Transcript matriks

Pengertian Matriks
Jenis Matriks
MATRIKS
Operasi Matriks
Determinan Matriks
Invers Matriks
Contoh Soal
PROFIL
MATRIKS
Matriks
adalah
kumpulan bilangan (unsure)
yang disusun menurut baris dan
kolom. Bilangan-bilangan yang
disusun tersebut disebut elemenelemen
atau
komponenkomponen
martiks.
Nama
sebuah matriks dinyatakan
dengan huruf kapital, banyak
matriks (x), banyak kolom dari
suatu matriks disebut ordo
matriks (ukuran matriks).
MATRIKS
Perhatikan contoh berikut:
1
𝐴= 3
4
kolom 1
2
2
5
kolom 2
1
0
6
kolom 3
−2
2
3
kolom 4
Matriks A terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Matriks A berordo 3×4,
matriks A dapat ditulis dengan 𝐴 = 3 × 4 .
Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐴=
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Dalam hal ini 𝑎𝑚𝑛 disebut elemen matriks pada baris ke-m dan
kolom ke-n
MATRIKS
1. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
Contoh: 𝑃 = 2 5
2. Matriks Kolom
Martiks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
2
Contoh: 𝑃 =
5
3. Martiks Nol (0)
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Contoh: 𝑂 =
0 0
0 0
4. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan kolom.
1 3
Contoh: 𝐴 =
2 4
1 2
𝐵= 4 3
3 −1
6
−2
5
MATRIKS
5. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar semua elemen
diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
1 0 0
4 0
𝐶=
𝐷= 0 2 0
0 5
0 0 3
6. Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal
bernilai sama.
Contoh:
4 0
3 0
𝐸=
F= 0 4
0 3
0 0
yang elemen-elemen pada diagonal utamanya
0
0
4
7. Matriks Identitas(I)
Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama
dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
Contoh:
1 0 0
1 0
𝐼=
J= 0 1 0
0 1
0 0 1
MATRIKS
8. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks
utamanya bernilai nol.
Contoh:
3
2 3
𝐺=
𝐻= 0
0 1
0
persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal
2 4
1 2
0 5
9. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks
utamanya bernilai nol.
Contoh:
4 0
2 0
𝐽=
𝐾= 2 3
1 3
5 1
persegi yang elemen-elemen di atas diagonal
0
0
4
10. Transpos Matriks A
Transpos matriks A atau 𝐴𝑡 adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara
menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan
kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j.
Contoh:
−8 3 0
−8 2 4
𝑡
𝐿= 2
𝐿 = 3 0 −4
0 4
4 −4 0
0 4 0
MATRIKS
Beberapa sifat matriks transpos adalah sebagai berikut:
1. (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
2. 𝐴𝑡
𝑡
=𝐴
3. 𝑐𝐴
𝑡
= 𝑐𝐴𝑡 , c adalah konstanta
4. 𝐴𝐵
𝑡
= 𝐵𝑡 𝐴𝑡
MATRIKS
1. Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis 𝐴 = 𝐵, jika syarat berikut
ini dipenuhi:
a) Matriks A dan B mempunyai ordo yang sama.
b) Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan B adalah sama.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan, jika kedua
matriks tersebut berordo sama. Hasil penjumlahan atau pengurangannya
adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau
mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
MATRIKS
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh
yang elemen-elemennya merupakan perkalian skalar
tersebut dengan setiap elemen matriks. Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚 × 𝑛
maka 𝑘. 𝐴 = 𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑚 × 𝑛 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑚 × 𝑛.
Jika matriks A dan B berordo m×n dan k ∈ bilangan real, maka:
a. kA = Ak
b. k(A + B) = kA + kB
c. k(A - B) = kA - kB
MATRIKS
4. Perkalian Dua Matriks
Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika banyak kolom A sama
dengan banyak baris B.
Jika 𝐴 𝑎𝑖𝑗 𝑚 × 𝑛 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛 × 𝑘,
Maka 𝐴 × 𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚 × 𝑘
1 2
5 6 9
Contoh : Diketahui 𝐴 =
dan 𝐵 =
. Tentukan 𝐴 × 𝐵!
3 4
7 8 0
1 2 5 6 9
𝐴×𝐵 =
3 4 7 8 0
1×5+2×7 1×6+2×8 1×9+2×0
=
3×5+4×7 3×6+4×8 3×9+4×0
19 22 9
=
43 50 27
MATRIKS
Jika perkalian matriks terdefinisi, maka:
 Tidak komutatif : 𝐴 ≠ 𝐵
 Asosiatif : 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
Jika A dan B adalah matriks persegi berordo n, maka:
 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵 2
 (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 = 𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵 2
 (𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴 − 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴2 − 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 + 𝐵 2
𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
MATRIKS
1.
Determinan Matriks Persegi Berordo 2
𝑎
𝑐
𝐴 didefinisikan sebagai:
Misalkan matriks 𝐴 =
𝑏
, maka determinan matriks A, ditulis det 𝐴 atau
𝑑
det A=|A|= 𝐴 =
𝑎
𝑐
𝑏
= ad-bc
𝑑
MATRIKS
2. Determinan Matriks Persegi Berordo 3
𝑎11
Jika matriks 𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 , maka determinan dari matriks A dapat
𝑎33
ditentukan dengan menggunakan kaidah sarrus, seperti berikut:
𝑎11
𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑎11
𝑎23 𝑎21
𝑎33 𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
MATRIKS
1. Dua Matriks Saling Invers
Jika A dan B matriks persegi berordo sama sedemikian sehingga: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 1, maka dapat
dikatakan:
 B adalah invers A, ditulis 𝐵 = 𝐴−1
 A adalah invers B, ditulis 𝐴 = 𝐵 −1
Contoh :
3 7
5 −7
Diketahui matriks 𝐴 =
dan 𝐵 =
. Tunjukkan bahwa matriks A dan
2 5
−2 3
matriks B merupakan dua matriks yang saling invers!
Jawab:
Harus ditunjukkan bahwa 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 1
𝐴𝐵 =
3
2
𝐵𝐴 =
5
−2
7
5
5
−2
−7
3
3
2
1
−7
=
0
3
0
=1
1
7
1
=
5
0
0
=1
1
Karena 𝐴𝐵 = 1 = 𝐵𝐴, maka matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang saling
invers.
MATRIKS
2. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2
𝑎 𝑏
dengan det 𝐴 = 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, maka invers matriks A
𝑐 𝑑
ditulis 𝐴−1 ditentukan oleh:
1
−1
𝐴 =
∙ 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
det 𝐴
1
𝑑 −𝑏
𝐴−1 =
det 𝐴 −𝑐 𝑎
Jika 𝐴 =
3. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 3
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 × 3, kita harus
memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.
a. Matriks Minor
Matriks minor Mij diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada
baris ke-i dan kolom ke-j matriks A berordo 3 × 3, sehingga didapat matriks
baru dengan ordo 2 × 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari
determinan matriks A, ditulis dengan 𝑀𝑖𝑗 .
𝑎11
𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23
𝑎33
MATRIKS
Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut:
b. Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dituliskan dengan Aij. Untuk
menentukannya ditentukan dengan rumus:
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut.
𝐴11 = (−1)1+1
𝐴12 = (−1)1+2
𝐴13 = (−1)1+3
𝐴21 = (−1)2+1
𝑀11
𝑀12
𝑀13
𝑀21
𝐴22
𝐴23
𝐴31
𝐴32
= (−1)2+2
= (−1)2+3
= (−1)3+1
= (−1)3+2
𝑀22
𝑀23
𝑀31
𝑀32
MATRIKS
c. Adjoint
Misalkan suatu matriks A berordo n x n dengan Anm
kofaktor dari matriks A , maka :
Adjoin A = Adj (A) =
Untuk matriks A berordo 3 x 3, maka :
Adj A =
MATRIKS
1.Diketahui matriksmatriks :
Penyelesaian :
A=B
dan
Tentukan nilai a, b,
c dan d, jika A = B
a=3
c=8
b+2=7
d–4=1
b=5
d=5
Jadi, nilai a = 3, b = 5, c = 8, d = 5
MATRIKS
2. Diketahui matriks A =
A+B!
Penyelesaian :
dan B =
. Tentukan
MATRIKS
3. Diketahui 𝐴 =
1 2
3 4
dan
. Tentukan
A×B!
Penyelesaian :
MATRIKS
4. Tentukan nilai determinan
dari matriks-matriks :
dan
Penyelesaian :
det A =
det B =
MATRIKS
5. Tentukan invers dari matriks
Penyelesaian :
MATRIKS
maka :
MATRIKS
1. Invers matriks 𝐴 =
2 3
adalah…
5 7
𝑥
3 7
2. Diketahui 𝐴 =
, 𝐵 = 4 2 , dan 𝐶 = 𝑦 .
1 2
maka 𝑥 + 𝑦 adalah…
1
3. Diketahui persamaan matriks
2
2 𝑏
. Tentukan nilai a dan b!
1 1
4. Diketahui 𝐴 =
𝑎
0
3
5
Jika 𝐴−1 ∙ 𝐵𝑡 = 𝐶,
1
4 −3
=
2𝑏
−1 2
𝑎
+
3
1−𝑎
2 𝑏
dan 𝐴−1 =
. Nilai b adalah…
1
0 1
5. Diketahui matriks 𝐴 =
Tentukan: a. 𝐴 + 𝐵
b. 𝐴 − 𝐵
4 −1
2
dan 𝐵 =
3 2
−3
1
0
MATRIKS
MATRIKS
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Matematika
Universitas Swadaya Gunung Djati
Desy Annur Widyawati
112070026 (2.J)
Dwi Nurjanah
112070035 (2.I)
Dara Lugianawati
112070050 (2.J)
Aditya Rahman Ramli
112070109 (2.J)
MATRIKS
Nama: Dara Lugianawati
Kelas: 2.j
NPM: 112070050
Pengisi Suara:
Nama: Dwi Nurjanah
Kelas: 2.i
NPM: 112070035
Pengisi Suara:
MATRIKS
Nama: Desy Annur Widyawati
Kelas: 2.j
NPM: 112070026
Pengisi Suara:
Nama: Aditya Rahman Ramli
Kelas: 2.j
NPM: 112070109
Pengisi Suara:
MATRIKS