Transcript 第十章第七節
三種微分運算 三種積分運算 三個積分定理 三種微分運算： • 梯度 Gradient • 散度 Divergence • 旋度 Curl 三種積分運算： • 線積分 • 面積分 • 體積分 三種積分與三種微分的關係 點 線積分 面積分 體積分 梯度 旋度 散度 Potential Theorem Stokes’s Theorem Gauss’s Theorem 第四節的 Green 定理是本章第一個積分定理，因此說本 節的積分定理是 ‟another” integral theorem。但是其實 Green 定理是第九節 Stokes 定理的特例。所以應當說本 章有兩個 big integral theorems：本節的 Gauss 定理與下 一節的 Stokes 定理。 在第九章第八節定義向量場的散度 divergence；由本節 的 Gauss 定理可知，何以散度的定義如上式。 1. 由上節（p. 444）已知上式右邊的圖像意義：向量 場 𝑭 通過曲面 𝑆 的通量（flux）。 2. 此處的 𝑆 是封閉（closed）曲面，因此 𝒏 的方向必 須由內向外，稱為 unit outward normal。 3. 因此上式右邊是流出通量；也因此是表示「散逸」 之量，所以稱為「散度」（divergence）。 先不證明，而以實例說明其用處。 依照 Gauss 定理： 𝜵∙𝑭= 𝑇 𝑭∙ 𝒏 𝑑𝐴 𝑆 上式的左邊是三重體積分，右邊是二重面積分。 有時體積分容易，有時面積分容易。 Gauss 定理讓我們可以選擇取易捨難。 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑆 其中積分範圍封閉曲面 𝑆 為圓柱的側面 與上方的頂面與下方的底面： 側面：𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏 底面：𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑎2 , 𝑧 = 0 頂面：𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑎2 , 𝑧 = 𝑏 以圓柱座標表示： 側面：𝑟 = 𝑎, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏 底面：𝑟 ≤ 𝑎, 𝑧 = 0 頂面：𝑟 ≤ 𝑎, 𝑧 = 𝑏 註： 體積分為三重積分，面積分為二重 積分；二重積分似乎比較簡單，但 是此題的向量場沒有對稱性，二重 積分反而比三重積分困難。 因此本題用意即在彰顯積分變換的 功用。 你會怎麼計算這個面積分？ 可能有人這麼計算： 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥 2 𝑦 𝑧 𝑆 𝑥2 𝑆 1 3 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑧 3 1 3 𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑧 3 2 𝑆 可能有人用圓柱座標變換公式：𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 然後代入積分式。 這兩種做法錯在哪裡？ 關於第一種做法，如果積分範圍是規則長方形， 才可以直接用單變數積分重複做兩次。 但是如果積分範圍不是長方形，就必須用第三節 第 427~428 頁的公式 (3) 或 (4)： 𝑏 𝑎 𝑑 𝑐 ℎ(𝑥) 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑔(𝑥) 𝑞(𝑦) 𝑝(𝑦) 最關鍵也最難的就是黃色的部分：積分順序與內 層積分的上下限。 積分定理就是要迴避這些複雜計算。 關於第二種做法，如果把變數變換公式直接代入 積分式，不僅一樣複雜，而且一樣須考慮二重積 分的順序與上下限。 因此這種積分須先化為標準式： 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 𝑆 然後把向量場 𝑭 還原出來。 對初學者而言，做積分變換之前，先 要能辨識原題是面積分，而且要還原 題目未明示的向量場： 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑆 問：由積分符號雖可知此式為面積分， 若把積分式寫為 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑 𝐴，向量 𝑭 的 分量為何？ 3 課本直接寫下 𝐹1 = 𝑥 ，為甚麼？ 用向量內積看 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑 𝐴： 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 = 𝐹1 𝐢 + 𝐹2 𝐣 + 𝐹3 𝐤 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 其中 𝐢 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 是面素 𝒏 𝑑𝐴 在 𝑥 軸上的投影。 此投影面素是以 𝑥 軸為法線，所以在 𝑦𝑧 平面上。 此面素的長寬都無窮小，且沿 𝑦 軸及 𝑧 軸，因 此等於 𝑑𝑦 𝑑𝑧。所以第一項為 𝐹1 𝑑𝑦 𝑑𝑧；其餘兩 項可以類推。 所以 𝑭 ∙ 𝒏 𝑑𝐴 = 𝐹1 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝐹2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝐹3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 由此可知， 𝐹1 是 𝑑𝑦 𝑑𝑧 的係數，在本題中即是 𝑥 3 ；其餘兩項可以類推得知。 已知向量場 𝑭 ，其散度可由定義或公式算出： 𝛻 ∙ 𝑭 = 5 𝑥2 其體積分為 5 𝑥2 𝑑 𝑉 𝑇 因為此積分的範圍 𝑇 是圓柱，所以應該用圓柱 座標： 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 = 𝑧 𝑑 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑟 𝑑𝑟 d 𝜃 dz 因此上式可再寫為 𝑏 2𝜋 𝑎 5 𝑟 cos 𝜃 𝑧=0 𝜃=0 𝑟=0 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 Homework: Problem Set 10.7 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. 題號依照第十版，請看下一頁：