Transcript Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok Területszámítás • Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. • A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. • Görbe vonalú trapéz. Görbe vonalú trapéz •

Határozott
integrál
Összegek, területek,
térfogatok
1
Területszámítás
• Görbe vonal által
határolt terület
kiszámítása.
• A terület felosztása:
minden résznek csak
az egyik határoló
vonala görbe vonalú.
• Görbe vonalú trapéz.
2
Görbe vonalú trapéz
• A görbe vonalat az y=f(x)
függvény grafikonjának
tekinthetjük.
• Keressük az y=f(x)
grafikonja és az x-tengely
közötti rész területét.
3
A görbe vonalú trapéz területe
• Téglalapokkal közelítjük a
keresett területet.
• Az [a,b] szakaszt felosztjuk
az a=x0, x1,..., xn=b pontok
segítségével.
• Az így kapott téglalapok
magasságai az xk pontokban
vett függvényértékek: f(xk).
ΔTk
Tk  ( xk 1  xk )  f ( xk )
Tk  f ( xk )  xk
A görbe vonalú trapéz területe
T  T0  T1  T2  T3  T4
T  f ( x0 )  x0  f ( x1)  x1  f ( x2 )  x2  f ( x3 )  x3  f ( x4 )  x4
T
n 1
 f ( xk )  xk
k 0
Az osztópontok n számának
növelésével pontosabb eredményt
kapunk.
n 1
f ( xk )  xk

n 
T  lim
k 0
n 1
T
k 0
Példa
• Az y=x2
függvény alatti
terület a [0,1]
intervallumon.
• Osztópontok:
 1 1 3 
0, , , ,1
 4 2 4 
xk
0
0,25
0,5
0,75
1
 f ( xk )  xk
Δxk
0,25
0,25
0,25
0,25
-
f(xk)
0
0,0625
0,25
0,5625
1
f(xk)·Δxk
0
0,015625
0,0625
0,140625
T  0,21875
A határozott integrál
Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett
határozott integrálja az
b
n
a
k 0
f ( xk )  xk

 f ( x) d x  nlim

összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum
pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük
levő távolság n növelésével zérushoz közelít.
A határozott integrál jele
Felső határ
b
Integráljel

f ( x) d x
a
Alsó határ
Integrandus
Integrálási
változó
Az integrálási változó
• A függvény egy adott intervallumon vett
határozott integráljának értéke a függvénytől
függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a
független változóját.
• Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az
x-et, nyugodtan írhatjuk
b
b
 f ( x) d x
a
helyett
 f (t ) d t
a
b
vagy
 f (u) d u
a
Geometriai értelmezés
• Az y=f(x) pozitív függvény
[a,b] intervallumon vett
határozott integrálja
egyenlő az adott
intervallumon vett görbe
vonalú trapéz területével.
b
 f ( x) d x
a
Példa
• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és
számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:
3
 ( 2 x  2) d x
1
ah 24
t

4
2
2
3
 (2 x  2) d x  4
1
Példa
• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk
ki az integrál értékét területszámítással:
4
 ( x  3) d x
1
ab
72
45
t
h 
5 
 22,5
2
2
2
4
45
 ( x  3) d x  2
1
A határozott integrál tulajdonságai
• Az állandó szorzótényező kiemelhető az
integrál elé:
b
b
a
a
 c  f ( x) d x  c   f ( x) d x
A határozott integrál tulajdonságai
• Az összeg, különbség tagonként
integrálható:
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)d x   f ( x) d x   g ( x) d x
+
Példa
1
1
1
1
 f ( x) d x  5
 g ( x) d x  7
1
1
1
1
1
1
 2 f ( x)  3g ( x)d x  2  f ( x) d x  3  g ( x) d x  2  5  3  7  31
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait feloszthatjuk:
b
c
c
a
b
a
 f ( x) d x   f ( x) d x   f ( x) d x
Példa
1
 f ( x) d x  5
1
4
 f ( x) d x  2
1
4
1
4
1
1
1
 f ( x) d x   f ( x) d x   f ( x) d x  5  (2)  3
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:
a
 f ( x) d x  0
a
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait felcserélve, az
integrál előjelet vált.
a
 f ( x) d x  0
a
b
a
a
b
 f ( x) d x   f ( x) d x  0
a
b
b
a
 f ( x) d x    f ( x) d x
Példa
4
 f ( x) d x  2
1
1
4
4
1
 f ( x) d x    f ( x) d x   (2)  2
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény
folytonos és integrálható, akkor van legalább egy
olyan x0 az intervallumban, hogy:
b
 f ( x) d x  f ( x0 )  b  a 
a
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény
maximuma M, és minimuma m, akkor:
b
(b  a)  m   f ( x) d x  b  a  M
a
Példa
1
• Igazoljuk az egyenlőtlenséget:  1  cos x d x  2
0
A [0,1] intervallumon
y=cosx
cos 1  cos x  cos 0  1
1  cos1  1  cos x  1  1  2
1
(1  0) 1  cos1   1  cos x d x  1  0 2
0
1

0
1  cos x d x  2
A Newton-Leibniz tétel
• Ha F(x) az f(x) függvény primitív
függvénye az [a,b] intervallumon akkor:
b
 f ( x) d x  F (b)  F (a)
a
Példa
1
31
0
0
x
2
x dx 3

3
 sin x d x 

6
13 03 1



3
3 3



 cos x 3   cos   cos  
3
6
6
1
3
 

2 2
3 1
 0,366
2
Feladatok
0
1
2
0
4
4
 (2 x  5) d x  6

3
1
x
(5  ) d x  33
4
2
4
3
2
(
x
  x)d x  1

0
32
4
x d x  12
5
3
1
0
1
5 6 dx  22
1 x
2
1
x
 (3x  4 ) d x  8
 ( x  2 x  3) d x  12
3
2

2
2
x
2
dx 1
Helyettesítés a határozott integrálnál
• Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra,
hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!
 2x  3  t 
 2d x  dt 
1
2
51


1 5
1
dt
1t
5
4 dt
4


d
x

 t
(1  (1) ) 


(2 x  3) d x 
2


10
5
2 5
2
1
1
 x  1  t  1 1
 x  2  t 1 




Parciális integrálás
b
b


b
u dv  u v a  vdu
a
a
1
x
1


ux
dv  e d x
x
x
x

xe

e
dx
xe
d
x





x
0
d
u

d
x
v

e




0
0
1

1
 1 e  0  e
0

x1
e
0


 e  e1  e0  e0  1
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x
tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által
határolt síkrész területét.
y x
4
4
2 3
t  xdx 
x
3
1
1
2 3
3   14  4 2
t  4  1 
3
3
 3
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az
x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek
által határolt síkrész területét.
2
y  x  x2

2
1

7
1
x  x  2 d x    1
6
6
2
1
1
t  1  1
6
6
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az
x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek
által határolt síkrész területét.
2
y  x  x2
t
 x2  x  2d x   x2  x  2d x
2
4
1
2
59
5
t
9
6
6
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület
nagyságát:
y  x2
1.
2.
3.
y x
A grafikonok metszéspontjainak
meghatározása – integrálási határok.
A grafikonok felrajzolása, a keresett
terület azonosítása.
Az integrálok kiszámítása.
Területszámítás integrállal
A grafikonok metszéspontjainak meghatározása –
integrálási határok:
y  x2
y x
2
x  x
4
x x
4
x x0
x( x3  1)  0
x1  0
x2  1
A grafikon felrajzolása
Területszámítás integrállal
Az integrálok kiszámítása:
 1
T   x d x   x2 d x   

0
0
 0
1
1
Felső
határoló
görbe



x  x d x


2
Alsó
határoló
görbe
3
1
2 3 x
1


T
x 

3

3 
3

0
A forgástestek térfogata
• Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának
x=a és x=b közötti részének x tengely körüli
forgatásával egy forgástestet kapunk.
A forgástestek térfogata
V   f ( x0 )2   x0   f ( x1 )2   x1  ...   f ( xn 1 )2   xn 1

V     f ( x0 )2  x0   f ( x1 )2  x1  ...   f ( xn 1 )2  xn 1
b
V      f ( x) d x
2
a

A gömb térfogata
x2  y 2  r 2
y 2  r 2  x2
V 
r
r
r
r
2
2
2
y
d
x


(
r

x
)d x


3
 2
x

V  r x

3

4 3
V r 
3
r


 r
A görbe ívhossza
• A görbét a P0, P1,...,Pn pontok
segítségével részekre osztjuk.
• A görbe vonalat a pontokon át
húzott húrokkal helyettesítjük
L  P0P1  P1P2  Pn1Pn
L  L0  L1  Ln1
A görbe ívhossza
• A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):
L2k  xk2  yk2
2


y
L2k  xk2 1  k 
 x 2 
k 

 yk
Lk  xk 1  
 xk



2
A görbe ívhossza
L  L0  L1  Ln1
2
2
 y0 
 yn 1 
 y1 





L  x0 1  
 x1 1  
   xn 1 1  


 x1 
 x0 
 xn 1 
y
lim
 f ( x)
x 0 x
2
L  x0 1   f ( x0 )2  x1 1   f ( x1)2    xn 1 1   f ( xn 1)2
b
L   1   f ( x0 )2 d x
a
A kör kerülete
• A félkörív hossza:
2
f ( x)  r  x
 f ( x)2 
2
 f ( x) 
L

r
r 2  x2
x2
r 2  x2
1   f ( x)2  1 
r
x
x2
2
r x
1   f ( x) d x  r
2

2
r

r
r2
r 2  x2
dx
2
r x
2
 r
k  2r
Vége!!!