Transcript Использование понятия производной в экономике. Рассмотрим функциональную зависимость издержек производства о количества выпускаемой продукции. Обозначим: x - количество выпускаемой продукции; y - издержки производства. Тогда  x - прирост продукции;  y.

Использование понятия производной в
экономике.
Рассмотрим
функциональную
зависимость
издержек производства о количества выпускаемой
продукции.
Обозначим:
x - количество выпускаемой продукции;
y - издержки производства.
Тогда
 x - прирост продукции;
 y - приращение издержек производства.
y
Отношение
x
издержек производства.
определяет среднее приращение
Производная
выражает
предельные
издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные
затраты на производство единицы дополнительной
продукции.
y 
y
lim
x  0
x
Предельные издержки зависят от уровня производства
(количества выпускаемой продукции) и определяются не
постоянными производственными затратами, а лишь
переменными (на сырье, топливо и т.п.).
Производная
скорость
изменения
некоторого
экономического объекта (процесса) по времени или
относительного другого исследуемого фактора.
Рассмотрим в качестве примера соотношения между
средним и предельным доходом в условиях монопольного и
конкурентного рынков.
Обозначим:
r - суммарный доход от реализации продукции;
p - цена единицы продукции;
q - количество продукции.
Тогда
r  pq
В условия монопольного рынка, цена контролируется
одной или несколькими фирмами и с увеличением цены
спрос падает.
С увеличением цены спрос на продукцию падает по
линейному закону:
p  q  - кривая спроса линейно убывающая функция;
p  aq  b
Суммарный доход от реализованной продукции
r   aq  b  q  aq  bq
2
Средний доход на единицу продукции;
r
rср   aq  b
q
Предельный (дополнительный) доход от
дополнительной продукции.

rq  2 aq  b
реализации
В условиях монопольного рынка с ростом количества
реализованной продукции предельный доход снижается, что
приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего
дохода.
В условиях совершенной конкуренции, когда число
участников рынка велико, и каждая фирма не способна
контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров
возможна по преобладающей рыночной цене.
Тогда
p  b - рыночная цена;
r  bq - суммарный доход;
r
rср   b - средний доход;
q

rq  b - предельный доход.
Для исследования экономических процессов используют
понятие эластичности функции.
Эластичностью функции называется предел отношения
относительного приращения функции к относительному
приращению переменной при стремлении последнего к нулю.
 y x  x
E x  y   lim 
:


x  0
x  y
 y
y
lim
x 0
x

x
 y
y
Эластичность функции показывает приближенно, на
сколько процентов изменится функция
при изменении
независимой переменной на один процент.
.
Эластичность функции применяется при анализе спроса и
потребления.
Например, как коэффициент, определяющий насколько
процентов изменится спрос, при изменении цены на один
процент.
E x ( y )  1 - спрос эластичный;
E x ( y )  1 - спрос неэластичный:
E x ( y )  1 - спрос с единичной эластичностью.
Рассмотрим влияние эластичности спроса относительно
цены на суммарный доход.
Предположим, что кривая спроса имеет произвольный вид,
тогда предельный доход равен:

rq   pq  q


q

 p q  q  p 1  p  1 
p q   p 1  E q  p  
p


Учитывая что
получим

Eq  p  
1
Ep q

1

rq  p  1 

Ep q





Если спрос неэластичен, предельный доход отрицателен
при любой цене; если спрос эластичен, то предельный доход
положителен.
Для неэластичного спроса изменение цены и предельного
дохода происходят в одном направлении, а для эластичного
спроса – в разных.
С возрастанием цены для продукции эластичного спроса
суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а
для товаров неэластичного спроса – уменьшается.
Задача.
Объем продукции, произведенный бригадой рабочих,
может быть описан уравнением:
u 
5
6
t 
3
15
t  100 t  50
2
2
Вычислить производительность труда
через час после
начала работы и за час до ее окончания.
Производительность труда равна производной функции,
определяющей объем продукции
z ( t )  u ( t )  
5
2
t  15 t  100
2
Скорость изменения производительности равна:
z '( t )   5 t  15
Темп изменения производительности равен:
T z ( t )  [ln z ( t )] '
Tz  t  
z '( t )
z (t )
 5 t  15


5
t  15 t  100
2

2t  6
t  6 t  40
2
2
Определив производительность в разное время рабочего
дня, можно сделать вывод о снижении или увеличении
объемов производства.
Изменение знака скорости производительности и темпа
изменения
производительности
позволяет
провести
следующие расчеты:
- определить время начала снижения производительности и
соответственно время снижения объема выпускаемой
продукции;
- определить время наибольшей производительности (max);
- определить время наименьшей производительности (min).
Задача.
Зависимость между издержками производства и объемом
выпускаемой продукции задается функцией:
y  bx  ax
т
Определить средние и предельные издержки при объеме
продукции n ед.
Решение.
Функция средних издержек на единицу продукции при
m
x = n равна
bn  a ( n )
y ср . ( n ) 
n
Функция предельных издержек при x = n издержек равна
m 1
m 1

y
(
n
)

b

am
n
y  ( x )  b  am x
Дополнительные затраты на производство дополнительной
единицы продукции при данном объеме производства
определяю по формуле
y ср . ( n )  y ( n )
Задача. Зависимость между издержками производства и
объемом выпускаемой продукции выражается функцией
(ден. ед.).
3
y  50 x  0, 05 x
Определить средние и предельные издержки при объеме
продукции 10 ед.
Решение. Функция средних издержек
продукции) выражается отношением
y ср . 
y
(на
единицу
y ср . (10)  5  0, 05  10  45
2
 50  0, 05 x
2
x
Функция предельных издержек выражается производной;
y  ( x )  50  0,15 x
2
Предельные издержки при х = 10 составят
y  (10)  50  0,15  10  35
2
Дополнительные
затраты
на
производство
дополнительной единицы продукции при данном объеме
производства равны 45 – 35 =10.
Задача.
Считая
известным
зависимость
между
себестоимостью продукции и выпуском продукции,
определить эластичность себестоимости.
Решение. Зависимость себестоимости продукции от
выпуска продукции как правило носит линейный характер
y  ax  b
Эластичность определяется по формуле
Ex ( y) 
x
 y
y
Ex ( y) 
x
ax  b
a
Определяют эластичность при заданном объеме выпуска
продукции x = n (руб.).
E xn ( y )  d
Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к
увеличению (снижению) себестоимости на
E xn ( y )  d %
Задача. Зависимость между себестоимостью единицы
продукции (тыс. руб.) и выпуском продукции (млн. руб.)
выражается функцией. y   0, 5 x  80
Найти эластичность
себестоимости
при выпуске
продукции, равном 60 млн. руб.
Ex ( y)  
x
y
 y  
 0, 5 x
 0, 5 x  80

x
x  160
E x  60 ( y )   0, 6
При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение
выпуска на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.
Замечание. Увеличение выпуска продукции на 1%
приведет к увеличению себестоимости при E x ( y )  0 и к
снижению себестоимости при E x ( y )  0 на E x  n ( y )  d %
Задача.
Опытным путем установлены функции спроса
предложения:
p8
q
s  p  0, 5
p2
где q - количество покупаемого товара;
s – количество продаваемого товара.
Определена равновесная цена р = 2.
Найти эластичность спроса и предложения
равновесной цены.
Эластичность по спросу определяется по формуле
E p (q ) 
и
p
q
q
для
Эластичность по предложению определяется по формуле
E p (s) 
p
s
s
Для данной задачи

p ( p  2) ( p  8) ( p  2)  ( p  2) ( p  8)
 p8

E p (q ) 

2


p8  p2
( p  8)
( p  2)
p2
p ( p  2  p  8)
6p
E p  2 ( q )   0, 3

 
( p  8)( p  2)
( p  8)( p  2)
p
E p (s) 
2p
2 p 1
E p  2 ( s )  0, 8
Полученные значения эластичности по абсолютной
величине меньше 1.
Следовательно, спрос и предложение данного товара при
равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно
цены.
Это означает, что изменение цены не приведет к резкому
изменению спроса и предложения.
При увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%
(эластичность по спросу отрицательна), а предложение
увеличится на 0,8% (эластичность по предложению
положительна).
Задача. Производитель реализует свою продукцию по
цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической
зависимостью
S ( x )  ax   x
( a  p ,   0)
3
Найти оптимальный для производителя объем выпуска
продукции и соответствующую ему прибыль.
Решение.
Обозначают х – объем выпускаемой продукции; рх –
доход от реализуемой продукции.
3
C
(
x
)

px

(
ax


x
)
1. Составляют функцию прибыли
2. Находят
C ( x )  ( p  a )  3  x  0
2
3. Определяют значения
производная обращается в ноль
x1 
pa
3
x2  
pa
3
аргумента
при
которых
не рассматривается по смыслу задачи
4. Находят вторую производную C ( x )   6  x
5. Определяют знак второй производной в критической
точке

C   x1 

pa 

3 
Если вторая производная в
отрицательна, то это точка максимума
C  ( x )  0
прибыль максимальна при
Если вторая производная в
положительна, то это точка минимума
C  ( x )  0
прибыль минимальна при
критической
x
pa
3
критической
x
pa 

3 
точке
pa
3
5. Находят максимум (минимум) функции,
максимальный (минимальный) размер прибыли

C m ax  x 

точке
т.е.
Задача. Капитал в 1 млн. рублей может быть размещен в
банке под 50% годовых или инвестирован в производство,
причем эффективность вложения ожидается в размере 100%,
а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль
облагается налогом в р%.
При каких значениях р вложение в производство является
более эффективным, нежели чистое размещение капитала в
банке?
Решение.
Обозначим х - (млн. руб.) инвестируется в производство,
а ( 1-х ) - размещается под проценты.
Тогда размещенный капитал через год станет равным
50  3 3

(1  x )  1 
  x
100  2 2

Капитал, вложенный в производство через год станет
равным
100 

x 1 
  2x
100 

Издержки  x (  1)
Прибыль от вложения в производство C  2 x   x 2
2
Налоги составят (2 x   x )
2
Чистая прибыль равна
p
100
p

1 
100


2
(2
x


x
)


Из условия равенства нулю первой производной, найдем
значение критической точки
p

2 1 
100

 3

 2
x0 
p 

2  1 

100 

Найдем вторую производную
p 

A ''  x    2  1 
0
100 

Согласно второму достаточному условию экстремума если
вторая производная отрицательна, то х0 точка максимума.
Общая сумма через год составит:
p 

2
x  1 
(2
x


x
)

2 2
100 

3  
p  3
p  2

  2 1 
   x   1 
x
2  
100  2 
100 

A( x) 
3

3
Для определения наиболее эффективного вложения
капитала, необходимо исследовать полученную зависимость
на экстремум, то есть найти максимальное значение этой
функции на отрезке [0, 1].
p

A '( x )  2  1 
100

 3
   2
 2
p

1 
100


x

A '( x )  0
Значение х0 принадлежит отрезку [0, 1]
p

2 1 
100

 3

 2
0
1
p 

2  1 

1
0
0


p

0  2 1 
100

 3
   2
 2
p 

1 

100 

из этого неравенства p  25
Таким образом, если прибыль облагается налогом р > 25%,
то выгоднее ничего не вкладывать в производство и
разместить весь капитал в банк.
Если p < 25%, то можно показать, что при x = x0
A  x0  
3
2

 
p
 2  1  100
 
2
 3
 
3
 2
  A 0
p 
2

4  1 

100


Следовательно, вложение в производство является более
выгодным, чем чистое размещение под проценты.