Transcript AR(2)

第二章
自回归模型
本章结构





推移算子和常系数差分方程
自回归模型及其平稳性
AR( p) 序列的谱密度和Yule-Walker方程
平稳序列的偏相关系数和Levinson递推
公式
AR( p) 序列举例
§2.1推移算子和常系数差分方程

推移算子
推移算子
推移算子的性质
常系数齐次线性差分方程
齐次线性差分方程的解
差分方程基础解
齐次线性差分方程的通解
通解的收敛性
通解不收敛情形例
非齐次线性差分方程及其通解
§2.2 自回归模型及其平稳性
单摆的120个观测值(a=-0.35)：
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
80
100
120
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
单摆的10000个观测值(a=1)：
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
3
x 10
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
20
40
60
80
100
120
（2.1)平稳解
概念

（*）成立吗？
定理2.1的证明
Wold系数的递推公式
通解与平稳解的关系
AR序列的模拟
AR(p)模拟
模拟AR（4）序列
y=zeros(1,200);
for i=5:200
epsilon=randn;
y(i)=0.35*y(i-1)+0.23*y(i-2)-0.15*y(i3)+0.06*y(i-4)+epsilon;
end
t=1:80;
plot(t,y(t+80))
多项式与根
p=[-0.06,0.15,-0.23,-0.35,1]
p=
-0.0600 0.1500 -0.2300 -0.3500
r=roots(p)
r=
-1.5854
1.2047 + 2.1957i
1.2047 - 2.1957i
1.6761
p=ploy(r);
1.0000
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
SAS软件模拟AR(p)模拟














例1 title '模拟AR(2)模型' ;
data a;
x1=0;
x2=0;
do i=-50 to 300;
x=1.8*x1-0.8*x2+rannor(32565);
if i>0 then output;
x2=x1;
x1=x;
end;
run;
proc arima data=a;
identify var=x ;
run;
§2.3
AR( p) 序列的谱密度
Yule-Walker方程
自协方差的收敛性
自协方差的正定性
时间序列的完全可预测性
谱密度的自协方差函数反演公式
定理3.1的证明
白噪声列与平稳解的关系
Yule-Walker方程
自协方差函数的周期性分析
A( z )   j 1 (1  z / z j )
p
A( z )   j 1
1

p
cj
1 z / z j
 t  A ()  t  
1

2

2

2

2

2
2
2

p
j 1
l l
c
z
 j 1 j l 0 j   t
p




p
j 1
p
j 1

c j l  0 z   t  l

l
j
c j l  t z  l  t

l
j
l  t t
c

z
zj
j 1 j l t l  t j
p

1
1
t
c
A
(
z
)
z
j
j
j 1 j
p
1
c j (1  z )  t
1
j
例 3.1
AR(4)模型1的谱密度
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
AR(4)模型2的谱密度
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
AR(4)模型3的谱密度
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Sample Autocorrelation Function (ACF)
1
0.8
Sample Autocorrelation
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
自协方差函数的正定性
引理
引理的证明
定理3.5的证明
线性平稳序列的自协方差函数的
正定性
随机变量的线性相关性和线性预
测
平稳序列的完全可预测性
§2.4 平稳序列的偏相关系数和
Levinson递推公式




最优线性预测
最小相位性
Levinson递推公式
偏相关系数
最优线性预测
最优线性估计公式(1)
最优线性估计公式(2)
平稳序列的最优线性预测(1)
平稳序列的最优线性预测(2)
Yule-Walker系数的最小相位性(1)
Yule-Walker系数的最小相位性(2)
Levinson递推公式
Levinson公式的记忆方法
偏相关系数
AR序列的偏相关系数
AR序列的充分必要条件
定理4.3的证明(1)
定理4.3的证明(2)
定理4.3的证明(3)
定理4.3的证明(4)
本节内容的应用意义
§举例
例 5.1
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
20
40
60
80
100
120
Sample Autocorrelation Function (ACF)
Sample Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
20
40
60
80
100
120
Sample Autocorrelation Function (ACF)
1
0.8
Sample Autocorrelation
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
例 5.2 AR(2)序列

AR(2)序列的稳定性
例5.2 AR(2)序列
AR(2)序列的自相关系数与偏相关系数
AR(2)的稳定域和允许域
AR(2)的谱密度
AR(2)序列实特征根时的表现
自相关函数和谱密度函数
AR（2）序列
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
自相关函数图
Sample Autocorrelation Function (ACF)
1
0.8
Sample Autocorrelation
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
谱密度图
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
AR(2)序列虚根时的表现
自相关函数和谱密度函数
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Sample Autocorrelation Function (ACF)
1
0.8
Sample Autocorrelation
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
Lag
12
14
16
18
20
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5