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第七章力學能與碰撞七－１七－２七－３七－４七－５七－６功、能與功能原理力學能力學能守恆碰撞功率能量守恆定律七－１功、能與功能原理 功的定義：功=外力大小沿受力方向的位移分量=位移大小沿位移方向的外力分量（１）定力：（２）變力： 2/71 結束七－１功、能與功能原理 功的單位（１）M.K.S.制：焦耳（joule=N-m，J） 1焦耳=1牛頓-公尺（２）C.G.S.制：耳格（erg=dyne-cm） 1耳格=1達因-公分（３）1焦耳=10,000,000耳格 3/71 結束七－１功、能與功能原理 功的特性（１）功為純量，其值有正負之分：（２）外力為零，功必為零；（３）位移為零，功必為零；（４）位移和外力垂直，功必為零。（５）F-s圖下面包圍的面積=功， s軸以上取正(W>0)，s軸以下取負(W 4/71 結束七－１功、能與功能原理 能（能量）（１）意義：「能做功」的物理量稱為「能量」；（２）能和功屬於同一類物理量；（３）各種能量之間可以互相轉換，且其總和為一定值（能量守恆定律）；（４）熱力Ⅱ定律：熱量無法100%轉換成其它種類的能量，但其它種類的能量可以100%轉換成熱量。 5/71 結束七－１功、能與功能原理 能（能量）（５）類型： 6/71 結束七－１功、能與功能原理 功能原理： W合外力=DK 合外力對物體所做的功會轉換成物體的動能，若合外力作正功，則物體的動能增加；若合外力作負功，則物體的動能減少。（１）一個可以對外界做功的物體便具有能量；（２）能量可以轉換為功，功亦可以轉換為能量。 7/71 結束七－２力學能 力學能的意義動能和位能合稱「力學能」或「機械能」 動能（１）定義：（２）物理意義 ①動能和物體是否在運動有關，靜止不動者動能為零； ②動能和速率平方成正比（子彈的殺傷力比石頭大的原因），和質量亦成正比（卡車的破壞力比汽車大的原因）； ③動能會隨著觀察者的不同而異。 8/71 結束七－２力學能 動能（３）來源：對等加速度直線運動而言 v2=v02+2aS  mv2/2=mv02/2+maS  將C值選為0，表示物體靜止時的動能為零。（４）動能與動量的關係 ①動量相同時動能不一定相同，反之亦然； ②質點系統之總動量為零時總動能未必為零，但是總動能為零時總動量必定為零。 9/71 結束七－２力學能 位能（１）意義：物體彼此之間的相對位置或形狀發生改變時便伴隨有能量的變化，此種能量變化統稱為「位能」。 10/71 結束七－２力學能 位能（２）例子 ①物體高度不同所對應的能量稱為「重力位能」； ②彈簧形變時所對應的能量稱為「彈力位能」； ③帶電體分佈不同所對應的能量稱為「電位能」。 11/71 結束七－２力學能 位能（３）特性 ①位能屬於所有參與作用的物體所共有； ②位能的變化量才有實質意義； ③物理系統的自然趨勢是朝位能最小的狀態演變，當位能無法再改變時系統便達到平衡狀態。 12/71 結束七－２力學能 重力位能（１）意義：物體間由於有重力作用，當其距離改變時便伴隨能量的增減，此能量以「重力位能」來表示。 ①重力位能是屬於整個系統的能量，而非單獨屬於某一物體所有；蘋果的重力位能是指蘋果和地球共有的重力位能，沒有地球的存在就沒有此位能。 ②一物體的重力位能（相對於地球而言）是其位置的函數。若重力作負功，則物體的位置上升，物體的重力位能增加；若重力作正功，則物體的位置下降，物體的重力位能減少。 13/71 結束七－２力學能 重力位能（２）地表附近（均勻重力場）的重力位能 Ug(0)=C  Ug(h)=W(0h)=C+Fh =C+mgh ①施力將物體從高度a移至高度b所需做的功為 W(ab)=Ug(b)-Ug(a)=mg(b-a)  重力位能的大小只和起點與終點的位置有關，和運動路徑無關，也和C值（零位面的選擇）無關。 14/71 結束七－２力學能 重力位能（２）地表附近的重力位能（續） ②重力位能的絕對大小無實質意義，其差值才有實際作用；我們可以選擇任意高度當作零位面，但是選定後就不可再變更； ③「等位面」是由重力位能相等的所 F 有點集合而成的假想面，等位面的法線方向就是重力的方向。 ④範例：若一自由落體自高h處掉至地面，則  重力對自由落體所做的功變成自由落體的動能 15/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能  常數C和零位面的選擇有關，通常選擇兩物體相距無窮遠處的重力位能為零，即 Ug()≡0  C=0 16/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ①簡易推導：將質量m的物體等速從距離質量M的星球r處推至R處，分成n個步驟，每次移動Dr=(Rr)/n（r=r0、 R=rn，rk=r+kDr），則第k步做功  17/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ②星球的重力位能  18/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ③星球表面（地表附近）的重力位能  重新定義零位面Ug(R)=0使得上式中的定值為零，則地表附近的重力位能可以表示成Ug(h)=mgh。 19/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ④球狀物體的等位面：球狀物體的重力場具有球對稱的特性，因此其等位面為以物體球心為中心的同心球面。物體從等位面A移動至等位面B所需的能量是固定的，和路徑（a、b或c）或起點、終點的位置無關。 20/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ⑤圓軌道人造衛星之力學能：定無限遠處為零位面   圓：  21/71 第一宇宙速率（繞地球做圓周運動的最小速率）結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ⑥脫離能Ee：物體自星球表面脫離星球引力所需的最少能量 U(R)+Ee=0    第二宇宙速率（脫離地球跑到無窮遠） 22/71 結束七－２力學能 重力位能（３）一般化的重力位能（續） ⑦束縛能Eb：使物體從公轉軌道脫離星球引力所需的最少能量 E(r)+Eb=0   第三宇宙速率（脫離太陽跑到無窮遠） 23/71 結束七－２力學能 彈力位能（１）意義：在物體形狀改變（伸縮、彎曲或扭轉）的過程中會造成能量的增減，此種能量變化以「彈力位能」的形式來表示，此時物體欲恢復原形的力量稱為「恢復力」。 24/71 結束七－２力學能 彈力位能（２）特性：彈力位能是形變量的函數。恢復力作負功時形變量增加、彈力位能增加，恢復力作正功時形變量減少、彈力位能減少。 25/71 結束七－２力學能 彈力位能（３）公式：當彈力係數k的彈簧從原長（自然長度）L0伸長或壓縮x時（末長度為L=L0±x），其儲存的彈力位能為（面積法）或（積分法） ①參考動畫：鉛直S.H.M. 26/71 結束七－２力學能 彈力位能（４）零位面：固定將原長的彈力位能當作零位面，彈簧的伸長量或壓縮量都是和原長比較的結果。（５）與路徑無關：施力將彈簧從形變量 x1 拉（或壓）至形變量x2所需做的功為  27/71 功的大小只和起點與終點的形變量有關，和施力過程無關。結束七－３力學能守恆 保守力與非保守力（１）保守力的意義：力所做的功僅和起點與終點有關，和所經歷的路徑無關。 ①例子：重力、彈力、庫倫靜電力......等。 ②特性：若運動路徑為一封閉的迴路，則保守力所做的功為零。 W(acb)=W(adb)  W(acbda) =W(acb)+W(bda) =W(acb)-W(adb) =0  保守力所做的功可以用「位能」表示 28/71 結束七－３力學能守恆 保守力與非保守力（２）非保守力的意義：不屬於保守力的作用力均稱為「非保守力」。 ①例子：摩擦力、空氣阻力......。 ②特性：非保守力對物體做負功時物體的力學能減少，非保守力對物體做正功時物體的力學能增加。（３）比較 ①保守力所做的功可以用位能表示，非保守力則否； ②非保守力對物體所做的功和路徑有關，保守力則否。（４）參考動畫：滑板競技場 29/71 結束七－３力學能守恆 保守力與力學能守恆（１）內容：根據功能原理 W合外力=DK  若F非=0（W非=0）  定W保-DU=U初-U末  30/71 W保+W非=K末-K初 W保=K末-K初 U初-U末=K末-K初  U初+K初=U末+K末=U任意+K任意=定值  力學能守恆定律：若系統只受保守力作用，則其力學能在運動過程中會保持定值，此定值只和初力學能（初動能+初位能）有關，和運動路徑無關。結束七－３力學能守恆 保守力與力學能守恆（２）特性：保守力做正功時系統位能減少、動能增加，保守力做負功時系統位能增加、動能減少。（３）力學能的變化量=非保守力所作的功 F合力=F保守力+F非保守力 31/71  W合力=W保守力+W非保守力  DK=-DU+W非保守力  W非保守力=DK+DU=(K末+U末)-(K初+U初) =E末-E初=DE 結束七－３力學能守恆 重力作用下的力學能守恆：動能+重力位能=定值（１）拋體 vy22=vy12-2g(y2-y1)    拋體在運動過程中任何時刻的力學能保持定值，上升過程重力位能增加、動能減少，下降過程重力位能減少、動能增加。 32/71 結束七－３力學能守恆 重力作用下的力學能守恆：（２）鉛直面的圓周運動 ①重力位能（鉛直高度）會改變，故動能（切線速率）和向心力也會改變，即鉛直面的圓周運動是變速率及變加速度運動。 ②選擇軌道中心點為零位面： 33/71 結束七－３力學能守恆 重力作用下的力學能守恆：（２）鉛直面的圓周運動（續） ③最低點的速率不能太小，否則無法到達頂點。 F頂=mg+N頂mg    34/71 結束七－３力學能守恆 重力作用下的力學能守恆：（３）其它：單擺、雲霄飛車1（2）、拆除鐵球 35/71 結束七－３力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆動能+彈力位能+重力位能=定值（１）水平彈簧的S.H.M.（動畫示範）：動能+彈力位能=定值（重力位能固定） ①起始（端點）狀態：速率為0、形變量最大(x=x0) ②平衡點狀態：形變量為0、速率最大(v=v0)  36/71 結束七－３力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆（１）水平彈簧的S.H.M.（續） ③任意點狀態：形變量為x、速率為v   v-x關係圖和p-x關係圖（相圖）均為橢圓，不同的起始能量對應不同的橢圓。 37/71 結束七－３力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆（２）鉛直彈簧的S.H.M. ①平衡點的伸長量為x0： mg=kx0

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