Transcript 第三章1

第三章 刚体力学
Dynamics of a Rigid Body
内容： · 刚体运动学
· 刚体运动的动力学方程
· 刚体的平面平行运动
· 刚体的定点转动
重点： · 刚体上任一点的速度和加速度
· 刚体运动的动力学方程
难点： · 惯量张量
· 定点转动
1
第三章
刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点
系，是一个理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理
论。
（一）刚体运动学
一个包含有n个质点的质点系的自由度为3n。对于刚体这
个特殊的质点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的
位置确定了，刚体的位置也就确定了，因此，刚体运动时能
独立变化的坐标变量即自由度为6（为什么？）。若刚体运动
时受到某些约束，自由度小于6。
§1刚体 刚体的平动和转动
一、刚体的自由度
在一定约束条件下，确定一个力学系统的位置所需要的独立变量
的个数，称为该系统的自由度。
2
第三章
由n个质点组成的刚体，似乎需要3n个独立变量？
确定刚体的位置，只需确定不在一直线上的三个点的位置即可。
设M1、M2、M3是刚体上三个不共线的点，它们
对固定坐标系应有9个坐标：
x1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 x 3 , y 3 , z 3
M
2
由于这三点的距离保持不变，则
M 1M 2 
( x1  x 2 ) （ y1 - y 2 )  (z 1 - z 2 )
2
M 2M 3 
( x 3  x 2 ) （ y 3 - y 2 )  (z 3 - z 2 )
2
M 1M 3 
( x1  x 3 ) （ y 1 - y 3 )  (z 1 - z 3 )
2
2
2
2
2
2
M3
M
1
2
因此，自由刚体的独立变量个数或自由度为9-3=6
3
第三章
二、刚体的两类基本运动：平动和转动
1.刚体的平动
4
第三章
定理
刚体平动时，体内各点的运动轨迹形状均相同，且在
同一瞬时体内各点的速度和加速度均相同。
结论:
刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理。
5
第三章
刚体在运动过程中，体内任意一直线始终与其原来位置
保持平行，则称刚体作平行移动，简称平动。


直线平动——平动刚体内各点的轨迹为直线
曲线平动——平动刚体内各点的轨迹为曲线
A
B
6
第三章
2.刚体的转动
a)定轴转动:其中有两个质点始终不动
自由度=1
b)平面运动：刚体内任一点始终在平行于
某一固定平面的平面内运动
自由度=3
c)定点转动：只有一点固定不动，整个刚体围绕
通过这一点的某一瞬时轴线转动
自由度=3
d)一般运动：质心平动+绕质心的定点转动
自由度=3+3=6
B
O
E
7
第三章
定点运动
平面运动
例如: 曲柄连杆机构中
连杆AB的运动，
A点作圆周运动，B点
作直线运动，因此，AB
杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动
第三章
平面运动．
8
§2
刚体定轴转动 角速度
一、刚体的定轴转动
刚体运动时，刚体内有一条直线保持不动，而整个
刚体绕此直线旋转，则称刚体作定轴转动。

不动直线称为转轴（轴线、轴）

不在转轴上的点作圆周运动
第三章
9
运动方程(转动方程)
 =f（t）
转角的正负由右手螺旋法则确定。
即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动
平面N，若是逆时针转动，则角为正
值，反之，则角为负值。
单位：弧度（rad）
二、有限转动与无限小转动
有限转动：




A  B  B  A
加法不满足交换律，不是矢量。
10
第三章
无限小转动： 刚体绕定轴oo’转过一个无限小角度  

0
定义角位移：  n    n

P点的位移  r



|  r | |  n |  | o p |   r sin 


 是  n 与 r的夹角

 
 r  n  r

n

n 是否矢量？


 
 





 r   r   n  r   n  r  (  n   n )  r


 
 



 r    r   n   r   n  r  (n   n )  r
因为线位移是矢量，满足交换律






 r  r  r  r
p
 
r

r
o


r  r





 n  n  n  n
o 11
第三章
三、角速度矢量

 n 的大小  
lim
t  0

n
t


dn
dt
，方向沿转轴


角速度矢量方向沿着该时刻的转动瞬轴



1



1   2  

2
12
第三章
四、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度



，绕固定轴 o o 作半径为R的圆周运动


其速度大小 R  ，方向垂直于 和 r 所在的平面
P点的位矢 r
p
o 
 v
r
 

 v i    ri
o
 
v  r


而 r 是刚体内长度不变的矢量，且随刚体以 
转动。



推广：若矢量 A 的长度不变，以 转动，则矢量 A 的时间导数

 
AA
13
第三章

i 

j 

di
dt

dj

 kˆ  iˆ  j

 kˆ  ˆj  i
ˆj
iˆ

dt
 

根据加速度定义，及 v i    ri
 
 


 a i  v i    ri    ri
 

 
   ri    (  ri )
切向加速度 法向加速度
大小
R i 
R i
2
a i  R i   R i
a in  R i    v i 
2
v
Ri
点P 全加速度的方向
tan  

2
14
第三章
2
i
§3 刚体平面运动 plane parallel motion
一、刚体平面运动
平面运动的简化
刚体的平面运动可以简化为平面图
形S在其自身平面内的运动．即在研究
平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺
寸，只需研究平面图形的运动，确定平
面图形上各点的速度和加速度．
刚体的平面运动可简化为平面图形S
在自身平面内的运动！
15
第三章
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确
定
平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段AB的位置
可用A点的坐标和AB与x轴
夹角表示．因此图形S
的
位置决定于 x A , y A ,  三
个独立的参变量．所以
平面运动方程
x A  f1 (t )
y A  f 2 (t )
  f 3 (t )
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , 
图形S在该瞬时的位置也就确定了。
第三章
，
16
二．平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动
当图形Ｓ上  角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
例如 车轮的运动．
车轮的平面运动可以看
成是车轮随同车厢的平动和相
对车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动
（绝对运动）
车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动
（牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（相对运动）17
第三章
三、平面运动的运动基点描述法
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以
分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
车轮的平面运动
绕基点A'的转动
随基点A的平动
第三章
18
再例如:
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转
1
以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转
 2
图中看出：AB A'B''  A''B' ，  1
lim
t  0
1
t
 lim
t  0
 2
t
, 1   2
  2
d1
dt

角到A'B'
角到A'B'
于是有
d 2
dt
,1   2
19
第三章
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，
而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕
任一基点转动的α ,都是相同的）基点的选取是任意的。(通
常选取运动情况已知的点作为基点)

已知：图形S内一点A的速度 v A ，

vB
图形角速度
求：

取A为基点, 将动系固结于A点,
动系作平动。
20
第三章
取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为
圆周运动的合成 v a  v B ; v e  v A ; v r  v BA , 大小   AB , 方向  AB ,
指向与 转向一致．



根据速度合成定理 v a  v e  v r , 则Ｂ点速度为：



v B  v A  v BA
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图
形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基
点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本
方法．



v B  v A  v BA
21
第三章
例 题 1
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮
心速度为vO 。
求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
C
B
D
O
vO
A
22
第三章
解：

O点的速度已知，取O点为基点。     k


建如图的o-xyz坐标系。
vo  vo i
 


 

v

v
i

v
对A点：A
o
Ao
v Ao    rOA   R  i

vA  0
 

对B点：v B  v o i  v Bo
 

v B  vo (i  j )
 

对C点：v C  v o i  v Co

 2vo i
 

对D点：v D  v o i  v Do
 
 vo (i  j )
第三章

 

v Bo    rOB  v o j

 
vo
R
y
C vCO
v BO
B

k
vO
vO
O
vOO
D
vO
v DO
A
23
x
例 题 2
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径
r (只滚不滑), 曲柄角速度ω。
求：行星轮上M点速度。
M
A

O
24
第三章
解：
取A为基点 v C  v A  v r
v A  ( R  r )
vC  0
v r  r '
r '  ( R  r )
M
vM
 '  ( R  r ) / r
对M点：v M  v A  v r
v r  r  '  ( R  r )
vM 
y
vA
vA
A
vr
vA

x
C
vr
2 ( R  r )
25
第三章
本节重点：
1、系统的自由度
2、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
3、刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动
4、平面运动的运动基点描述法
作业：
周衍柏：p.137-38
p.144-148
习题：3.15，3.16
26
第三章
回顾
刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点
随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速
度的方法称为基点法 


v B  v A  v BA
平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而
绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形
绕任一基点转动的α , 都是相同的）基点的选取是任意
的。
27
第三章
四、瞬时速度中心法（速度瞬心法）
1. 问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大
大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度
等于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念

平面图形S，某瞬时其上一点A速度 v A,

图形角速度，沿 v A方向取半直线AL, 然后
o
顺 的转向转90 至AL'的位置,在AL'上取长
度 AP  v A / 



则： v P  v A  v PA
v PA  AP    v A , 方向  PA , 恰与 v A 反向 . 所以
vP  0
28
第三章
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平
面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．
３．几种确定速度瞬心位置的方法

①已知图形上一点的速度 v A 和图形角速度
可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP 
vA


, AP  v A ,

且Ｐ在 v A 顺转向绕A点
转90º的方向一侧．
②已知一平面图形在固定面上作无滑动的
滚动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬
心．
29
第三章
 
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A , v B


的方向，且 v A 不平行 v B
过A ,B两点分别作速度 v , v 的垂线,
A
B
交点P即为该瞬间的速度瞬心.
 
④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , v B
大小,且


v A  AB , v B  AB


v A  vB


( a ) v A 与 v B 同向 ,  


( b ) v A 与 v B 反向 ,  
AB
v A  vB
AB
(a)
(b)
30
第三章
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线
垂直．此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度
=0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各
点的加速度不相等)
另：对(4)种(a)的情况，若vA＝vB，
则是瞬时平动．
31
第三章
确定瞬心位置
(1) 已知一点的速度
及刚体的角速度
vA
A 
(2)无滑滚动的
接触点P为瞬心．
(3) 已知两点的速度方
向，且互不平行
vA
A
B
vB
vA

C
(4) 两点速度方向平行且
垂直于这两点的连线
A
B
C
vA
A
vB
vA


(5)瞬时平动，v A  v B
vA
A
B
vB
C
vB
B
32
第三章
４. 速度瞬心法
利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转
动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度
v A  AP 
方向AP，指向与 一致。
５. 注意的问题
速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不
断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度
是不一定相同的。不同于刚体作平动。
33
第三章
五、速度投影定理
 
 
vB  0  v A  0
ρ
A
VB
VA
B
34
第三章
例 题 3
曲柄滑块机构
已知 曲柄滑块机构的R,。
求 图示瞬时(位置)的 v , 
解： C为AB杆的速度瞬心，
 AB 
vA

AC
3
。
B
AB
AC 
3R

 AB
C
vA
3
A
v B   AB  B C

O
R
45°
B
45°
30°
vB
35
第三章
用瞬心法求轮缘上A、B、C、D四点的速度
因为是纯滚动，圆轮与地面接触点A为速度瞬心
C
vO ＝ R
B
D
O
vO
vA  0 ,
vC  2v0 ,
vB 
vD 
2v0
A
2v0
如轮子沿曲线轨道纯滚动， = vO / R是否成立？
36
第三章
[例1]
已知：曲柄连杆机构
例 题4
OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：当
=45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度．
解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且 v A  l  ,方向如图示。



v

v

v
根据 B A BA ,
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
v B  v A / cos 
 l  / cos 45  
2 l (  )
v BA  v A tg   l   tg 45   l 

AB
 v BA / AB  l  / l   （
第三章
）
37


根据速度投影定理 v B AB  v A AB
 v B  v A / cos 
 l  / cos 45  2 l  (  )

v A  v B cos 
不能求出  AB
能否由速度投影定理求得刚体的角速度？
速度瞬心法

研究AB，已知 v A , v B的方向，因此
可确定出P点为速度瞬心
 v A  l  , AP  l

AB
 v A / AP  l  / l   （
v B  BP 
AB

）
2 l (  )
试比较上述三种方法的特点。
38
第三章
例 题 5
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚
不滑), 曲柄角速度ω。用瞬心法求行星轮上M点速度
解： C点为瞬心
M
应先求小齿轮的角速度  
A
v A  ( R  r )

因只滚不滑，
O
vA
Rr
 


r
r
vM  C M   
M
vM
2 ( R  r )
vM  CM
vA
A

C
O
39
第三章
定瞬心轨迹和动瞬心轨迹
定瞬心轨迹（空间极迹）：瞬心在固定坐标系中的轨迹
动瞬心轨迹（本体极迹）：瞬心在固连的动坐标系中的轨迹。
R
v0
'
'
'
C1
C
C2
C3
C3
C1 C 2
车轮沿着直线轨道作纯滚动
40
第三章
例 题 6
梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如
将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。
求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。
B
l
u
A
41
第三章
建立固定坐标系 Oxy ，瞬心 C
点的坐标为：
x  y l
2
C
B

y C  l cos 
x C  l sin 
2
C
y
C
l


O
2
u
x
A
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的1/4圆周。
建立固联坐标系
A 
，瞬心 C 的坐标为：
 C  l cos  sin 
 C  l cos 
2
 C  ( C  l / 2)  l / 4
2
2
2
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。
42
第三章
六、刚体平面运动中各点的加速度分析

  k
  
 


 基点法 a p  a 0    r    (  r )
 

2
 a0   k  r   r
Y0

Y
a r


a rn
r
O
S
O0
共有5个可能的未知数（aP、aO
、
aO
）
aO
X
X0
只有2个标量方程
必须已知5个中的3个量才能求解！
43
第三章
已知：
例 题
7 R,  = const。
求图示位置时滑块的加速度。
A

45
O
0
B
30
0
选A为基点
 





2
2
a B  a O   k  r   r  a A  a rt  a rn R 
a A  R
2
44
第三章
a A  R
a rn 
2
2 R
a rt  ?
2
AB

2
R
2
3

O
aB  ?
A
aA
45
arn
0
30
aB
aA
等式两边向BA方向投影
a B cos 30  a A cos 75  a rn  a B  0 . 84 R 

B
0

art
2
向与AB垂直的方向投影
a B sin 30  a A sin 75  a rt
a rt   0.55 R ,  A B  a rt / A B   0.386
2
2
45
第三章
例题8
圆盘的运动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚
动。轮心速度为vO 、加速度为aO 。
求：轮缘上A、B二点的加速度。
B
aO
O
vO
A
46
第三章

vO
aO

R
R
取O点为基点，分析A
点的加速度


t
n
a A  a o  a AO  a AO
a
a
t
AO
n
AO


 R  ao
 R 
2

v 
aA 
j
R
2
o
v
2
o
R
B
aO
O
vO
 t aA  n
a AO
a AO
A
47
第三章

vO

aO
R
R
取O点为基点，分析B
点的加速度


t
n
a B  a o  a BO  a BO
a
a
t
BO
n
BO
 R  ao
 R 
2
v


t
a BO
B
2
o
R
2



vo 
a B  (ao 
)i  ao j
R
O
a
n
BO
aO
vO
A
48
第三章
作业：
周衍柏：p144-148
习题：3.17,
补充题：半径为R的线轴在水平方
向上沿直线作无滑滚动。中部
绕线轴的半径为r，线无滑地绕在
轴上，线端点A以不变的速度u
沿水平方向运动，如图所示。求：
（1）轴心C的速度和线轴的
角速度；（2）线轴与水平面接触
点B的加速度。
D
R
A

u
C
r
B
49
第三章