numérateur
5
4
20 11
4
B
B
 5
22 7
33 et au dénominateur sont
7
2
prioritaires

7
2
B

2  44
5
5
2
7
2
B
B 
20
11
2
7

B
 2
77
B   20 11
3
7
2 
 2
 

2

3
7
B
2  10  11
B
  
 22  
 2
2
 
4
2
 5
7 2
5
4  
2 
77
22 33 
B
B
22 
B  

2

27710
 11
Le dénominateur
Le
dénominateur
B


5
4
2
5
4
2

 

B   2  10  11
commun de 5 et 4
commun de 1 et 2
8

15
4
7
On simplifie par 2




4 2 7 

 8
 est
110
est
20   15 
B

B

   

7
20
 20
20
20   2
2 2
2 
B


15
15 44 77
 88
7
110
B

B 
  
B
20 20
20  22 22
20
110
7
11
7
11
B

B



20
20 2
2
77 11
11
B  
B

Diviser par 11/2 revient à multiplier
20 22
20
par son inverse c’est-à-dire 2/11
7
7  2
2
B


B

20
20 11
11