Transcript Ch. 13A

實驗設計與變異數分析
Part A (13.1-13.3)
 13.1
 13.2
 13.3
 13.4
 13.5
實驗設計與變異數分析介紹
變異數分析與完全隨機設計
多重比較程序
隨機區集設計
因子實驗
第13章 實驗設計與變異數分析 第483-517頁
2
 統計研究可分為實驗型或觀察型兩類。
(experimental statistical
study) 中，我們先界定感興趣之變數，而後控制
研究中另一個或更多個其他因素，即可獲得這些
因素如何影響欲探討變數之資料。
 在觀察型的研究 (observational study) 的研究中，
我們不需控制實驗，而是從實地訪查(survey)中
取得資料。
 在觀察型的研究中，要建立因果關係是有困難的。
實驗型研究則較為容易。
 在實驗型統計研究
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第484-485頁
3





因素(factor)是一個調查研究中可被實驗者選擇的變數。
處理(treatment)是每一因素的對應方式。
實驗單位(experimental units)是實驗中感興趣的主題。
完全隨機設計(completely randomized design)是指處理
被隨機指派的一種實驗設計。
當實驗單位的性質相類似時，可以使用完全隨機的設計。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
4
 Chemitech
公司發展出一套新的自來水過濾系統
。過濾系統之零件必須向數個供應商購買，
Chemitech 公司將在位於南卡羅來納州哥倫比亞
市的工廠組裝這些零件。工業工程部門須負責決
定此套新過濾系統的最佳組裝方法。在考慮很多
可行的組裝方法後，工業工程部門選出三種較佳
的方法：方法 A、方法 B 及方法 C。這些方法在
組裝產品的先後次序上有所差異。Chemitech 公
司的經理希望知道何種組裝方法可在一星期內生
產最多的過濾系統。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
5
Chemitech 公司的實驗中，組裝方法被視為是
一個變數或因素 (factor)，因為此因素包含三種組
裝方法，我們稱此實驗有三個處理 (treatment)，
每一個處理對應一種組裝方法。
 Chemitech 公司之問題是有關類別因素
(catogorial factor) (組裝方法) 的單因素實驗
(single-factor experiment) 的實例。其他實驗可
能包含多個因素，其中有些是類別因素，有些則
是定量因素。
在
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
6
(或處理) 定義了此次 Chemitech
實驗中的三個研究母體。第一個母體是使用方法
A 的所有員工、第二個母體為使用方法 B 的所有
員工、第三個母體則為使用方法 C 的所有員工。
對每一個母體而言，應變數或反應變數(response
variable)為每星期組裝的過濾系統數目。而此次
實驗的統計目的則是決定三個母體(方法)每星期之
平均產量是否相等。
 這三種組裝方法
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
7
Chemitech 公司的所有裝配工人中，
任意選取 3 名員工組成一組隨機樣本，稱為實驗
單位 (experimental units)。
 在 Chemitech 公司之問題中，使用的實驗設計稱
為完全隨機設計 (completely randomized
design)。此種設計方式要求 3 個實驗單位 (即裝
配工人) 均被隨機指派一種組裝方法 (或處理)。
 例如，第二個工人被指定以方法 A 組裝，第一個
工人被指定方法 B，第三個工人則採用方法 C。
此例子中的隨機化 (randomization) 概念是所有
實驗設計的重要原則。
 假設我們從
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
8
 值得注意的是，在這個實驗中，一個處理將只含
一個測量值 (即組裝的產品數量)。為了獲得更多
資料，我們必須重複上述實驗程序。例如，我們
不要一次只隨機選取 3 名員工，而改為選取 15 名
員工，然後各隨機指派 5 名員工採用某種組裝方
式。既然每種組裝方式都有 5 名員工，我們即可
說：重複 5 次實驗。這種重複的過程為實驗設計
的另一重要原則。
 圖 13.1 說明此次 Chemitech 實驗的完全隨機設
計。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第485頁
9
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第486頁 圖13.1
10
Chemitech 公司之例子中，我們須先指導員工
如何執行所被指派的組裝方法，而後令其使用此
種組裝方法開始組裝新的過濾系統。表 13.1 即每
名員工在1週內組裝的數量、三種組裝方式所生產
的產品數量的樣本平均數、樣本變異數與樣本標
準差，其中使用方法A的樣本平均數為62，方法B
為66，方法C為52。
 就上述資料而言，方法 B 的生產率似乎高於其他
兩種方式。
在
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第86頁
11
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.1) 第486頁 表13.1
12


真正的問題是，這三個樣本平均數之差異是否大到可以使
我們下結論，即三種組裝方式之產量不同。為以統計名詞
表達此問題，我們先介紹下列符號。
μ1＝方法 A 平均每星期產量
μ2＝方法 B 平均每星期產量
μ3＝方法 C 平均每星期產量
雖然我們不可能知道 μ1、μ2 及 μ3真正的值，但我們可使用
樣本平均數檢定下列的假設。
H0：μ1＝ μ2＝μ3
Ha：所有母體平均數不全相等
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第486-487頁
13
變異數分析(ANOVA)能用來分析得自觀察型研究的資
料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。
在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果
時，ANOVA扮演重要角色。
我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定：
H0: 1 = 2 = 3 = .
. .=
k
Ha: 所有母體平均不全相等
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第474-475.487頁
14
H0: 1 = 2 = 3 = . . . = k
Ha: 所有母體平均不全相等
如果拒絕 H0 ，我們不能下結論說所有的母體平均數
都不相等。
拒絕 H0 意指至少有兩個母體平均數不相等。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第487頁
15
1. 每個母體之反應變數均呈常態分配。
2. 所有母體反應變數的變異數 σ2均相等。
3. 由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第487頁
16
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第488頁 圖13.2
17
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第488頁 圖13.3
18
 每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析之
結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時，每
一組的樣本變異數均應為共同變異數σ2 的不偏估
計值。因此，我們將結合共同變異數σ2 的每個個
別估計值，成為一個總樣本估計值。以此方式獲
得的母體變異數σ2 的估計值稱為σ2 之混合或處理
內估計值 (pooled or within-treatments
estimate)。
 由於σ2 之處理內估計值乃每組樣本組內變異所計
算而得之樣本變異數，故不受母體平均數是否相
等之影響。當樣本大小相等時，σ2 之處理內估計
值可由計算各個樣本變異數之平均數而得。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第488-489頁
19
在
Chemitech公司的例子中，我們可得
 之處理內估計值 =
2
27.5+26.5+31.0
=
3
85
=28.33
3
 σ2 的處理間估計值
(260) 遠大於處理內估計值
(28.33)，事實上，這兩個估計值之比為
260/28.33＝9.18。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第489頁
20
 只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為σ2
的
一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理間估計
值將高估σ2 。但處理內估計值則不論在何種情況
下，均為共同母體變異數σ2 的良好估計值。因此，
若虛無假設為真，此兩個估計值應極為接近，它
們的比也應接近 1；如果虛無假設為偽，處理間估
計值應大於處理內估計值，且它們的比應該較大。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第489頁
21
 ANOVA
背後的邏輯乃基於共同母體變異數σ2 的
兩種獨立估計方式發展而成。一種σ2 的估計方式
係基於各種樣本平均數間之差異計算而得，另一
種方式則由每組樣本的組內變異數計算而得。藉
由比較上述兩個σ2 的估計值，我們將可決定母體
平均數是否相等。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第489頁
22
 變異數分析可以用來檢定
k 個母體平均數是否相
等。
 其假設檢定之一般形式為
H0: 1 = 2 = 3 = . . . = k
Ha: 所有母體平均數不全相等
其中
j = 第 j 個母體平均數
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第489頁
23
 樣本資料
xij = 第 j 個處理的第 i 個觀察值
n j = 第 j 個處理的觀察值個數
x j= 第 j 個處理的樣本平均數
sj =
sj=
2
第 j 個處理的樣本變異數
第 j 個處理的樣本標準差
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第490頁
24
第
j 個處理的樣本平均數公式：
nj
xj 
第

x ij
i 1
nj
j 個處理的樣本變異數公式：
nj
sj 
2

( x ij  x j )
2
i 1
nj 1
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第490頁
25
 總樣本平均數
k
nj
x
x 
ij
j 1 i 1
nT
其中
nT = n1 + n2 +. . . + nk
 如果每組樣本數均為 n，則 n ＝ kn
k
nj
x
x 
j 1 i 1
kn
k
nj
x
ij

j 1 i 1
k
ij
x
/n

j
j 1
k
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第490頁
k
26
 在Chemitech公司的例子中，每個樣本數均為
5。
使用表 13.1 的資料，我們可以得到下列結果
x 
62  66  52
 60
3
如果虛無假設為真 (1 = 2 = 3 = )，總樣本平均
數 60 即為母體平均數 μ 的最佳估計值。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第490頁
27
(sum of squares due to
treatments)，記做SSTR。
 處理間平方和
k
SSTR 

n j(x j  x )
2
j 1
(mean square due to treatments)，
記作MSTR。
 處理間均方
k

M STR 
n j (x j  x )
2
j 1
k 1
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第491頁
28

2 的處理間估計值，稱為處理間均方 (mean square due to
treatments)，記作 MSTR，計算 MSTR 的公式如下：
k
 n j (x j  x )
MSTR 
k－ 1 為
SSTR 的自由度
2
j 1
k1
處理間平方和(sum of
squares between treatments
或sum of squares due to
treatments)，記作 SSTR
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第491頁
29



若 H0 為真，則 MSTR 為 σ2 的不偏估計值。
當 k 個母體平均數不相等時，MSTR 將不再是 σ2 的不偏估
計值。事實上，此時 MSTR 將高估 σ2 。
由表 13.1 Chemitech公司的資料，我們可得到下列的結
果。
k
SSTR 

n j ( x j  x )  5(62  60)  5(66  60)  5(52  60)  520
2
2
2
2
j 1
M STR 
SSTR
k 1

520
 260
5
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第491頁
30
 誤差平方和
(sum of squares due to error)，記
作SSE。
k
SSE 

( n j  1) s j
2
j 1
 誤差均方
(mean square due to error)，記作MSE。
k

M SE 
( n j  1) s j
2
j 1
nT  k
分母 nT－k 為
SSTR的自由度
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第491頁
31


MSE 來自於每個處理內的差異，它不會受虛無假設是否為
真的影響。因此，MSE 恆為 σ2 的一不偏估計值。
由表 13.1 Chemitech 公司的資料，我們可以得到下列的
結果。
k
SSE 

( n j  1) s j  (5  1)27.5  (5  1)26.5  (5  1)31  340
2
j 1
M SE 
SSE
nT  k

340
15  3

340
 28.33
12
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第491-492頁
32
ANOVA 之假設均成立，
MSTR/MSE 的抽樣分配將會服從分子自由度為
k－1，分母自由度為nT－k 的 F 分配。換言之，
若虛無假設為真，MSTR/MSE 的值會是從此F 分
配抽樣而得的結果。
 若虛無假設為假，則因MSTR高估σ2，MSTR/MSE
的值將提高。
 因此，當MSTR/MSE 的值太大，使其不似來自分
子自由度為 k－1，分母自由度為nT－k 的 F 分配
時，我們將拒絕H0。
 若虛無假設為真且
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第492頁
33

假設檢定
H0: 1 = 2 = . . . = k
Ha: 所有母體平均數不全相等

檢定統計量
F = MSTR/MSE
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第493頁
34

拒絕法則
若 p 值 ≤ α，則拒絕 H0
p 值法：
絕對值法：
若 F ≥ Fα，則拒絕 H0
其中 F 值係由分子自由度 k - 1 ，分母自由度
nT – k 之 F 分配查表而得。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第493頁
35
 若使用顯著水準
α ＝0.05來進行假設檢定，則檢
定統計量的值
F=
M STR
M SE

260
 9.18
28.33
其分子自由度為 k－1＝3－1＝2，分母自由度為
nT－k＝15－3＝12。由於我們只在檢定統計量的
值夠大時，才會拒絕虛無假設，因此 p 值為 F 分
配在檢定統計量 F＝9.18 的右尾區域的面積值。
 圖13.4為 F＝MSTR/MSE 的抽樣分配、檢定統計
量的值及此假設檢定右尾區域的 p 值。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第492頁
36



查附錄 B 的表 4，分子自由度為 2，分母自由度為 12的 F
分配，其右尾區域的範圍如下。
由於 F＝9.18 大於 6.93，因此 F＝9.18的右尾區域會小於
0.01，亦即 p 值小於 0.01。因為 p 值 ≤ α＝0.05，所以拒
絕 H0。
此檢定提供了充分的證據顯示三個母體平均數不相等。換
言之，變異數分析支持 Chemitech 公司三家工廠的平均
測驗成績不全相等之結論。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第492-493頁
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 我們也可以使用臨界值法進行此假設檢定的程序。
假設 α＝0.05，在自由度為 2 與 12 的 F 分配，其
右尾區域的面積為 0.05 處，可找到臨界 F 值，查
F 分配表，可得 F0.05＝3.89。因此，Chemitech
公司的例子其右尾拒絕法則為
若 F ≥ 3.89，則拒絕 H0
由於 F＝9.18，因此拒絕 H0，結論為三個母體的
平均數不全相等。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第493頁
38
變異數
處理
誤差
總和
平方和
自由度
均方
F
SSTR
SSE
SST
k–1
nT – k
nT - 1
MSTR
MSE
MSTR/MSE
SST 可以分解為
SSTR 與 SSE
p值
SST 的自由度可分解為
SSTR 的自由度與
SSE 的自由度
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3)
39
SST 可分解為兩個平方和：處理間平方和與誤差平
方和。SST 之自由度nT－1亦可分解為 SSTR 之自由
度 k－1 與 SSE 之自由度 nT－k。
若將所有觀察值視為同一組樣本，則總平方和 SST
之計算公式為
k
SST 
nj
  ( x ij  x )  SSTR  SSE
2
j 1 i 1
第13章 實驗設計變異數分析與實驗設計 Part A (13.1-13.3) 第494頁
40
我們可將變異數分析視為分割(partitioning)總平方和
與自由度為兩種不同來源：處理與誤差的一個過程。
將平方和除以相對應之自由度即為變異數之估計值。
由此得到的 F 值與 p 值可用以檢定母體平均數是否相
等之假設。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第494頁
41
表
13.3 即為 Chemitech 公司之變異數分析表。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第494頁 表13.3
42
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第496頁 圖13.5
43


假設變異數分析已提供拒絕母體平均數相等之虛
無假設的統計證據。
費雪最低顯著差異 (least significant difference,
LSD) 程序可用以決定哪些母體平均數間存在差異。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第500頁
44
 假設檢定
H 0 : i   j
H a : i   j
 檢定統計量
t
xi  x j
MSE( 1
ni
 1
nj
)
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第500-501頁
45
 拒絕法則
p 值法：
若 p 值 ≤ α，則拒絕 H0
絕對值法： 若 t ≤ -tα/2 或 t ≥ tα/2，則拒絕 H0
其中 tα/2 值係查自由度為 nT – k 之 t 分配表而得。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第501-502頁
46



利用費雪 LSD 程序檢定在α＝0.05的顯著水準下，母體1
(方法A) 與母體 2 (方法B) 之平均數間是否存在顯著差異。
由表 13.1 得知，方法A之樣本平均數是 62，方法B之樣本
平均數為 66。
表 13.3 則顯示母體變異數之估計值，即 MSE，為 28.33，
其為 σ2之估計值且對應之自由度為 12。根據 Chemitech
公司的資料，檢定統計量的值為
t 
62  66
  1.19
1 1
28.33   
5 5
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第501頁
47



查附錄B的表2可知，自由度12的t分配表如下所示：
t分配表只有正的 t 值，但 t 分配是左右對稱，我們可以找 t
＝1.19 右尾的面積，此面積的2倍即是 t＝－1.19 對應的 p
值。當 t＝1.19，其面積介於 0.20 與 0.10 之間，將之乘以
2，可知 p 值一定介於 0.40 與 0.20 之間。
利用 Minitab 或 Excel 可以算出 p 值為0.2571。由於 p 值
大於 α ＝0.05，我們不能拒絕虛無假設，因此，我們不能
下結論為方法 A 母體的每週平均產量與方法 B 母體的每週
平均產量不相等。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第501頁
48
xi  x j
 檢定統計量
H 0 : i   j
H a : i   j
 假設檢定
xi  x j
 拒絕法則
若 x i  x j > LSD，拒絕 H0
其中
LSD  t /2 MSE(
1
ni

1
nj
)
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第501-502頁
49
就
Chemitech 公司之例子而言，LSD 之值為
1 1
LS D  2.179 28.33     7.34
5 5
當樣本大小均相同時，我們只需計算一個 LSD 值。
在此情況下，我們僅需將兩樣本平均數之差異值
與 LSD 值進行比較。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第502頁
50
1 (方法A) 與母體 3 (方法C) 之平均數
差為 62－52＝10。由於此值大於 LSD =7.34，我
們可以拒絕方法A與方法C之母體每週平均產量相
等之假設。同樣地，由於母體 2 與母體 3 的樣本
平均數差為 66－52＝14 >7.34，我們也拒絕方法
B與方法C之母體平均數相等之假設。事實上，我
們的結論是方法A 、方法B與方法C存在差異。
 例如，母體
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第502頁
51

使用費雪 LSD 程序估計兩母體平均數差之信賴區間
x i - x j  L SD
其中
L S D  t  /2

M S E(
1
ni

1
nj
)
ta/2 係查自由度為 nT – k 之 t 分配表而得。
信賴區間包含「0」在內，我們將無法拒絕兩母體平均數
相等之假設。當信賴區間不含「0」時，我們可得到兩母
體平均數確實存在差異之結論。
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第502頁
52
公司的例子中，LSD＝7.34 (對應
t0.025＝2.179)。
 因此，母體 1、母體 2 之平均數差的 95% 信賴區
間估計值為：62－66 ± 7.34＝－4 ± 7.34＝
－11.34到 3.34。
 由於此一信賴區間包含 0，故無法拒絕此兩母體平
均數相等之假設。
 在Chemitech
第13章 實驗設計與變異數分析 Part A (13.1-13.3) 第502頁
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I 誤差率 (comparisonwise Type I
error rate) 即是進行單一的一對母體平均數比較
時的顯著水準。
 實驗的型 I 誤差率 (experimentwise Type I error
rate) 表示為αEW。
 比較的型
aEW = 1 – (1 – a)(k – 1)!
 當檢定問題所牽涉之母體數愈多時，實驗的型
I
誤差率將愈大。
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