Transcript Открыть

Тема: Предел функции. Свойства пределов
1. Предел функции
Пусть f(x) – функция, определенная на множестве Х;
А и а –числа.
Опр. Число А называется пределом функции f(x) при
xa, если >0  такая -окрестность точки а U(a),
что | f(x) -A|< x U(a).
Эквивалентные формы записи:
lim f ( x )  A или f(x) А при xa.
x a
Опр. lim f ( x )  A , если  >0  =():
x 
| f(x) -A|< |x|>  .
1
Замечания:
1. Функция может быть меньше своего
2
предела.
x
lim
x 
x 1
2
1
2. Функция может быть больше своего
предела.
2
lim x  0
x 0
3. Функция может колебаться вокруг своего
предела.
1
)0
lim ( x sin
x 0
x
2
Бесконечно малые и бесконечно большие
функции (БМФ и ББФ)
Опр. Функция f(x) называется бесконечно
малой при xa, если >0  U(a), что
|f(x)|< при x U(a) или lim f ( x )  0.
x a
Опр. Функция f(x) называется бесконечно
большой при xa, если >0  U(a), что
f ( x)  .
|f(x)|> при x U(a) или lim
x a
3
Лемма (связь БМФ и ББФ) .
1
1. Е сли lim f ( x )   , то lim
x a
x a
 0.
f (x)
2. Е сли lim f ( x )  0 ( f ( x )  0), то lim
x a
xa
x a
1
 .
f (x)
Теорема (свойства БМФ).
1. Алгебраическая сумма (+ и -) конечного
числа б.м. функций при xa есть б.м. функция
при xa.
2. Произведение б.м. функций при xa есть
б.м. функция при xa.
4
2. Свойства пределов
Теорема 1. Число A является пределом функции
f(x) при xa, тогда и только тогда, когда функция
f(x)-A является бесконечно малой:
(lim f ( x )  A )
x a

lim ( f ( x )  A )  0.
x a
Теорема 2. Предел постоянной функции f(x)C
при xa равен самой постоянной:
lim C  C .
x a
5
Свойства пределов (продолжение)
Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебр. суммы
конечного числа функций имеет предел при xa, то
предел этой суммы  при xa и равен сумме
пределов слагаемых:
lim[ f ( x )  g ( x )  h ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x )  lim h ( x ).
x a
x a
x a
x a
Теорема 4. Если каждый из сомножителей
произведения конечного числа функций имеет предел
при xa, то предел произведения  при xa и равен
произведению пределов сомножителей:
lim[ f ( x )  g ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x ).
x a
x a
x a
6
Свойства пределов (продолжение)
Теорема 5. Предел частного равен частному
пределов:
lim f ( x )
lim
x a
f (x)

g(x)
x a
lim g ( x )
( п ри lim g ( x )  0 ).
x a
x a
Теорема 6. Если функция f(x) имеет предел при
xa и n f ( x ) ( n  N )  в точке а , тогда
lim
x a
n
f ( x) 
n
lim f ( x ) .
x a
Теорема 7. Если f(x) – элементарная («школьная»)
функция и число a принадлежит ее области
определения, то предел вычисляется прямой
подстановкой:
lim f ( x )  f ( a ).
x a
7
Следствия
Следствие 1. Постоянный множитель можно
выносить за знак предела:
lim[ c  f ( x )]  c  lim f ( x ).
x a
x a
Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при
xa, то предел при xa целой положительной
степени n ее равен такой же степени предела этой
функции:
lim[ f ( x )]  [lim f ( x )] .
n
x a
n
x a
8
Следствия (продолжение)
Следствие 3. Если функция f(x) имеет предел
при xa, отличный от 0, то предел при xa
обратной ей по величине функции равен
обратной величине предела данной функции:
lim
x a
1
f ( x)
1

.
lim f ( x )
x a
9
3. «Замечательные» пределы
Замечание. Не всякая функция имеет предел (даже
ограниченная).
 f ( x )  sin x
Пример:


| sin x | 1, н о lim sin x н е .
x 
Теорема 1. (1-й замечательный предел)
sin x
lim
 1.
x 0
x
Теорема 2. (2-й замечательный предел)
1 x
lim (1  )  e ( e  2.718)
x 
x
1
или lim (1  y )  e .
y
y0
10
4. Раскрытие неопределенностей
Опр. Случаи, в которых подстановка предельного
значения в функцию не дает значения предела,
называют неопределенностями.
Они бывают следующих типов:
  0

,
,      ,1 .
  0
   
Устранить неопределенности часто удается с
помощью алгебраических преобразований.
11
1-й тип




.


В числителе и знаменателе сложные степенные или
показательные функции.
Для степенных функций – вынести за скобку в
числителе и знаменателе дроби х с наибольшим
показателем степени среди всех слагаемых дроби;
для показательных функций – за скобку выносится
наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех
слагаемых дроби. После сокращения дроби
неопределенность устраняется.
3 2
x
lim
x  
1 3
x
x
3 (1  (2 / 3) )
x
 lim
x  
x
3 ((1 / 3)  1)
x
x
 lim
x  
1  (2 / 3)
x
(1 / 3)  1
x

1 0
0 1
  1.
12
2-й тип
0
0 .
 
а) многочлены
Необходимо разложить на множители и числитель,
и знаменатель дроби, исходя из того, что, если a –
корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-a).
Часто
помогают
«формулы
сокращенного
умножения».
После сокращения дроби неопределенность
устраняется.
2
x 9
( x  3)( x  3)
lim 2
 lim

x   3 x  7 x  12
x   3 ( x  4)( x  3)
lim
x 3
( x  3)
( x  4)

6
1
  6.
13
0
0 .
 
2-й тип
б) тригонометрические
Необходимо упростить выражение, чтобы свести к
1-му замечательному пределу
x  y
2
cos 2 x  1
2
lim
x 0
3x
4

 2 sin y
2
y 0
 lim
1  cos 2   2 sin 
2
y0
3y
2

2
 sin y 
2
  lim 
 .

3 y0  y 
3
2
14
3-й тип      .
Если функция представляет собой алгебраическую
сумму дробей, то неопределенность устраняется или
приводится ко 2-му типу после приведения дробей к
общему знаменателю.
Если функция представляет собой алгебраическую
сумму иррациональных выражений (корней), то
неопределенность устраняется или приводится к 1-му
типу путем домножения и деления функции на одно и
то же (сопряженное) выражение, приводящее к
формулам сокращенного умножения.


1
4
x  2  4


lim 
 2

lim


 
x 2
x

2
x  4
 x  2
 ( x  2 )( x  2 ) 


x  2
1
1
lim 

lim

.

x 2
x

2
x  2
4
 ( x  2 )( x  2 ) 
15
lim
x 


 lim 
x 

 ( x  2  x )( x  2 
x  lim 
x 
x2  x


x2 
4
x2 
x)



  0.
x 

4-й тип 1  .
Сводить ко 2-му замечательному пределу
2x  y
5
1
lim  1  2 x  x 
y  0
x 0
5
x


  lim  1  y  y 
 y0

1

1
 lim  1  y  y
y0
1 0

10
y
10
 e
10
.
16