Transcript pptファイル - 核融合科学研究所

同期現象の数理
蔵本由紀
京都大学数理解析研究所
プラズマ科学のフロンティア２００８研究会 於：核融合科学研究所 ２００８．８．７
ししおどし
Collective synchronization of fireflies
視交叉上核
洞房結節
(J.Theor.Biol. 1967)
N
K
Winfree のモデル： i  i  N  Z (i ) S ( j ),
j 1
応用数理 Vol. 17 No.2 (2007) 175
「非線形科学」 集英社新書 (2007)
K N
S (t )  V ( j )
N j 1
i の分布
g()
S (t )
0
K  Kc

t
K  Kc
Z ( )

0
i

V ( )

S (t )
t
大域結合振動子集団：
Ai  (  ii ) Ai   | Ai |2 Ai 
A  r exp(i )

N
(A  A )

N
j
j 1
i
2
r を断熱消去
i
,   real なら
N
K
  i  sin j  i 
N j 1
(1975)
0
i
可解モデルとしての
N
K
  i  sin j  i 
N j 1
1 N
expi j (t )  R(t ) expi(t )

N j 1
R0
i
R0
i  i  KRsin( i )
平均場理論の成立
揺れるミレニアム橋 10 June, 2000
理論
(S.Strogatz et al. Nature 2005, B.Eckhardt at al. PRL 2007)
i  i  KRsin( i   ),
 cf.
R  exp(i)  N 1  j 1 exp(i j )
N
R  exp(i)  Z ,
  bZ  kZ  GN exp(i j )
mZ
j 1
1
因子 N なし
群集のサイズ N
time(s)
揺れの振幅 R
time(s)

「位相縮約」理論について
Origin：
Enskog-Chapman 理論 (1916~1917)
Boltzmann方程式→Navier-Stokes方程式
μ空間の分子数密度： f (v, r, t )
  
f  J ( f )   v  f
 r 
衝突
J ( f )   [ f ( v) f ( v1 )  f ( v) f ( v1 )]
流れ
'
 I ( v  v, v1  v1 )dvdv1dv1
f (t  t )
f (t )
P
space
f  J ( f )  (v  r ) f
平衡解 f 0 はMaxwellian
3/ 2
J ( f 0 )  0,
 m 
 m | v  c |2 
 exp 

f0 (v; n, T , c)  n 
2kBT 
 2 kBT 

n, T , c : 任意パラメタ
n  n(r, t ), T  T (r, t ), c  c(r, t ) (局所平衡)
早い過程:
f  f0 (v, r, t )
遅い過程:
n(r, t),T(r, t),c(r, t)    
Navier-Stokes 方程式
(流体力学)
２次摂動理論
類似のアイディアを反応拡散系のwave frontダイナミクスに適用
  F(X)  D( 2x   2y )X
X
y
X( x, y, t )  X0 ( z  ),
z  x  ct
:
任意パラメタ
x
y
  ( y, t )
位相縮約により
t  2y  ( y )2   4y    
(流体力学方程式に対応)
y
c
x
y
ct  ( y, t )
x
x
もう一つの縮約法としてのcenter-manifold reduction
Hopf 分岐の場合：
  F(X,  )
X
 0
 0
リミットサイクル
  L0X   L1X  N2 (X, X)  N3 (X, X, X)    
X
t →∞
X0  Aexp(it )U  A exp(it )U
A : 任意パラメタ（複素量）
A  A(t )
   A   | A | A,
A
2
L0 のスペクトル
Im 

0

Re 
振動反応拡散系への拡張
  L0X   L1X  N2 (X, X)  N3 (X, X, X)      D2X
X
X0  Aexp(it )U  A exp(it )U
A  A(r, t )
2
2

A   A   | A | A  d A
(複素Ginzburg-Landau 方程式)
“任意パラメタ”の３大由来
n, T , c

保存則
(Enskog-Chapman 縮約)
連続対称性の自発的破れ
(位相縮約)
A
臨界安定性
(center-manifold 縮約)
“中立モード”あるところに縮約理論あり
t f  J ( f )  v   f
  F(X)  D( 2x   2y )X
X
縮約
縮約
流体力学方程式
位相方程式
  L0X   L1X  N2 (X, X)  N3 (X, X, X)    D2X
X
縮約
小振幅方程式
これらの微小量が中立モードのゆっくりした運動を引き起こす
結合振動子系の位相記述
1
2
  F(X)
リミットサイクル振動子： X
X : n 次元実ベクトル
3
  0 ( 2n )
閉軌道 C 上のリミットサイクル運動：
   となるように C 上に座標  を導入
C の表示： χ( )
χ(  2 )  ()
2 

 周期 T 



相空間全体への位相  の拡張
即ち、大域的“位相場”
 (X) を導入
I アイソクロン
（等位相面, n 1 次元）
χ( )
標準的な定義：
初期点によらず    が成立
  gradX  F(X)  
t  t3
t  t2
t  t1
弱い摂動を受けた振動子
  F(X)  p(t )
X
  gradX  F(X)  p(t )    gradX  p(t )
gradX  gradX |C  Z( ),
gradX
gradX |C
I
    Z( )  p(t )
Z( ) : 位相感受性
p (t)  k (t),
p  0
χ( )
C
I2
Z(Φ2)
      kZ ( )
 vs. 
I1
Z(Φ1)
結合振動子対
1    Z(1 )  pX1 (t ), X2 (t ),
2      
 Z(1)  pχ(1), χ(2 )  G(1,2 )
1,2  t 1,2
1  G(t 1,t  2 )
と置いて
平均化操作：
1
1 
2
即ち
2
 G(  ,  
1
2
)d  ( 1  2 )  (1  2 )
0
1    (1  2 ),
同様に
2    (2  1 )
一般の位相振動子ネットワーク
N
i  i  ij (i   j ), i  1,2,....,N
j 1
莫大な情報の消去による普遍性の抽出
“物理状況の限定による物理状況の緩和”
というパラドクス
分岐理論、Chapman-Enskog理論、
一般に創発性はサブレベルの詳細に依存しない
結合の３タイプ（対称結合を仮定）
1    (1  2 )
2    (2  1 )
1 2 
  ( )  ( )  2a ( )
( )  s ( )  a ( )
a (0)  a ( )  0 に注意
同相結合
逆相結合


O

0
O



0


異相結合
時間遅れをもつ結合 pX1(t), X2 (t  )

で現れやすい
O
例：α関数で結合した神経振動子

0



p12X1(t), X2 (t  )  p121(t),2 (t  )  p121(t),2 (t)  
時間遅れによる結合関数の位相シフト：
(1 2 )  (1 2  )
同期するロウソクの炎
吉川グループ（京大）の実験
ニホンアマガエルの逆相同期
合原一究氏（京大）の観察
カエルB
カエル A
time (s)
A
B A
time (s)
B …….
カエルAとB
time (s)
1  1  (1  2 )
2  2  (2  1 )
    2a ( )
1  2  

同期条件：
()max

()min    ()max

O
()min

  0
( ) を実験から決める
1  1  (1  2 )
2  2  (2  1 )
chemical oscillator の場合
( J.Miyazaki and S.Kinoshita, Phys.Rev.Lett., 2006)
反応槽１
 (t )  2
新鮮な反応液
t  tk
tk 1  tk
(tk  t  tk 1 )
物質交換
t k tk 1
新鮮な反応液
反応槽２
非同期条件下で,
各


より
任意の時刻で測定可能
は全領域 [0, 2 ) をカバー
に対して振動数
~    ( )

1
1
  1 2 :
~ ( )

1
を測定
( )
を決定
（非対称結合の場合もOK）
大域結合をもつ電気化学振動子系
( I.Kiss et al., Science, 2002, 2007)
64 個のNi 電極
H2SO4
結合強度   Rs / Rp
V : （＝一定）
フィードバックによる位相結合のデザイン
(I.Z.Kiss et al. Science 316, (2007),
H.Kori et al., Chaos (special issue) (2008))
振動子対の場合
独立な振動子
 1  F(X1 )
X
 2  F(X2 )
X
1  
2  
フィードバックの導入
 1  F(X1 )  P1 (t )
X
 2  F(X2 )  P2 (t )
X
1    12(1  2 )
2    21(2  1 )
X2  ( x, y, z  ),
P1  (0,  , p ,0  ,0)
L
p   kl x(t  n )  x l
パラメタ：
l 0
12(1  2 ) 
M

m  M
m
kl , l lL1
expim(1  2 )
パラメタ：
Re m , Im m mM1
M
L
望ましい Re m , Im m m
を実現するように


k
,

l
l l 1 を決める
1
対結合振動子集団への拡張は自明
N
任意の位相振動子ネットワーク i  i  ij (i   j ), i  1,2,....,N
j 1
のデザイン
大域結合集団： P1  P2      PN
スロースイッチの実現
集団引き込み転移の理論
g()
N
K

i  i  sin(i   j )
N j 1
オーダーパラメタ：
1 N
expi j (t )  R(t ) expi(t )

N j 1
0

 2

   n( , t ) exp(i ) d 


 0

i  i  KRsin( i )
仮定：
n(, t )  n(  t )
（定常回転）
R  const.   t
  0
（系の対称性より）
i  0t  i
グループ１：
i  0
KR
1
 i  i  0  KR sin i
g()

0  KR
 i  Sin
グループ２：
i  0
KR
1 N
expi j (t )  R

N j 1
0  KR
1
i  0
KR
g()

1
0  KR
0  KR
expi j   expi j 
p( ;) 
1
|   0  KR sin |
S (R)
セルフコンシステント方程式
K  Kc
R  S (R)
K  Kc
K  Kc
R
o
小さい R に対して
 
3

R  S ( R)  R1  Kg(0 )  K g(0 ) R  O( R )  0
16
 2

仮定により g(0 )  0
臨界点：
Kc 
2
 g (0 )
3
2
4
グループ１（凝縮体）のサイズ：
  KR
0
NI
r
  g() d  2KRg(0 )  O(R3 )
N 0 KR
~)
振動数分布： G(

 KR
~





(



)
1

0
0
  


0


~)  G (
~)  G (
~)
G(
I
II
~)  r   (
~  )
GI (
0


~  |
|

2
2
d

~
0
~)  g (
~)
 g 0  (  0 )  (KR) 
GII (
~   )2  (KR)2
~
(
d
0
R0
R small
~)  g(
~)
G(
0
~
R large




2





集団状態の安定性は？
位相分布関数で考える
n( , t ) 

2

0
 f (,, t) g()d,  f (,, t)d  1
2
2

0
0

R   n( ) cos d   d  d f ( , )g () cos

f (, , t )     KRsin   f 

オーダーパラメタ・ダイナミクスの導出
S.H.Strogatz et al. PRL 68 ‘92, 2730
（無衝突プラズマのランダウ減衰との類似性）
 f ( , t )～ exp(t )
中心多様体縮約によるアプローチ：
J.D.Crawford and K.T.R.Davies,
Physica D 125 ‘99, 1
位相結合関数
Im 
Im 
(  ) は一般
0
Re 
0
R  (K  Kc ) ,   1 !!
f (, , t ) のダイナミクスに関する低次元不変多様体の存在：
E.Ott and T.M.Antonsen,
http://jp.arxiv.org/abs/0806.0004
N
K
i  i  sin(i   j   ),
N j 1
g ()   

f ( , , t ) 
1

f
(

,
t
)
exp(
in

)

c
.
c
.
  n
,

2   n1

オーダーパラメタ・ダイナミクスの簡単な導出
エコー現象：
E.Ott et al., http://jp.arxiv.org/abs/0807.4499
f n (, t )   (, t )n
Re 
クラスタリングとスロー・スイッチ現象
理論: D.Hansel et al. PRE ’93; H.kori and Y.K., ’01; H.Kori, PRE ’03
実験: I.Kiss et al. Science ’07
N
1

i    N  j 1 (i   j ),
( )   sin(   )  r sin(2 )
a
r  0.7
 0
t
0
    t
2
2-クラスター状態は安定とは限らない
例えば、クラスターの一つが“溶解”する可能性
不安定化した後はどうなる？
s
s
ヘテロクリニック軌道の形成
s
s
スロースイッチ
ベクトル力学系モデル
(例：Hindmarsh-Rose の神経振動子)
も同様の振る舞いを示す
構造安定な振る舞い？
H.kori and Y.K., Phys.Rev. ’01
スロースイッチ現象は大域結合電気化学振動子系
においても見出されている
(I.Z.Kiss et al. Science 316, (2007))
ランダム外力への同期（同期概念の一般化）
位相モデルに基づく理論：
J.N.Teramae and D.Tanaka, PRL 93, ’04; Prog.Theor.Phys.Suppl. 161, ’06
K.Nagai et al., PRE 71, ’05;
H.Nakao et al., PRE 72, ’05,
D.S.Goldobin and A.Pikovsky, PRE 71, ’05
結論：十分弱いランダム外力下に常に同期する
「複数の独立な振動子＋共通のランダム外力」の場合：
個別振動子のランダム外力への同期
振動子の相互同期
動機の一つ： Z.F.Mainen and T.Sejnowski, Science 268, ’95
ランダム刺激なし
ランダム刺激あり
皮質ニューロンは reliable な機能単位
弱いランダム外力の場合
  F(X)  ξ(t )
X
ランダム外力
位相縮約
    Z( )  ξ(t )
ξ  ( ,0,0,  ,0)
    Z ( )ξ (t )
ξは
C(t )
  (t )  0,   (t  s) (t )  C(s)
を満たす一般のランダム過程
c
t
1    Z (1 ) (t )
(1st trial/oscillator)
2    Z (2 ) (t )
(2nd trial/oscillator)
1 2 
  (t) , (t)  Z(t) (t)
    Z ( ) (t )
(t ) の長時間平均（統計平均）  を求める
2

1 
1
    ds C(s)  dx Z ( x)Z ( x   s)   l 2 Zl 2 Cl  0,
2 0
2 l 
0
ただし
 c ランダム外力による位相変化の時間スケール
弱い反位相結合または異相結合を導入
1    (1  2 )  Z (1 ) (t )
2    (2  1 )  Z (2 ) (t )
  2a ( )  (t )    (t ) ,   2a (0)  0
 |  | なら 同位相にロックされた状態が安定
連続場における位相乱流状態への一般化
空間的に一様なランダム外力によって
位相乱流は抑制できるか
space
J.N.Teramae and D.Tanaka, ’06
time
一様振動状態の線形安定性
波数 k の位相ゆらぎの線形成長率：
 (k ) | | k 2   k 4 .
ランダム外力の導入により
 (k ) | | k 2   k 4  |  | .

| |2
| c |
4
O
k
  ランダム外力の強度
複素 Complex Ginzburg-Landau 方程式＋白色ガウスノイズ
振動子の連続場
・局所結合系（e.g. 振動反応拡散系）
・大域結合系
（e.g. 電気化学振動子系、ジョセフソン結合素子系）
・非局所結合系
(e.g. 電気化学振動子系）
V.Garcia-Morales and K.Krischer, Phys.Rev.Lett.100 (2008)
反応拡散モデル：
dX
 f ( X , Y )  k  (S  X )
dt
dY
 g( X ,Y )
dt
dS

 S   2 S  X
dt
キメラ状態
( x, t )     dxG( x  x) sin ( x, t )   ( x, t )   
2

G( y)  exp( | y |)
2
N=512

周期境界条件
0
 L/2
L/2
x
結合距離
 1
α＝１．４５７
一様振動状態は安定
~
中央領域における同期の破れ
 L/2
x
L/2
理論
Y.K. and D.Battogtokh,
Nonlin.Phenom.Complex.Sys. 5, 380 (’02)
K N

i  i  j 1 sin(i   j   )
N
の場合
1 N
exp(i j )  R(t )  expi(t )
オーダーパラメタ

N j 1
を用いて
i  i  K  R sin(i     )
( x, t )     dxG( x  x) sin ( x, t )   ( x, t )    の場合
時空依存 オーダーパラメタ
 dxG(x  x) expi(x, t)  R(x, t) expi(x, t) を用いて
( x, t )    R( x, t ) sin ( x, t )  ( x, t )   
キメラ発生の一般的理由：
t X( x, t )  F(X)   G( x  x)X( x, t ) dx
平均場
R( x, t )   G( x  x)XE( x, t), t 
不均一な振動パターン R( x, t )
R( x, t )
R 大の領域では
個別振動子は平均場に同期
Rth
R 小の領域では
個別振動子は平均場に非同期
coherent
incoherent
( x, t )    R( x, t ) sin ( x, t )  ( x, t )   
R(x)
R( x, t )  R0 ( x),
( x, t )  t  0 ( x)
Rc
0 ( x)
x
 ( x, t )  t  ( x, t )
Rth |    |
 ( x, t )      R0 ( x) sin  ( x, t )  0 ( x)   
x
に注意
 ( x, t )      R0 ( x) sin  ( x, t )  0 ( x)   
self-consistency condition からキメラ解を見出す
R0 ( x)
R0 ( x)  ei0 ( x)   dxG( x  x)ei ( x,t )
Rth

| x| xc
 xc
xc
0
同期領域では
i equil( x)


dx G( x  x )e
  dxG( x  x)ei drift( x,t )
| x| xc
 
  0 ( x)  
 equil ( x)  Sin 
 R0 ( x) 
-1
ei drift( x,t )
ei drift( x,t )
p( , x)      R0 ( x) sin  0 ( x)   1
非同期領域では
確率分布
を用いる
汎関数 self-consistency 方程式
R0 (x) ei0 ( x)  HR0 (x), 0 (x), 
逐次代入による数値解
theory
R(x)
numerical
 xc

も同時に決定
xc
~
~( x)  
 K  R0 ( x) 
~
 ( x)    (  ) 1  

   
2
theory
numerical
x
See also:D.M.Abrams and S.Strogatz, PRL 93 (2004) 174102,
Intern.J.Bif.Chaos, 16 (2006) 21
2D キメラ
(r, t )     dr G(r  r) sin (r, t )   (r, t )   
   R(r, t) sin(r, t)  (r, t)  
2
G(r) 
K0 ( r)
2
K0 : ０次の第二種変形 Bessel 関数
R(r, t),
(r, t )  R0 (r), t  0 (r) に注意
R0 (r)  R0 (r), 0 (r)    h0 (r) 回転らせん波
R0 (r)
R0 (r)
同期
同期
r
非同期
r
  t 
 (r, t )      R0 (r) sin (r, t )  0 (r)   
R0 (r)ei0 (r )   dr' G(r  r' ) ei (r,t )
  dr' G(r  r' )e
i equil(r)
coh
代入
 
  0 (r)  
 equil (r)  Sin 
 R0 (r) 

dr' G(r  r' ) ei
incoh
p( , r)      R0 (r) sin  0 (r)   1
-1
を用いる
R0 (r) ei0 (r)  HR0 (r), 0 (r), 
R0 (r)
r
phase
(collective and individual)
true frequency
~(r )
 (r )
0 (r )
r
r
らせん波パターンに位相モデルを用いることの当否
非局所結合複素Ginzburg-Landauモデル:
A (r)  (1 i0 ) A  (1 ib) | A |2 A  K  (1 ia)Z (r)  A(r)
Z (r)   drG(| r  r |) A(r)
位相縮約により
(r, t )     dr G(r  r) sin (r, t )   (r, t )   
ba
tan 
,  (b  a)  0
1 ab
  0  b
a  0, b  0.5 は固定
K を変化させる
K  1.5 (強い結合) では
通常のらせん波
Im A
Re A
phase portrait
K  0.3 (弱い結合) では
phase portrait
Im A
Re A
位相特異性は消失
A (r)  (1 i0 ) A  (1 ib) | A |2 A  K  (1 ia)Z (r)  A(r)
Z (0)  0
Kc  1.0
反応拡散系における2Dキメラ
(S.Shima and Y.K., Phys.Rev.E 69 (’04))
dX
  1 ( X  X 3  Y )  k  (S  X )
dt
dY
 aX  b
FitzHugh-Nagumo振動子モデル
dt
dS

 S   2 S  X
dt
Center-manifold 縮約により、非局所結合GL方程式
A (r)  (1 i0 ) A  (1 ib) | A |2 A  K  (1 ia)Z (r)  A(r)
Z (r)   drG(| r  r |) A(r) を得る
(D.Tanaka and Y.K., Phys.Rev.E 68 (’03))
a  1.0, b  0.2,   0.1,   
K  10.0
K  5.0
phase portrait
K  2.0
振幅自由度はほとんど死んでいる
上の反応拡散モデルを直接位相縮約すると
(r, t )     drG(r  r) (r, t )   (r, t )