Transcript Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera Plan wykładu • • • • równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka.

Mechanika Kwantowa
II. Matematyczne podstawy MK
WYKŁAD 7
Równanie Schrödingera
Plan wykładu
•
•
•
•
równanie Schrödingera zależne od czasu –
ogólna metoda rozwiązania,
równanie Schrödingera niezależne od czasu,
cząstka swobodna,
ewolucja paczki gaussowskiej.
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Stany opisane przez funkcję zależną od czasu
zmieniają się zgodnie z równaniem
d
i  t   H  t 
dt
w którym H jest operatorem całkowitej energii
układu (hamiltonianem).
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Równanie Schrödingera z dowolnym
hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej
 2

* 
 r , t    t   t    r , t  r , t d 3r  const
Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego)
raz unormowana do jedności pozostaje
unormowana w dowolnej innej chwili czasu.
Równanie Schrödingera zależne od czasu
W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy
jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy
zachowawczym lub konserwatywnym)
poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera
w postaci separowalnej:


 r , t    r  f t 
Po przekształceniach otrzymujemy:
iE




 r , t    r  exp  t  t0 
 

Jest to rozwiązanie szczególne.
Równanie Schrödingera niezależne od czasu

Funkcja  r  spełnia tzw. stacjonarne równanie
Schrödingera:


H r   E r 
gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu.
Dla pojedynczej cząstki mamy:
2 2

H 
  V r 
2m
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera:
iE




 r , t    a r  exp 
t  t0 







gdzie  r  jest jednym z rozwiązań zagadnienia
własnego stacjonarnego równania Schrödingera:


H r   E r 
Cząstka swobodna
Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy:
 


V r   0  F r   V r  
Równanie Schrödingera ma postać:

 r , t 
2 2 
i

  r , t 
t
2m
Po separacji równania ogólnego otrzymamy:
iE



 r , t    r  exp  t  t0 
 

2
 2 
 gdzie E jest energią cząstki.

  r   E r 
2m
Cząstka swobodna
Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera

ikr
 r   Ae
gdzie
2mE
k  2

2

k k k k
2
d q q 
2
dq
2

2
x
2
y
E 0
2
z
 q  , q  x , y , z
2
k q q

 r   x  x    y  y   z  z 
Cząstka swobodna
Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera
dla cząstki swobodnej

i  k r t 


 r , t  Ae
gdzie
2
E
p
 
 2m
p
k

Cząstka swobodna
Wprowadzając oznaczenia:
2mE
k
 R
E  
2

otrzymamy (dla jednego wymiaru):
  x, t   Aei kx t   B i kx t 
Gęstość prawdopodobieństwa wynosi:
*
 2 ikx
* 2 ikx



 x, t  A  B  A Be
 AB e 
2
2
Gęstość prądu prawdopodobieństwa:
k 2
2
J  x, t  
A B
m


Cząstka swobodna
• Wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa
zawiera człon interferencyjny (dla A = B mamy
falę stojącą):
2
2
  x, t   4 A cos kx 
Ewolucja paczki gaussowskiej
Rozważamy ruch cząstki o masie m wzdłuż osi x:
2 2
1 ikx
 x 
e
2
k
E
2m
gdzie k jest rzeczywistym parametrem ciągłym.
Pełna funkcja falowa ma postać paczki fal:
1
  x, t  
2

i
 E  k t
eikxe 
dk


a
k



1
ikx




ak 
 x, t  0 e dx

2 
Ewolucja paczki gaussowskiej
Dla warunku początkowego w postaci:
1
  x,0  4 2 e
a
Korzystając z faktu, że:

e
 Ax 2 iBx
dx 

x2
 2
2a

A
B2

e 4A
otrzymamy:
a k   4
a
2

a 2k 2

e 2
Ewolucja paczki gaussowskiej
Tak więc pełna funkcja falowa przyjmie postać:
  x, t   a

1

2 4

1
2
2


i

t
x
1 
 exp 

2
2




 ma 
 2 a  it m 
skąd:
1

2 2
a
1 
  x, t   
2



1
2


t 
x
exp   2
2 4
2 2
2 2 
ma 
 a   t m a 
2 2
2
Ewolucja paczki gaussowskiej
Wykres funkcji   x,t  dla różnych wartości t
(t=0, 2.5, 5, 10). Stałe równe jedności.
2
  x,t 
2
x
Ewolucja paczki gaussowskiej
Czas podwojenia szerokości paczki:
• w przypadku ciała makroskopowego (m = 10-9 g,
a = 0.001 cm):
t  10 s  32 000 lat
12
• w przypadku elektronu zlokalizowanego na
obszarze a = 10-8 cm:
t  1016 s
3ma 2
t

Ewolucja paczki gaussowskiej
• Prędkość fazowa paczki falowej:
 k vkl
vf  

k 2m 2
• Prędkość grupowa paczki falowej:
d k  k
vg 

 vkl
dk
m
kolor czerwony – prędkość fazowa, kolor zielony – prędkość grupowa