Transcript Stísněná plastická deformace PLASTICITA STÍSNĚNÁ PLASTICKÁ DEFORMACE VE STATICKY NEURČITÝCH ÚLOHÁCH Elastické řešení: N2  F 1  2cos3   , N1

Stísněná plastická deformace
PLASTICITA
STÍSNĚNÁ PLASTICKÁ DEFORMACE VE STATICKY NEURČITÝCH ÚLOHÁCH
Elastické řešení: N2  F 1  2cos3   , N1  N2 cos2 .
Největší síla, kterou může prut přenést: Nu   k S. Prut 2 přejde do plast. stavu první
NL
při zatěž.síle Fe  Nu 1  2cos3   , tomu odpovídá posuv kloubu e  u , dále je posuv
ES
kloubu dán elastickou deformací prutů 1, která určuje a omezuje plastickou deformaci prutu 2.
Meznou sílu určíme z podmínky rovnováhy: Fm  Nu 1  2cos   a odpovídající posuv m 
e
.
cos2 
HRANICE MEZI ELASTICKOU A PLASTICKOU OBLASTÍ
Prutová soustava má 15 prutů (n=7), modul pružnosti E a
plocha průřezu S a mez kluzu Y jsou stejné pro všechny pruty,
αk je úhel prutu. Při zvyšování síly F dosáhne napětí ve středním
prutu meze kluzu, ostatní pruty jsou v elastickém stavu a jejich
deformace bude určovat ( a omezovat ) plastickou deformaci ve
středním prutu. Při dalším zvyšování síly F se plastická oblast
bude rozšiřovat na další pruty, až postupně zasáhne celou
konstrukci. Tento proces budeme sledovat:
n
Podmínka rovnováhy: N0  2 Nk cosk  F ,
k 1
Podm.deformační:
k
  ,   posuv kloubu,
cosk
Nk L
= prodloužení prutu k.
ES cosk
NL
V elastickém stavu   0  Nk  N0 cos2 k 
ES
k 
n
F  N0 (1  2cos3 k ).
k 1
Označme Nu  Y S (max síla v prutu), pak prut 0
přejde do plast. stavu při zatěžující síle
n
NL NL
F0  Nu (1  2cos3 k ) 0  0  u .
ES
ES
k 1
HRANICE MEZI ELASTICKOU A PLASTICKOU OBLASTÍ
Prut 0 je v plastickém stavu N0  Nu , ostatní pruty jsou ve stavu elastickém. Podmínka rovnováhy:
n
Nu  2 Nk cosk  F , prodloužení prutu 0 je dáno prodloužením ostatních prutů.
k 1
Další na řadě pro přechod do plast. stavu je prut 1. Do def. podmínky dosadíme za
1
N1L
Nk L
N1L
cos2 k




 Nk  N1

cos1 ES cos2 1
ES cos2 k ES cos2 1
cos2 1
n
2 N1 n
2
Nu L
3
F  Nu  2 cos k  F1  Nu (1  2cos1  2 cos3 k )  1 
.
cos 1 k 1
cos 1 k 2
ES cos2 1
Takto dostaneme posloupnost sil a posuvů, které ohraničují jednotlivé pruž.-plast. oblasti:
j
n
2
Nu L
3
Fj  Nu (1  2cosk  2
cos

)



viz červené body v grafu  -F.

k
j
2
cos

ES
cos

k 1
j k  j 1
j
n
Mezní síla bude: Fm  Nu (1  2cosk )   m 
k 1
Nu L
.
2
ES cos n
V každém kroku mezery mezi pruty v plastickém a elastickém stavu tvoří pomyslnou elastoplastickou hranici. Když se zatěžující síla zvýší, další dvojice prutů se dostane do plast. stavu a
hranice se posune do další mezery. Takto jednoduše lze hranici identifikovat a analyticky popsat
pouze v jednoduchých úlohách.
Ve složitějších případech je elasto-plastická hranice neznámou veličinou a může být určena pouze
metodou pokus-omyl, krok za krokem v průběhu inkrementálního řešení. Zatížení je rozloženo na
malé kroky a výpočet je iterativní.
PŘÍPUSTNÉ ZATÍŽENÍ PODLE DOVOLENÝCH NAPĚTÍ A Z MEZNÉHO STAVU KONSTRUKCE
V elastickém stavu přenáší největší část zatížení prut 0.
n
F  N0 (1  2cos3 k ),podle dovoleného napětí : N0   DOV S
k 1
 FDOV   DOV S (1  2cos k )   k n  S (1  2cos3 k ).
n
*
n
3
*
k 1
k 1
Při návrhu z mezného stavu vycházíme z mezné síly:
n
F
**
Fm   k S (1  2cosk )  FDOV
 **m .
n
k 1
Pokud v našem příkladu budeme předpokládat stejný koeficient bezpečnosti:
n
**
FDOV
*
**
n  n , pak bude poměr * 
FDOV
(1  2cosk )
k 1
n
(1  2cos3 k )
 1,4527.
k 1
 Zvolíme-li bezpečnost proti meznému stavu n**  1,5
budou při zatížení F  Fm ** všechny pruty v elastickém stavu.
n
PRUŽNĚ-PLASTICKÝ KRUT
Moment přenášený
a) M el   YWk   Y  R3 / 2, el 
M el  Y

.
GJ p GR
2 R
1
2
b) M el  pl   YWk  r      Y r 2drd   Y   r*3   R3  r*3  , V elastickém stavu je smykové
3
2

0 r*
*
napětí v kruhovém průřezu lineární
Y
funkcí poloměru. Plastická oblast
el  pl 

.
*
*
GJ p  r  Gr
se začne šířit od okraje průřezu.
Deformace tyče bude
2 3
Přenášený moment bude menší, než M Mez 
R  Y (moment, kdy r*  0).
řízena pružnou oblastí,
3
která omezuje plastickou
 1   3 
 1  r* 3 
Po úpravě: M el  pl  M Mez 1      M Mez 1   el   . deformaci v plastické oblasti.
 4  el  pl  
 4  R  
 YWk  r* 

