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D： 色等級図 ２００６年１０月３０日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html Ｃ．７．カラー フラックスの勾配⇒カラー Ｆ フラックス⇒等級 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν 近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、 Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。 λ１ λ２ 天文では等級の差、すなわちフラックス比の対数表示（カラー）を採用している。 m 1 m 2 2 . 5 log 約束 F 1 FO 1 2 . 5 log F 2 FO 2 2 . 5 log カラー ｍ１－ｍ２ では、λ１＜λ２ Ｂ－Ｖは○だが、Ｖ－Ｂは× F 1 F 2 2 . 5 log FO 1 FO 2 カラーの表現 天文でよく使われるバンド： Ｂ＝ｍ（0.44μｍ） Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ） Ｆｏ（Ｂ）＝４０６３Ｊｙ Ｆｏ（Ｖ）＝３６３６Ｊｙ １Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ フラックス 天体 F(B ) （Ｊｙ） バンド F(V) Ｂ カラー Ｖ Ｂ－Ｖ 温度 色 （Ｊｙ） シリウス １.４９３ ×１０４ １.３５６ ×１０４ －１.４４ ０.０１ ９４００ 白 太陽 １.１０２×１０１４ １.８０４×１０１４ －２６.１０ －２６.７５ ０.６５ ５７８０ 黄 ０.４５ １.５０ ３３７０ 赤 ベテルギウス ６６３ ２３８０ 一般に、天体の温度が高いと （１） 短波長側のフラックスが大きい。 （２） 短波長の等級が小さい。 （３） カラーが小さい －１.４３ １.９５ 黒体輻射のカラーと温度 このBはBバンドのB [ B V ] BB 2 . 5 log B ( , T ) 2h c なので、 [ B V ] BB 2 3 B ( B , T ) B ( V , T ) このBは黒体の輻射強度（プランク関数） 2 . 5 log F0 (V ) 1 Ｆo（B ）＝４０６３Ｊｙ，Ｆo（Ｖ）＝３６３６Ｊｙ h exp 1 kT B 2 . 5 log V 2 . 5 log V B F0 ( B ) h V 1 F 0 B kT 2 . 5 log h F 0 V B exp 1 kT 3 exp 3 exp kT V F 0 B 2 . 5 log ch F 0 V exp 1 kT B ch 1 [ B V ] BB 14388 exp 1 0 . 545 3 4063 0 . 545 T K 2 . 5 log 2 . 5 log 14388 3636 0 . 438 exp 1 0 . 438 T K 3 exp 0 . 438 4063 2 . 5 log 2 . 5 log exp 0 . 545 3636 1 T K 0 . 591 2 . 5 log 32850 1 T K exp exp 32850 exp T K 1 . 475 2 . 5 log 39310 exp 1 T K 39310 26400 T K 26400 T K 1 1 同様にＵバンド（λＵ＝０.３６６μｍ）、Ｆo（Ｕ ）＝１７９０Ｊｙ を使い、 [U B ] BB 14388 1 3 exp 0 . 438 1790 0 . 438 T K 2 . 5 log 2 . 5 log 14388 0 . 366 4063 exp 1 0 . 366 T K 3 exp 0 . 366 1790 2 . 5 log 2 . 5 log exp 0 . 438 4063 32850 1 T K 32850 T K 1 1 高温度のカラー Ｔ→∞では、 Ｂ（Ｔ，ν）２ｋＴ（ν/ｃ）２＝２ｋＴ/λ２ なので、（レーリージーンズ近似） [ B V ] BB 2 . 5 log B ( V , T ) B ( B , T ) B 2 . 5 log V 2 . 5 log F0 ( B ) F 0 (V ) 2 F0 ( B ) 2 . 5 log F 0 (V ) 0 . 438 2 4063 2 . 5 log 0 . 354 0 . 545 3636 [U B ] BB 0 . 366 2 1790 2 . 5 log 1 . 280 0 . 438 4063 このように、高温極限ではカラーはー∞ではなく、有限の値でとまる。 T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT) 低温度でのカラー B ( T , ) 2h c B V BB 2 3 なので、（ウイーン近似） h exp kT 2 . 5 log B ( V , T ) 10 B ( B , T ) B 2 . 5 log 10 V 2 . 5 log F0 ( B ) 10 3 2 . 5 log 10 F 0 (V ) ch 1 1 2 . 5 log exp kT V B 0 . 438 3 4063 2 . 5 log 10 2 . 5 log 0 . 545 3636 0 . 591 10 F0 ( B ) 10 F 0 (V ) 14388 1 1 e 0 . 438 T ( K ) 0 . 545 14388 1 1 e 0 . 366 T ( K ) 0 . 438 7002 T (K ) U B BB 0 . 366 3 3636 2 . 5 log 10 2 . 5 log 0 . 438 1790 1 . 475 7016 T (K ) 10 [B-V]BBも[U-B]BBも∞に発散する。 Ｃ．８． 輻射補正 Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通 Vバンド logλF(λ) 1 Ｂ型 Ａ型 暗い Ａ型 やや明るい Ｆ型 Ｍ型 明るい 暗い B型 0 Ｆ型 Ｍ型 －１ －０．５ V ０ logλ(μ) 同じ総フラックス同士でＶ等級をくらべると、Ｆ３Ｖ型星が最も明るい。 そこで、Ｖ＝０のＦ３Ｖ星の輻射等級ｍＢＯＬ＝０と定めた。 すると、Ｖ＝０の星のｍＢＯＬは全て０より小となる。ｍＢＯＬ（Ｖ＝０）＝ＢＣと呼ぶ。 輻射補正BC (Bolometric Correction)は、下式で定義される。 mBOL = ｍV+BC ここに、 ｍBOL=見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude =-2.5log[∫F(λ)dλ/FoBOL]＝-2.5log(Ｆ/FoBOL) ｍV=見かけV等級 Apparent V Magnitude FoBOL ： ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス＝２．５ １０－８ Ｗ／ｍ２ ＢＣは、ｍＶ とカラー［Ｂ－Ｖ］(か温度Ｔ程度)の情報しかない天体の全フラックス を推定するために使用される。 黒体輻射に対する輻射補正ＢＣ ｍBOL＝ｍｖ＋ＢＣ ｍBOL=-2.5log[∫F(ν) dν/FoBOL]、 ｍｖ＝ -2.5log[Fｖ(ν) /FoＶ] ただし、 F(ν) ＝ＢＢ（ν、Ｔ） ∫F(ν) dν ＝（σ/π）Ｔ４ Fｖ(ν) ＝３６３６Ｊｙ、 FoBOL ＝２．５ １０－８ Ｗ／ｍ２ ＢＣ＝ｍBOL－ｍｖ ＝ -2.5log [∫F(ν) dν/FoBOL] + 2.5 log [Fｖ(ν) /FoＶ] B V , T Fo , BOL 2 . 5 log B , T d Fo , v 2 . 5 log B V , T Fo , BOL B , T d Fo , v 3 . 973 10 B V , T m 3 B , T d T 19 4 1 1 . 4388 exp T m 4 1 8 4 1 . 805 10 T 4 Jy W /m 2 . 388 10 2 . 616 exp T4 20 1 Jy 2 Fｖ(ν) ＝３６３６Ｊｙ、 FoBOL ＝２．５ １０－８ Ｗ／ｍ２ を代入して、 BC 2 . 5 log 2 . 388 10 10 2 . 616 exp T4 20 2 . 5 10 8 8 1 . 805 10 T 4 3636 1 4 2 . 5 log 9 . 096 10 T 4 exp 4 2 . 616 T4 1 矮星のＴｅを上式に代入して求めたＢＣ（ＢＢ）を加えた表は以下のようになる。 Ｓｐ Ｔｅ Ｏ５ B0 A0 F0 G0 K0 42,000 30,000 9,790 7,300 5,940 5,150 M0 M5 3,840 3,170 BC (star) -4.4 -3.16 -0.30 -0.09 -0.18 -0.31 -1.38 -2.73 ＢＣ（ＢＢ） -3.68 -2.73 -0.34 -0.12 -0.14 -0.26 -0.89 -1.64 M型、Ｏ型で 黒体輻射より大きい補正が必要とされるのは、それぞれのスペクト ルピーク付近（Ｍ型では近赤外、Ｏ型では紫外領域）でＢＢより大きいフラックスを 持つことを示唆している。 輻射補正 BC(star) BC(BB) 0 -1 BC -2 -3 -4 -5 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 log T Ｄ．１．二色図 （Ｔｗｏ Ｃｏｌｏｒ Ｄｉａｇｒａｍ） 二つのカラーを縦軸、横軸にしたグラフを二色図と呼ぶ。その大きな特徴は、減 光が無いとき、２色図は距離に依らないことである。 左図ではU-B の上がマイナ スになっている。 天文の習慣の １つである。 B-Vは黒体輻 射と似て、温度 が下がると大 きくなる。 U-Bは１０００K から７０００Kの 間は温度が下 がるとマイナス 方向に小さくな る。 モデル t=107 yr Z=0.02 （Bertelli 1994） AQ 2002 主系列星 K-M型主系列星 K-M型赤色巨星 Ｄ．２．色等級図 （color magnitude diagram) 縦軸に等級、横軸にカラーのグラフを色 等級図と呼ぶ。 等級 縦軸：log(L/Lo), logF 横軸：有効温度Te、log[F（ν１）/F(ν２)] などをとる場合も多い。 カラー HR図と呼ぶこともある。 HR図と呼ぶこともある。 縦軸が示量性、横軸が示強性なので、天体の大きさ（R,L,M、Vなど）と 強度（T,ρ、ｖなど）を論じるには都合がよい。 二色図が示強性のカラーだけの図でしたがって距離に依存しないのに対し、 色等級図は縦軸が示量性で距離に依存する点に注意。 色等級図の例 （a） 最初の色等級図 縦軸＝絶対等級 横軸＝スペクトル型 （B） ヒッパルコス衛星が 観測した太陽近傍星 右下から斜めに延びるのが 主系列。主系列の中ほどか ら上に赤色巨星枝が立ち上 がっている。 この赤色巨星枝は老齢の 小質量星であることが分か る。枝分かれ点がターンオ フである。M=-1、V-I=1付近 の塊が ターンオフの先に主系列が 伸びているのは星形成が継 続して続いた証拠である。 (C) バーデの窓（Baade’s Window）と太陽近傍星のレッドクランプ星 バーデの窓 縦軸は見かけ等級 I 太陽近傍 縦軸は絶対等級 MI バーデの窓のレッドクランプは太陽近傍よりも赤い。これは平均メタル量が高い ためと考えられる。両者の等級差が距離指標(Distance Modulus)である。 Paczynski/Stanek 1998 ApJ 494, L219-222 （D） 銀極（左）と銀河中心（右）の２方向での赤外色等級図 銀極J-K＝０．４で垂直に立ち上がるのはTHICK DISKに属する色々な距離の レッドクランプ星。 銀河中心方向の色等級図は解釈が難しい。 (0, 0) 10' 16965 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5 6 7 8 9 K K b=90 60' 3664 stars 10 11 12 13 14 15 16 -1 -0.5 0 0.5 J-K 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 3 J-K 4 5 6 7 8 9 Ｄ．３． 星間減光 Ｄ Ｆ＝Ｌ / （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ） Ｄ Ｆ＝Ｌ ｅｘｐ（－τ）/ （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ）＋Ａ τ Ａ＝２．５（ｌｏｇｅ）τ＝１.０８６τ Ａ＝星間減光（Ｉｎｔｅｒｓｔｅｌｌａｒ Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎ）と呼ばれ、星間空間中の微小な 固体微粒子が原因と考えられている。 星間減光の波長による変化 λ Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） λ Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） λ Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 250 0.00042 7 0.020 0.28 1.94 100 0.0012 5 0.027 0.26 2.15 60 0.002 3.4 0.051 0.24 2.54 35 0.0037 2.2 0.108 0.218 3.18 25 0.014 1.65 0.176 0.20 2.84 20 0.021 1.25 0.282 0.18 2.52 18 0.023 0.9 0.479 0.15 2.66 15 0.015 0.7 0.749 0.13 3.12 12 0.028 0.55 1.00 10 0.054 0.44 1.31 9.7 0.059 0.365 1.56 9.0 0.042 0.33 1.65 0.12 3.58 Log(Ａｖ/Ａλ) 0 星間吸収曲線 星間減光曲線 -1 -2 -3 -1 0 1 log(λ) 2 Ｄ．４． 赤化 (Reddening) カラーエクセス Ｅ（Ｂ－Ｖ）＝ＡＢ－Ａｖ＝０．３１Ａｖ Ｅ（Ｕ－Ｂ）＝ＡＵ－ＡＢ＝０．２５Ａｖ ＝０．８１Ｅ（Ｂ－Ｖ） ０ Ｖ 色等級図 ０ Ａｖ＝０ １ Ａｖ＝０ （Ｕ－ Ｖ） ０.５ 二色図 ２.０ １ １.０ ４.０ １.５ ２ ０ （Ｂ－Ｖ） ０．５ １ ２ ０ （Ｂ－Ｖ） １ ２ 赤化 (reddening) ＝ E(X-Y) = AX－AY E(B-V)=AB － Av は最もよく使われる。 減光と赤化により、色等級図は平行移動を受ける。 0 (B-V,V)図での移動 の方向は、 AB/Av=1.31より、 Av/E(B-V) V 5 =1/0.31=3.2 で決まる。 10 Av=2 の減光を受 けたＨＲ図の変化 15 -0.5 0 0.5 1 B-V 1.5 2 2.5 例：銀河系中心方向の吸収Ｉ） 銀河中心(Sgr A*)の座標 銀経＝ｌ＝－０.０５4° 銀緯＝ｂ＝－０.０４６° (l,b)=(0,0) ：赤経＝α＝17時45分37.2秒 赤緯＝δ＝－28°56′10″.2 （分点２０００）は、銀河中心ではない。 ｌ＝９０° Sagittarius arm ｌ＝１８０° ｌ＝０° 太陽 銀河中心 星間雲 アンタレス ＧＣ方向 銀河中心３°四方Ｂバンド 銀河系中心方向の吸収（Ｉ Ｉ） 銀河中心３０′四方Ｂバンド 銀河中心３０′四方 銀河中心３０′四方 Ｈバンド Ｊバンド ６ ＡＫ／（ＡＨ－ＡＫ）＝０．１０８／（０．１７６－０．１０８）＝１．６４ Ａｖ＝１４ Ｋ 銀河中心方向領域１７の 星間減光 ８ １０ １２ 吸収の少ないバーデウィンドウで 決めた赤色巨星枝 Ｒｅｄｄｅｎｉｎｇ Ｆｒｅｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｑ１＝（Ｕ－Ｂ）/ ０．２５ －（Ｂ－Ｖ）/０．３１ Ｑ２＝（Ｕ－Ｖ）/ ０.５６ －（Ｖ－Ｉ）/０.５２１ 1 Sp(V) U-B B-V U-V V-I Q1 Q2 O5 -1.19 -0.33 -1.52 -0.47 -3.70 -5.51 B0 -1.08 -0.30 -1.38 -0.42 -3.35 -1.66 A0 -0.02 -0.02 -0.04 0.00 -0.02 -0.07 A5 0.10 0.15 0.25 F0 0.03 0.33 0.47 -0.85 -0.31 G0 0.06 0.58 0.64 0.81 -1.63 -0.41 G5 0.20 0.68 0.88 0.89 -1.39 -0.14 K0 0.45 0.81 1.26 1.06 -0.65 0.22 M0 1.22 1.40 2.62 2.19 0.36 0.48 M5 1.24 1.64 2.88 3.47 -0.33 -1.52 0.30 0.22 -0.08 0.02 0 -2 -4 -6 -4 -2 0 Ｒｅｄｄｅｎｉｎｇ Ｆｒｅｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＱＪＨＫ＝（Ｊ－Ｈ）/ ０．１０８ －（Ｈ－Ｋ）/０．０６８ ＱＨＫＬ＝（Ｈ－Ｋ）/０．０６８－（Ｋ－Ｌ）/０．０５７ 4 Ｍ０ Ｓｐ（Ｖ） Ｊ－Ｈ Ｈ－Ｋ Ｋ－Ｌ ＱＪＨＫ ＱＨＫＬ O9 -0.14 -0.04 -0.06 -0.71 0.46 B5 -0.06 -0.01 A0 0.00 0.00 0.00 0.0 F0 0.13 0.03 0.03 0.76 -0.09 G0 0.31 0.05 0.05 2.14 -0.14 G4 0.33 0.06 0.05 2.17 0.01 K0 0.45 0.08 0.06 2.99 0.29 3 -0.04 -0.41 0.55 0.0 K7 0.66 0.15 0.11 3.91 0.28 M0 0.67 0.17 0.14 3.70 0.04 M1 0.66 0.18 0.15 3.46 0.02 M3 0.64 0.23 0.20 2.54 -0.13 M6 0.66 0.38 0.36 0.52 -0.73 Ｋ０ ＱＪＨＫ 2 Ｇ０ 1 Ｍ６ 0 -1 -0.8 Ａ０ Ｏ９ -0.4 0 ＱＨＫＬ 0.4 レポート問題Ｄ 出題１０月３０日 提出１１月６日 レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 Ｄ．１．下の表には、主系列星のカラーＢ－Ｖと絶対Ｖ等級が示されている。 スペクトル型の最後のＶは主系列星、ＩＩＩは巨星の意味である。 星のスペクトルの形が黒体輻射であると仮定して、表面温度T,光度L, 半径Rをケルビン（Ｋ），太陽光度（Ｌｏ）、太陽半径（Ｒｏ）単位で求めよ。 ここに、太陽光度 Ｌｏ＝3.85×1026 W, 太陽半径 Ｒｏ＝6.96×108 m λ（Ｂ）＝0.438μｍ λ（Ｖ）＝0.545μｍ F(B,0等）＝4063 Jy F(V,0等）＝3636 Jy Ｂ５Ｖ Ａ０Ｖ Ｆ０Ｖ Ｇ０Ｖ Ｋ０Ｖ Ｍ０Ｖ Ｇ５ＩＩＩ Ｋ０ＩＩＩ Ｍ０ＩＩＩ Ｍ５ＩＩＩ Ｂ－Ｖ -0.17 -0.02 0.30 0.58 0.81 1.40 0.86 1.00 1.56 1.63 ＭＶ -1.2 0.65 2.7 4.4 5.9 8.8 0.9 0.7 -0.4 -0.3 Ｄ．２． 上で得た結果から、縦軸をlog(L/Lo), 横軸をlogT(K)とするＨＲ図を作れ。