Transcript МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им.

МЕТОДЫ
НАХОЖДЕНИЯ
УГЛОВ МЕЖДУ
ПЛОСКОСТЯМ
И
В. В. Жук, к.ф.-м. н.,
учитель математики высшей категории,
заведующий кафедрой математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, Алматы
Сайт: www.zhukmath.ru,
e-mail: [email protected], [email protected]
Основные методы нахождения угла
между плоскостями
Классический (геометрический) метод
Площадь ортогональной проекции
Угол между нормалями
Угол между плоскостью и нормалью к
другой плоскости
5. Векторный метод
6. Теорема о трех синусах
7. Теорема косинусов для двугранного угла
8. Свойства трехгранных углов
9. Метод прямоугольного тетраэдра 1
10.Метод прямоугольного тетраэдра 2
(А. Фельдман)
11. Координатный метод
1.
2.
3.
4.
Задача
1.
В
основании
треугольной пирамиды SABC
лежит правильный треугольник
АВС со стороной 1. Ребро SA
пирамиды
перпендикулярно
плоскости основания, а его
длина равна
3 . Плоскость α
параллельна прямым SB и АС, а
плоскость
β
параллельна
прямым SC и АВ. Найти угол
между этими плоскостями.
AB  BC  AC  1,
SA   ABC  , SA  3,
 SB, AC ,  SC ,  AB.
Найти :   ;   .
AB  BC  AC  1, SA   ABC  , SA  3,  SB,  AC ,  SC ,  AB.
Найти :  ;    .
A1 B1 AB, A1C1 AC , B1C1 BC 
A1 B1  A1C1  B1C1  2, AA1  3.
     SAC
1 1  ;  SA1 B1  
3
AM  SA1 , AM 
2
По теореме о трех
перпендикулярах
 B1M    SA1  ,  C1M    SA1 
1
1
cos   cos B1CB  ,   arccos
5
5
Площадь ортогональной проекции
многоугольника на плоскость равна
площади
проектируемого
многоугольника, умноженной на косинус
угла между плоскостями многоугольника и его проекции.
S'
S '  S cos   cos  
S
Задача
1.
В
основании
треугольной пирамиды SABC
лежит правильный треугольник
АВС со стороной 1. Ребро SA
пирамиды
перпендикулярно
плоскости основания, а его
длина равна
. Плоскость α
параллельна прямым
SB и АС, а
3
плоскость
β
параллельна
прямым SC и АВ. Найти угол
между этими плоскостями.
AB  BC  AC  1,
SA   ABC  , SA  3,
 SB, AC ,  SC ,  AB.
Найти :   ;   .
AB  BC  AC  1, SA   ABC  , SA  3,  SB,  AC ,  SC ,  AB.
Найти :  ;    .
B1  SA1  С1  2A  SA1  C1 ,
cos   cos B1  SA1  С1 
 cos 2A  SA1  С1
 С1 A   SAA1  
cos A  SA1  C1 
SSAA1
SSA1C1
3
15
SSAA1  , SSA1C1 

2
2
3
3
cos A  SA1  C1 

5
15
3
1
cos   cos 2A  SA1  С1  2   1  ,
5
5
1
  arccos
5
Точка Е – внутри двугранного у α гла величиной α.
EF и EG – перпендикуляры на грани угла. Найдите
угол FEG равен π – α.
a   ,

b
  ;      a; b 
Угол между плоскостями равен
нормалями к этим плоскостям.
углу
между
Угол между плоскостями равен прямому углу минус
угол между одной из этих плоскостей и нормалью
к другой плоскости.
a      ;   

2
   a;  
Задача 2. На ребре С’D’ куба
ABCDA’B’C’D’ отметили точку М
– середину этого ребра№ Найти
угол между плоскостями (ACD’) и
(DCM).
Задача
1.
В
основании
треугольной пирамиды SABC
лежит правильный треугольник
АВС со стороной 1. Ребро SA
пирамиды
перпендикулярно
плоскости основания, а его
длина равна
3 . Плоскость α
параллельна прямым SB и АС, а
плоскость
β
параллельна
прямым SC и АВ. Найти угол
между этими плоскостями.
AB  BC  AC  1,
SA   ABC  , SA  3,
 SB, AC ,  SC ,  AB.
Найти :   ;   .
AB  BC  AC  1, SA   ABC  , SA  3,  SB,  AC ,  SC ,  AB.
Найти :  ;    .
a  AS , b  AB, c  AC 
2
2
2
a  3, b  1, c  1,
1
ab  0, ac  0, bc 
2
a
b
c
a 3
0
b 0
1
0
1
2
c
1
2
mn
m  0, n  0, 

  cos  
mn
m  ,n   

m  xa  yb  zc, m  SB  m  AC  0,





 

0
1
m  a  4b  2c,
аналогично,
n  a  2b  4c,
3
1
cos  
 ,
xa  yb  zc  b  a  0,
6 x  2 y  z  0,
15  15 5

1
 y  2 z  0.
xa  yb  zc  c  0;
  arccos .
5

Теорема. В одной из
граней двугранного угла,
равного
γ, проведена
прямая, не параллельная
его
ребру
и
составляющая с ребром
угол, равный α. Если β –
угол
между
данной
прямой и плоскостью
грани двугранного угла её
не содержащей, то
sin   sin   sin  .
Задача 3. Стороны прямоугольника равны 1 и 2.
Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости
π,
а диагональ прямоугольника образует с ней угол,
равный β. Найти угол между плоскостью π и
плоскостью прямоугольника.
2
sin  
sin  
5
 5

  arcsin 
sin  
 2

AB  BC  AC  1, SA   ABC  , SA  3,  SB,  AC ,  SC ,  AB.
Найти :  ;    .
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 1 С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ СИНУСАХ
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРЕМЫ О КОСИНУСОВ ДЛЯ
ДВУГРАННОГО УГЛА
РАССМАТРИВАЛСЯ
В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ
А. Фельдман, Метод прямоугольного
Тетраэдра // Математика. 1 сентября,
№7, 2012, с. 12-21
Пусть
плоскости
уравнениями:
заданы
своими
 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,
 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0,
тогда
cos   ;   
A1 A2  B1B2  C1C2
A.12  B12  C12  A22  B22  C22
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ
КООРДИНАТНОГО МЕТОДА
.