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大学物理实验
测量误差与实验数据处理
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一、测量：
测量与误差
就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验方法将待
测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数即为该待
测量的测量值。
 测量值
测量组成 

单
测量值=读数值(有效数字)+单位
位
单位：采用国际单位制（SI制-1971）
七个基本单位单位：长度（米/m）、质量（千克/kg）、时间（秒/s）
电流强度（安培/A）、温度（开尔文/K）、物质的量（摩尔/mol）、
发光强度（坎德拉/cd）
两个辅助单位：平面角（弧度/rad）、立体角（球面度/sr）
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测量的分类
1.直接测量和间接测量
直接测量：
直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较得到
测量值。比如用游标卡尺测量某一圆柱体的外径；用秒表测量时
间等。
间接测量：
利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测
物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的电压而求
得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测量量。
直接测量和间接测量的关系
对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接测量
量，而采用另一种方法是由可谓间接测量量。当时用万用表测量电
阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值了。
2.等精度测量和非等精度测量
等精度测量：
在相同的条件下，对某一物理量 X 进行多次测量得到的一组
测量值 X1、X 2、X 3、
 X n称作等精度测量。
相同的条件：指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和
测量环境等条件。
非等精度测量：
在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的
测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。
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三、误差及其分类
误差定义：测量值与真实值之差称为误差，
误差＝ 测量值－真值
N  N  N0
测量误差又称绝对误差。
即
真实值无
法知晓？
1.根据误差的表示方式，误差分为：
（1）绝对误差：
（2）相对误差：把绝对误差与真实值之比叫相对误差，即
Er 
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N
100%
N0
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三、误差及其分类
根据误差产生的原因及误差的性质分为：
1.系统误差：
2.随机误差（偶然误差）
3.过失误差（粗差）
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1.系统误差
(1)定义：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差绝对值
和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。
(2)性质：带有系统性和方向性
(3)产生的原因：
测量仪器方面的因素。
测量方法方面的因素：
环境方面的因素。
测量人员方面的因素。
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(4)系统误差服从的规律
①不变的系统误差:误差的符号和大小都固定不变
②线性变化的系统误差:误差值随某些因素作线性变化的
系统误差
③周期性变化的系统误差:测量值随某些因素按周期性变
化的误差，称为周期性变化
④复杂规律变化的系统误差:误差是按确定的且复杂规律
变化
2
如电阻与温度的关系可用下式表述 R  R20   (t  20)   (t  20)
0
式中，R 为温度为 t 时的电阻；R20 为温度 20 C 为时的电阻； 和  分
别为电阻的一次和二次温度系数。
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(5)系统误差的发现
在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适用于
发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪器进
行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以校验，
才能最终确定有无系统误差。常用方法有：
①实验对比法：
主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，
进行不同条件的测量。
②理论分析法：
主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件
是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果
这些要求没有满足，则实验必有系统误差。
③数据分析法：
主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、
残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、
秩和检验法等方法。
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(6)系统误差的减小和消除
由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一
个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统
误差的方法和途径。
①从产生系统误差的根源上消除
这是消除系统误差最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行
认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。
措施：
采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式
所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格
保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。
②引入修正项消除系统误差
③采用能消除系统误差的方法进行测量
对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、
补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。
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2.随机误差
(1)定义：由于感官灵敏度和仪器精密程度的限
制，周围环境的干扰以及伴随测量而来的不可预料
的随机因素的影响而产生的误差。
(2)特点：大小无定值，一切都是随机发生的，因
而把它叫做随机误差(亦称作偶然误差)。
(3)规律：多次测量时，随机误差服从以下统计规
律。
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①单峰性。测量值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大；
测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图1所示，当误
差
呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。
②对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。
③有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。
④抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。
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3.系统误差与随机误差的关系
上面分别单独讨论了系统误差和随机误差，即在不考虑随机误差的情况下
研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况
下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误
差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随
机误差为主。
系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性，
就其特点而言，似乎这两类误差是可绝然分开的，实际上并非完全如此。比如
分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的
刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误
差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和
方向都是不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人员在读数
时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有
偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系
统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见
第四节）就可以克服这种缺陷。
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4.过失误差
在测量中还可能出现错误，如读数错误、记录错
误、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作过
失误差。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实
验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态
度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相
比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往
较大地偏离正常测量值，称作坏值，应当在数据分析
处理过程中给予剔除。
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5.误差的几个相关概念
（1）精密度
精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密
度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差
越小；反之随机误差就越大。
（2）正确度
正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系
统误差的大小。即正确度越高，测量值越接近真值，系统误差就越小；
反之，系统误差就越大。
（3）准确度
准确度（又称精确度）是精密度
和正确度的综合反映。当随机误差小
到可以忽略不计时，准确度等于正确
度；当系统误差小到可以忽略或得到
修正消除时，准确度等于精密度。两
者都高，准确度就高；两者之一低或
都低，则准确度低。
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四、误差的表示形式
误差的表示：绝对误差和相对误差。
绝对误差  X 表示测量结果 X 与真值 X 间的相差范围，正负号
“±”
X
X
X
表示测量结果 可能比 大或者比 X 小。由测量结果及其绝对误
 X  X   X  X
X   X  X
差可以看出，真值所在的可能范围为
，或简写为
 X X
E。


 100%
r


X
X
相对误差：
表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。
X   ( X  X )
测量结果表示：
(单位)
X
Er 
100%
X
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第二节 直接测量结果误差的估算方法
一、单次直接测量的误差估计在一般情况下，可用仪器
误差Δ仪 (仪器出厂时的检定)作为绝对误差。
1.对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半；
2.对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差Δ仪取最小分度值；
3.对于某些仪器，其不确定度限值Δ仪需要计算：
（a）指针式电表的Δ等于量程与等级的乘积
（b）电阻箱的Δ等于示值乘以等级再加上零值电阻
（c）用天平测量物体质量的Δ等于各砝码不确定度之和
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二、多次测量平均值
等精度测量：
是指测量条件完全相同的多次测量。相同的条件是
指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。
假设对某一物理量进行了 n 次等精度测量，其测量
，X i，
，X n ，则 X 的算术平均值
值分别为 X1，X 2，
1
X  ( X1  X 2 
n
1 n
 Xn )   Xi
n i 1
因真值不可知，故将测量值的算术平均值作为测得值
的最佳估计值。
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设每一次测量值与算术平均值的差值为
X1  X =1，X 2  X = 2， ，X n  X = n，
在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围
1
( 1   2    n )
n
它表示对物理量 X 做任意一次测量，测量误差出现在  X 到
X 
 X 之间的概率为58％
X
100%
相对误差： Er 
X
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三、测量列的标准误差和标准偏差
当测量次数 n 无限多时，各测量值 X i 的误差
i  X i  X  平方平均值的平方根，称作标准误差，
用  表示，即
n
n

12   22  ....   2n

n
标准偏差  X ：
i 1
n
2
i

(X
i 1
2
2
2
n
d
2
i
n
n
1
2
i 1

(
X

X
)
 i
n 1
n  1 i 1
di  X i  X
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i
 X )2
n
d d
d
X 

n 1
2
1

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标准偏差的物理意义
多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量
值误差落在   X 到   X 之间的可能性为68.3％，或者说，对某
一次测量结果，真值在区间 X   X 内到 X   X 的概率为68.3％。
f (X )
68.3%
极限
误差
99.7%
3
99.7%
95.4
%
O
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X  3 X X  2 X X   X
X
X   X X  2 X
X  3 X
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x
四、平均值的标准误差
经理论推导测量值算术平均值的标准误差 X为：
n
X 
2
(
X

X
)
 i
i 1
n(n  1)

X
n
平均值的标准误差是 n 次测量中任一次测量值标准误差的 1 n 倍。
其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多
次测量结果，真值在区间 X   X 内的概率为68.3％。
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型电位差计测量某一电阻的端电压6次，测量
例1 用
数据列入下表，试表达测量结果。
UJ  31
次数
1
2
3
4
5
6
(电压)
15.526
15.529
15.530
15.528
15.527
15.528
解：其算术平均值为
1 6
1
V  Vi  (15.526  15.529  15.530  15.528  15.527  15.528)  15.528
6 i 1
6
d1  15.526  15.528  0.002；
d 2  15.529  15.528  0.001
d3  15.530  15.528  0.002；
d 4  15.528  15.528  0.000
d5  15.527  15.528  0.001；
d 6  15.528  15.528  0.000
n
平均值的标准误差为：
V

V  V   V  15.528  0.001
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 (V  V )
i 1
i
n(n  1)
Er 
V
V
2
(22  12  22  02  12  02 ) 106

 5.16 104
6(6  1)
100% 
0.001
100%  0.006%
15.528
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第三节 间接测量误差的估算方法
误差传递：直接测量所得的结果都是有误差的，显然由直接测量值
经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算
间接测量误差的方法叫做误差传递。
N  f ( X 1 , X 2 , X n )
设：
若各直接测量值的绝对误差分别
X 1 , X 2 ,X n
为 N
，则间接测量值
的绝对误差
N
为
，其计算方法如下：
将上式求全微分，得
f
f
f
f
dX1 
dX 2 
dX3   
dX n
X 1
X 2
X 3
X n
dN 
N 
E
f
f
f
f
X 1 
X 2 
X 3   
X n
X 1
X 2
X 3
X n
N
N

N
f ( X1, X 2 , X 3  X n )
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常用运算关系的标准误差传递公式
运算关系
N  X1  X 2
 N   X2   X2
N  X1  X 2
 N   X2   X2
2
X
2
N  X1  X 2
X
N 1
X2
N  Xn
N n X
1
1
N
N
N
N
 (
 (
N
N
N
N
1
X1
X
1
X1
)2  (
 n

)2  (
X
2
X2
2
)2
)2
X
X
1 X

n X
 N  sin X  X
N  cos X
 N  cos X  X
N 
X2
X
N  sinX
N  lnX
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标准误差传递公式
X
X
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标准误差的传递公式
若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差
则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即
绝对误差
f
f
f
2
2
N  (
 X1 )  (
 X2 )  (
 X 3 )2 
X 1
X 2
X 3
相对误差 Er 
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N
N

N
f ( X1, X 2 , X 3  X n )
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f
(
 X n )2
X n
例2
某一长度， L  X 1  X 2  X 3  X 4 ，其中，X 1  50.00  0.05mm
X 2  4.05  0.05mm ；X 3  12.63  0.05mm ；X 4  1.013 0.005mm
试计算其结果及误差。
解：
L  (50.00  4.05  12.63  1.003)  34.32mm
 L  0.052  0.052  0.052  0.0052 mm  0.09mm
L  L 
 (34.32  0.09)mm
L
 L 0.09
Er 

100%  0.3%
34
.
32
L
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例3：
h
用螺旋测微器分别测量某圆柱体不同部位的直径d 和不同部位的高
8次，得到下列数据，表示出结果。
n / (次数)
1
2
3
4
5
6
7
8
各
平均值
d/cm(直径) 1.6499 1.6591 1.6476 1.6586 1.6479 1.6482 1.6492 1.6489 1.6487
h / cm (高) 2.0004 1.9993 2.0000 2.0010 2.0010 2.0015 1.9995 1.9990 2.0002
解：各测量值偏差的绝对值分别为
d1  1.6499 1.6487cm  0.0012cm，d 2  1.6491 1.6487cm  0.0004cm
d 3  1.6476 1.6487cm  0.0011cm，d 4  1.6486 1.6487cm  0.0001cm
d 5  1.6479 1.6487cm  0.0008cm，d 6  1.6482 1.6487cm  0.0005cm
d 7  1.6492 1.6487cm  0.0005cm，d 8  1.6489 1.6487cm  0.0002cm
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n
d 
2
(
d

d
)
 i
i 1
n 1
0.00122  0.00042  0.00112  0.00012  0.00082  0.00052  0.00052  0.00022

8 1
同理可以求出  h  0.0009cm
2
1
1
2
圆柱体的体积 V   d h  4  3.14159  (1.6487 cm )  2.0002 cm
4
 4.2702cm3
相对误差 Er 
V
V
 2    
 2  0.0008  0.0009
  d   h   
 
  0.1%
1
.
6487
2
.
0002
d
h

 


  
2
2
2
3
3
标准误差  V  Er V  4.2702 0.1%cm  0.004cm
3
测量结果为： V  V   V  (4.270 0.004)cm
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2
第四节 测量不确定度及测量结果的表示
一、不确定度评定的意义
即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，
测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际
上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方
法来表征，这就是“不确定度”的评定，在测量方法正确的情况
下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。
不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的
正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要
求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的
结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。
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二、不确定度的分类和估算方法
不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，
它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。
不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为A类不确
定度和B类不确定度。A类不确定度是被测量列能用统计
方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即
为 ；B类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不
A
确定度分量，用 u表示。
B
A类不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标
准误差公式来计算。即
n
2
1

A X 
(Xi  X ) 

n(n  1) i 1
n
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B类不确定度分量的估算，最常用的方法是
采用近似标准差估算非统计不确定度。
当非统计不确定度相应的估计误差为高斯
分布时有：u B   3
当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分
布(方法、环境、数字仪表等误差分布)时有：
uB   3
为非统计不确定度相应的估计误差限，通常
   仪器
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二、合成不确定度
合成不确定度，即A类和B类不确定度的总和，其合
成公式为：

k
k
2


u
  j
j 1
2
j
j 1


式中， 为合成不确定度；
为任一A类不确定度分量，
为任
j
j
一B类不确定度分量。
u
上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相
互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度
表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影
响。
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三、总不确定度计测量结果表示
1.总不确定度：是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成
正比的置信区间。即 U
 C
C
式中，U 为总不确定度；

为置信因子；
为合成不确定度。
总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范
C
围。
C
C
当置信概率为68.3％时，置信因子
为1；当置信概率为95.4％
时，
置信因子
为2；当置信概率为99.7％时，置信因子
为3。一
般物
理实验中取与标准差相对应的置信概率68.3％，故总不确定度就
等
于合成不确定度。
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2.不确定度的传递
由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不
确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接
测量量N的函数为 f  A, B, C, ，则
f
f
f
2
2
N  (
 X1 )  (
 X2 )  (
 X 3 )2  
X 1
X 2
X 3
N 1
f
f
f

(
 X )2  (
 X )2  (
 X )2  
N
N
X 1
1
X 2
2
X 3
3
3.用总不确定度表示测量结果
用总不确定度表示测量结果的形式为
N=( N ± U )(单位)
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(写出置信度 P 值)
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★当置信度 P  0.683 时，U   ，则
N  N  (单位) ( P  0.683 ，可不写)
★当置信度 P  0.954 时，U  2 ，则
N  N  2 (单位)
( P  0.954 )
★当置信度 P  0.997 时，U  3 ，则
N  N  3 (单位)
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( P  0.997 )
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第五节 有效数字及其运算
一、有效数字的概念
在测量数据的各数字中，既有没有误差的可靠数
字，又有含有误差的可疑数字。
我们把可靠数字和数据最末的一位可疑数字统称为
有效数字。
一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2
位)可疑数字，统称为有效数字。测量结果用有效数字
表示，可以反映测量的准确度。
(1)一个物理量的测量值和数字的一个数有着不同的意义；
(2)对于十进制单位变换，只涉及小数点位置改变，而不允许
改变有效位数；
(3)实验结果的最后1位数字应与绝对误差对齐，绝对误差最多
写2位，相对误差也是如此。
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二、关于有效数字的几点说明：
（1）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不是有效数字，
如π，e等不是有效数字。
（2）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数
字，但数据中间和末尾的零应算为有效数字。
（3）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言，尽
管它们在数字上相等， 8.605cm≠8.6050cm。要特别强调的是：
记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。
（4）在换算单位时应保持有效数字位数不变。
（5）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前只保
留一位整数，后面再乘以10的方幂的形式
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（6）表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数
一定要取齐。同时，我们规定：普通物理实验中的最终测量量
（待测量）的不确定度取一位；相对误差取两位。
x  x  x
Ex  ? %
保留1位
尾数对齐
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保留2位
二、有效数字的运算
为获得实验结果，往往需要对测得的数据进行运算。在数据运算
中，首先应保证测量的准确程度。
有效数字的运算规则：
1.加减运算几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先
出现可疑数字对齐。
例1已知 Y  A  B  C，A  (302.3  0.5)cm， B  (23.642 0.012)cm
C  (1.564 0.005)cm 试问计算结果应保留几位数字?
解：
上例的简算方法为
2008.1
Y =302.3+23.6-1.4=324.5 (cm )
Y =(324.5±0.5) cm
Y
=0.15％
Y
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2.乘除运算
几个数相乘或除，计算结果的有效数字位数与各数值中有效
数字位数最少的一个相同(或最多再多保留一位)。
例2. 5.348  20.5  ？试问计算结果应保留几位数字?
解：用计算器计算可得5.348×20.5=109.6340
看一下具体的运算过程便一目了然。见
运算式，因为一个数字与一个可疑数字
相乘，其结果必然是可疑数字，所以，
由上面的运算过程可见，小数点前面第1
位的“9”及其以后的数字都是可疑数字。
按照保留1位可疑数字的原则，计算结果
应写成110，为3位有效数字。
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除法是乘法的逆运算，如 3761.3  21.7  173.332  173
可见，积或商的有效数字的位数，同上面叙述
的加减简算法则是一致，与参与运算的各量中的有
效数字位数最少的位数相同。如4位有效数字与3位
有效数字相乘，计算结果为3位有效数字。如果计算
结果的第一位数是“1”，“2”，“3”时，则可多留
一位。
在进行乘除运算时，误差传递公式为
N A B


N
A
B
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例题3.
用千分尺、游标卡尺、物理天平作为测量器件测量一小圆
柱体的物质密度。
D
游标卡
尺
H
物理天平
4m
m
m


 2
2

D
H
V
r H
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 千  0.004mm
次数n
D(mm)
H(mm)
1
 游＝0.02mm
2
3
4
 天＝0.05g
m(g)
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5
D
D
i
5
H
H 
 ....
i
5
mm
SD 
SH 
 D
 D
2
i
 ....
5 1
 H
H
 D  S D2  2千 ＝....
2
i
5 1
 ....
 H  S H2  2游 ＝....
 m   天＝0.05g
保留2位
4m

 ....
D 2 H
m 2
D 2
H 2
E   (2
) (
)  ( )  ?%
D
H
m
   E    ....
2008.1
    
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尾数对齐
3.乘方运算
乘方运算的有效数字位数与其底数的有效数字位数相同。
4.对数、三角函数和次方运算
它们的计算结果必须按照误差传递公式来决定有效数字
位数，而不可以用前面所述的简算方法。
例4．已知A＝3000±2，计算
y  ln A
解：由计算器算：y  ln A=ln3000  8.0063676
按照误差传递公式可得
y 
1
2
 A 
 0.0007
A
3000
结果为 y  ln A  8.0064 0.0007
y
 0.009%
y
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5.数字的截尾运算
在数据处理时，经常要截去多余的尾数，一般截尾时以
“四舍六入，逢5奇进偶不进”来定。这个原则比过去习惯规
定的四舍五入的截尾规则更合理，这可由下面的分析看出。
如按四舍五入来截尾时，数字2可能是由下面这列数1.5，1.6，
1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4截尾而得到。撇
开1.5这个数不计，其他几个数的平均正好为2，加1.5后，其
平均数就比2偏小。如按前述规定，则2可以是由1.5，1.6，
1.7，…，2.0，…，2.4，2.5截尾得到，平均正好是2。截尾
时尾数的进与舍机会均等，这就更合理了。
根据以上的截尾原则，将下列数截去尾数成4位有效
数字时，应有
2008.1
2.345 26 →2.345
2.345 50 →2.346
2.346 50 →2.346
2.347 50 →2.348
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6.数字的科学记数法
在乘除和开方等运算中，对数字采用科学记数常常是比较方便的。
所谓数字的科学记数法即是将数字分成两部分，第一部分表示有
效数字，书写时只在小数点前保留1位数，如3.46，5.894等；第
二部分表示单位，以10的几次幂来表示，如 103，10 4 等。
0.000345  139 → 3.45 104 1.39 102  (3.45 1.39) 106
0.00173×0.000013 4
→ 1.73 103  1.34 105  1.731.34 108
2
0.000846 → 8.46104  8.46 10
7.计算公式中常数的取值

像这
类常数在参与运算时，比测量值多取一位有效数字，但
最后结果的有效数字以测量值的有效数字为准。
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8.如果在运算中既有加减，又有乘除，则逐步
按照有效数字的运算规则处理，以决定最后结
果的有效数字的位数。
128.6  52.36
76.2
76.2
3



1.7

10
0.128  0.0826 0.044 4.4 102
应当注意的是，上面所讲的是有效数字的实验数据
记录和运算规则，不能替代绝对误差和相对误差的
计算。
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第六节 测量数据处理的基本方法
数据处理：从获得原始数据到得出结论为止的数据加工过程
一、列表法
若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量之间的函数关系
时，一般要用列表法处理数据。
优点：
使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发现问题，有利
于反映物理量之间的对应关系。
表格要求
1.表格应力求简洁明了，便于分析各测量物理量之间的关系。
2.各栏目都要标明物理量的名称和单位。以国家标准（GB3100-3102）的规
定使用表示物理量的符号。
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3.栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐
全、
有条理。数据要按着有效数据规则正确记录。数据书写时,要写在每
一个表格的下方，在数据的上方留有一定的空间，为数据出现错误
时留出修改余地；对错误数据不能涂抹不清，只需用一条横线划掉
即可，保持数据的原始性。
4.反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到
小
的顺序排列。
5.数据表格除了列入原始测量数据外，处理过程中的一些重要的中
间
结果也应列入数据表格中。
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二、图示法
图示法：利用测量数据将实验中的物理量之间的关系用几何图线表
示出来的方法。
优点：实验图线能够简明、直观、形象地表示出实验数据间的关系
，并且通过它可以找出两个物理量之间的数学关系式，同时有助于
我们研究物理量之间的变化规律，找出定量的函数关系式或得到所
求的参量。
作图规则：
（1）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的有效数字
（2）标明坐标轴。坐标轴为物理参量
（3）标实验点。用“＋”或“⊙”
（4）连点成线。用光滑的曲线
（5）写明图线特征。从图线上得出的某些参数
（6）写图名。
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三、图解法
图解法是根据已经做好的数据图线，应用解析的方法，求出物理量
所对应的函数关系和有关参量。
步骤如下 ：
1.选点。在直线上取相距较远的两点A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )，用与实验数
据点不同的记号表示，在记号旁注明其坐标值。所选两点相距不能
过近 。不能在实验数据范围以外选点，因为它已无实验依据。
2.求斜率。直线方程为 y  kx  b ，将 A 和 B 两点坐标值代入
y y
k 2 1
x2  x1
3.求截距。若坐标起点为零，则可将直线用虚线延长得到与纵坐标轴
的交点，便可求出截距。若起点不为零，则可用下式计算截距。
b
2008.1
x2 y1  x1 y2
x2  x1
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四、逐差法
逐差法是实验数据处理常用的方法之一。由误差理论知道，算术平均
值最接近于真值，因此在实验中应尽可能实现多次测量。但在一些实
验中，如简单地取各次测量的平均值，并不能达到好的效果。
例如为了测量弹簧的劲度系数K，将弹簧挂在装有竖直标尺的支架上。
先记下弹簧端点在标尺上的读数 x0，然后依次加上10N，20N，…70N
x1 , x2 , x7 ，其相应的
的力，则可读得七个标尺读数，它们分别为
N
弹簧长度变化量为：x1  x1  x0， x2  x2  x1 ,, x7  x7  x6
x 
( x1  x0 )  ( x2  x1 ) 
7
 ( x7  x6 )

x7  x0
7
中间数值全部抵消，未能起到平均的作用，只使用了始末两次的测量
值，与力一次增加70N,的单次测量等价。由此可见，不能用这样的平
均方法进行平均值的处理。
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为了保持多次测量减少随机误差的优越性，通常把数据分成两组
x0 , x1 , x2 , x3；x4 , x5 , x6 , x7
x1  x4  x0 , x2  x5  x1 , x3  x6  x2 , x4  x7  x3
则平均值为
x 
x1  x2  x3  x4
( x  x0 )  ( x5  x1 )  ( x6  x2 )  ( x7  x3 )
 4
4
4
可见，在逐差法中每个数据在平均值内部都起了作用，保持多次测量的
优越性 。
五、最小二乘法：略
2008.1
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