Transcript 作业答案

第二章 课后作业解答
张少强
P85~86 习题2-1
6 下列各题中均假定f (x0)存在 按照导数定义观察下列极限 指
出A表示什么
(1) lim f ( x0  x)  f ( x0 )  A
x
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
A  lim
x 0
x
解
  lim
 x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
  f ( x0 )
 x
f
(
x
)
(2) lim
 A 其中f(0)0 且f (0)存在
x0 x
解
(3) lim f ( x0  h)  f ( x0  h)  A
h 0
A  lim
x0
f (x)
f (0 x)  f (0)
 lim
 f (0)
x

0
x
x
h
f ( x0  h)  f ( x0  h)  lim [ f (x0  h)  f ( x0 )] [ f (x0  h)  f (x0 )]
解 A  lim
h 0
h
h 0
h
 lim
h 0
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h 0
h
h
f (x0)[f (x0)]2f (x0)
P85~86 习题2-1
7. 求下列函数的导数
23 2
x
x
y

(7)
x5
1 
(4) y 
x
1
(4) y  (
x
x

(7) y  (
23

1 1
3
1


1
1
2
2
)  (x )   x
 x 2
x
x5
2
2
2

1
1 1
5

1
1
6
6


)  (x )  x  x 6
6
6
9. 如果f(x)为偶函数 且f(0)存在 证明f(0)0
证明: 当f(x)为偶函数时 f(x)f(x) 所以
f (0)  lim
x 0
f ( x)  f (0)
f ( x)  f (0)
f ( x)  f (0)
 lim
  lim
  f (0)
x 0
 x 0
x0
x 0
 x 0
从而有2f (0)0 即f (0)0
P85~86 习题2-1
11.求曲线ycos x上点 ( , 1 ) 处的切线方程和法线方程式
3 2
解 ysin x
y
  3


sin
x 
3
2
3
1   3 (x   )
y

故在点 3 2 处 切线方程
2
2
3
1
2

y


(
x

)
法线方程为
( , 1 )
2
3
3
13. 在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点 作过这两点的
割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
解: y2x 割线斜率为
k
y(3)  y(1) 9 1

4
3 1
2

令2x4 得x2
因此抛物线yx2上点(2 4)处的切线平行于这条割线
P85~86 习题2-1
1
14(2) 讨论下列函数在x0处的连续性与可导性 y  x2 sin x x  0
解: 因为


0
lim y(x)  lim x2 sin 1  0
x0
x0
x
又y(0)0 所以函数在x0处连续
又因为
x2 sin 1  0
y( x)  y(0)
 lim
x 0
x 0
x 0
lim
x
x
所以函数在点x0处可导 且y(0)0
 lim x sin 1  0
x 0
x
x 0
P85~86 习题2-1
2

x
x 1
15. 设函数 f ( x)  
ax  b x 1
为了使函数f(x)在x1处连续且可导 a b应
取什么值？
解: 因为
lim f (x)  lim x2 1
x1
x1
lim f ( x)  lim (ax  b)  a  b
x 1
x 1
所以要使函数在x1处连续 必须ab1 
又因为当ab1时
2
f (1)  lim x 1  2
x 1 x 1
f(1)  lim axb 1  lim
x1
x1
x 1
a(x 1)  a b 1
a(x 1)
 lim
a
x1
x 1
x 1
所以要使函数在x1处可导 必须a2 此时b1
P96~97 习题2-2
2. 求下列函数的导数
x
e
(2) y5x32x3ex  (8) y  2  ln 3  (10)
s  1 sin t
1 cost
x
解 (2) y(5x32x3ex)15x22x ln23ex
x
x
x 2
x
e
( x  2)
e
e

x

e

2
x
(8) y  ( 2  ln 3) 

x
x4
x3
cost(1 cost)  (1 sin t)( sin t) 1 sin t  cost
(10)
s  (1 sin t ) 

2
1 cost
(1 cost)
(1 cost)2
3 求下列函数在给定点处的导数
2
3
x
d

(2)   sin  1 cos 求

 求f (0)和f (2) 
 (3) f ( x) 
解 (2)
(3)
2
d
4
5 x
25
15

5
d
 sin  cos   1 sin  1 sin  cos 
d
2
2
d
1 sin    cos  1  2    2  2 (1  )

d  4 2
4 4
4 2 2 4 2
4
2
17
3
f ( x)  3 2  2 x

f
(
2
)


f (0) 
(5  x) 5
P96~97 习题2-2
4 以初速v0竖直上抛的物体 其上升高度s与时间t的关系是
求
s  v0t  1 gt2
2
(1)该物体的速度v(t)
(2)该物体达到最高点的时刻
解 (1)v(t)s(t)v0gt
v0
t

(2)令v(t)0 即v0gt0 得
g  这就是物体达到最高点的时刻
5 求曲线y2sin xx2上横坐标为x0的点处的切线方程和法线方程
解 ：因为y2cos x2x y|x02 又当x0时 y0 所以所求的切线方
程为
y2x
1
所求的法线方程为 y   x  即x2y0
2
P96~97 习题2-2
6 求下列函数的导数
(4) yln(1x2) (6) y  a2  x2 (8) yarctan(ex)
(10) ylncos x
1 (1 x2)  1  2x  2x

y

解 (4)
1 x2
1 x2
1 x2
(6)
1
1 1
1
y  [(a2  x2) 2 ]  (a2  x2) 2 (a2  x2)
2
1

 1 (a2  x2) 2 (2x)  
2
 
(8) y 
(10)
1 (e x )  e x
1 (e x )2
1 e2x
y  1 (cosx)  1 (sin x)   tanx
cosx
cosx
x
a 2  x2
P96~97 习题2-2
7 求下列函数的导数
1
(2) y 
(5)
2 
1 x
解：
(2)
y  1 ln x
1 ln x

(8) y ln(x  a2  x2 )  (10) yln(csc xcot x)
y  [(1 x
2
1
 1 1
1

2
) 2 ]   (1 x ) 2 (1 x2)
2

1
x
2 2
  (1 x ) (2x) 
2
(1 x2) 1 x2
3
1 (1 ln x)  (1 ln x) 1

(5)  x
2
x 
y
(1 ln x)2
x(1 ln x)2
(8)
y 
1
1
1
(x  a 2  x2 ) 
[1
(a 2  x2 )]
x  a2  x2
x  a2  x2
2 a 2  x2
1
1
1
[1
(2x)]
x  a 2  x2
2 a 2  x2
a 2  x2
2
1

csc
x
cot
x

csc
x  csc x
 (csc x  cot x) 
(10) y 
csc x  cot x
csc x  cot x

P96~97 习题2-2
8 求下列函数的导数
(4) y  earctan
x
解 (4) y  earctan
 (5)ysinnxcos nx  (8) y=ln[ln(ln x)]  (10)
x
(arctan x ) earctan x 
1 ( x )
( x )  e
arctan x
1
2
y  arcsin 1 x
1 x
arctan x
1
e



2
1 ( x ) 2 x 2 x (1 x)
1
(5) yn sinn1x(sin x)cos nxsinnx(sin nx)(nx)
n sinn1xcos x cos nxsinnx(sin nx)n
n sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx) n sinn1xcos(n1)x 
(8) y 
1 [ln(ln x)]  1  1 (ln x)
ln(ln x)
ln(ln x) ln x

(10)
y 
1  1 1 
1
ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)
 (1 x)  (1 x)
1
1
(1 x ) 

1 x
(1 x)2
1

x
1

x
1
1
1 x
1 x

1
(1 x) 2x(1 x)
P96~97 习题2-2
10 设f(x)可导 求下列函数y的导数
(1) yf(x2)
(2) yf(sin2x)f(cos2x)
dy
dx
解 (1) yf (x2)(x2) f (x2)2x2xf (x2)
(2) yf (sin2x)(sin2x)f (cos2x)(cos2x)
 f (sin2x)2sin xcos xf (cos2x)2cosx(sin x)
sin 2x[f (sin2x) f (cos2x)]
P96~97 习题2-2
12 求下列函数的导数
(3) y  (arctanx )2 (8) y  x  x
2
(9)
y  x arcsin x  4  x2
2
 (10) y arcsin
2t
1 t 2
解(3) y  2 arctanx  1 2  1  24 arctanx
2
y 
(8)
(9)
2 x 4
2

1
1
(x  x ) 
(1 1 )
2 x
2 x x
2 x x
y  arcsin x  x 
2
(10)
1 x
4
2 x 1
4 x  x x
1
1
1 
(2x)  arcsin x
2 2
2
2
x
2
4

x
1
4
2(1 t 2 )  2t (2t)
1
2
t
1
y 
( 2 ) 


2 2
1

t
(
1

t
)
2
t
2
t
1 ( 2 )2
1 ( 2 )2
1 t
1 t
1 t 2  2(1 t 2)  2(1 t 2)
2 2
2
2
(1 t 2)2 (1 t ) |1 t |(1 t )
 2
2
,
t
1
2
| (1  t )


 2 , t 2  1
 (1  t 2 )
P101~102 习题2-3
P101 4 (2) ; 8 (2); 9(3)
1. 求函数的二阶导数
(9) y(1x2)arctan x  (12) y ln(x  1 x2 )
解 (9)
y  2x arctanx  (1 x2) 1 2  2x arctanx 1
1 x
y  2 arctanx  2x 2
1 x
(12) y 
1
1
(x  1 x2 ) 
(1 2x )  1
x  1 x2
x  1 x2
2 1 x2
1 x2
x
y   1 2 ( 1 x2 )   1 2  2x  
1 x
1 x 2 1 x2 )
(1 x)2 1 x
P101~102 习题2-3
2
d
y
3 若f (x)存在 求下列函数y的二阶导数
2
dx
2
(1) yf(x )
(2) yln[f(x)] 
解 (1) y f (x2)(x2)2xf (x2)
y2f (x2)2x2xf (x2)2f (x2)4x2f (x2)
(2)
2







1
f
(
x
)
f
(
x
)

f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)

[
f
(
x
)]
y 
f ( x)

y 
2
f ( x)
[ f (x)]2
[ f (x)]
dx  1
4.(2) 试从
导出 (2)

dy y


d 3 x  3( y)2  yy
dy3
( y)5


y
y dx
d
d

 3 
 3 
3
dx y dy
dy dy y
y( y)3  y3( y)2 y 1 3( y)2  yy

 
6
y
( y)
( y)5
解 (2) d 3 x
P101~102 习题2-3
8 求下列函数的n阶导数的一般表达式 (2) ysin2x 
(2) y2sin x cos xsin2x  y  2cos2x  2sin(2x   )
y  22 cos(2x   )  22 sin(2x  2  )
2
2
2
y(4)  23 cos(2x  2  )  23 sin(2x  3  )
2
2
   
y(n)  2n1 sin[2x  (n 1)  ]
2
9（3）yx2sin 2x 求y(50) .
解 令ux2  vsin 2x 则有
u2x u2 u0
v(48)  248 sin(2x  48  )  248 sin 2x  v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x 
2
(50)
(50)
1
(49) 
2 (48) 
48  (48)
49  (49)
y u v  C150u v  C50
u v     C50
u v  C50
u v  u v(50)
48  (48)
49  (49)
C50
u v  C50
u v  u v(50)
 50 49 2 228 sin 2x  50 2x 249 cos2x  x2 (250 sin 2x)
2
 250(x2 sin 2x  50x cos2x  1225sin 2x)
2
P110~111 习题2-4
dy
1 求由下列方程所确定的隐函数y的导数 dx
(1) y22x y90 (4) y1xey
解 (1)方程两边求导数得
2y y2y2x y 0  于是
(yx)yy
y 
y
yx
(4)方程两边求导数得 ye yxeyy 于是 (1xe y)ye y
y
e
y  
1 xe y

P110~111 习题2-4
2
2
2
x3  y3 a3
2 a, 2 a)
(
在点 4 4
2. 求曲线
处的切线方程和法线方程 1

1
2
2
x 3  y 3 y  0  于是
解 方程两边求导数得
3
3
y  
1
x 3
1
y 3
 在点
2 a)
( 2 a, 处y1
4
4
所求法线方程为
所求切线方程为
y  2 a  ( x  2 a)
4
4
y  2 a  ( x  2 a)
4
4
2
 即 x y a
 即xy0
2
P110~111 习题2-4
2
d
y
3 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数
2
dx
y
(3) ytan(xy) (4) y1xe 
解 (3)方程两边求导数得
ysec2(xy)(1y)
sin 2(x  y)  cos2(x  y)
sec2(x  y)
1
1



1

y 

 sin 2 (x  y)
y2
1sec2(x  y) cos2(x  y) 1

2(1 y 2 )
2
2
1
y  3 y  3 (1 2 )  
y
y
y
y5
(4)方程两边求导数得
y
y
y
e
e
e
ye yxe yy
y 


y 1 ( y 1) 2  y
1 xe
e y y(2  y)  e y ( y) e y (3  y) y e2 y (3  y)
y 


2
2
(2  y)
(2  y)
(2  y)3
P110~111 习题2-4
4 用对数求导法求下列函数的导数
(2) y  5 x  5  (4) y  x sin x 1 e x
5 2
x 2
解 (2)两边取对数得 ln y  1 ln| x  5|  1 ln(x2  2)
5
25
1 y  1  1  1  2 x
两边求导得 y
5 x  5 25 x 2  2
于是 y  1 5 5 x 2 5 [ 1  1  22x ]
5
x 2
x 5 5 x  2
(4)两边取对数得 ln y  1 ln x  1 ln sin x  1 ln(1 ex )
2
两边求导得
2
4
1 y  1  1 cot x  e x
y
2x 2
4(1 e x )
于是
x
y  x sin x 1 e x [ 1  1 cot x  e x ]
2x 2
4(1 e )
x
1
e
x 2

x sin x 1 e [  2 cot x  x ]
4
x
e 1
P110~111 习题2-4
dy
5 求下列参数方程所确定的函数的导数 dx
x  (1 sin )

(2) 
 y  cos
解 (2) dy y
  cos  sin
dx x 1 sin  cos
7 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程
(2)  3at
 在t=2处
x
 1 t 2
3a(1 t 2 )  3at 2t 3a  3at2
解
(2)
 3at2
xt 

2 2
(1 t )
(1 t 2 )2
y 

 1 t 2
6at(1 t 2 )  3at2  2t
6at
yt 

(1 t )
(1 t 2 )2
dy yt
  6at 2  2t 2 当t2时 dy 2  2
4




dx xt 3a  3at 1 t
dx 1 22
3
12 a   4 (x  6 a)
6
12
y

x0  a y0  a 所求切线方程为
5
3
5
5
5
2 2
P110~111 习题2-4
即4x3y12a0
12 a  3 (x  6 a)
y

所求法线方程为
5
4
5  即3x4y6a0
8 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
(2) x  a cost 

t

x

f
(t)
(4) 
 设f (t)存在且不为零
t
y

tf
(
t
)

f
(
t
)

 y  b sin t
解
y
(2) dy  t  b cost   b cott
dx xt  a sin t
(4)
d2y
dx 2
a
dy yt f (t)  tf (t)  f (t)
 
t



dx xt
f (t)
b csc2 t
d 2 y ( yx )t a
b




xt  a sin t
dx2
a2 sin 3 t
d 2 y ( yx )t
1


xt
f (t)
dx2
P110~111 习题2-4
12 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为
10cm的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏
斗中深为12cm时 其表面下降的速率为1cm/min 问此时圆柱形筒
中溶液表面上升的速率为多少？
解 设在t时刻漏斗在的水深为y 圆柱形筒中水深为h 于是有
由
r y
6 18
 得 r
y
3
1 62 18 1 r 2 y  52 h
3
3
代入上式得
1  62 18  1  ( y )2 y  52 h
3
3 3
1 62 18 1 y3 52 h
即 3
33
1 y2 y 52 h 当y12时 y 1代入上式得

t
t
两边对t求导得 32

 12 122  (1)
ht  3 2
 16  0.64 (cm/min).
25
5
P122~124 习题2-5
3 求下列函数的微分
(4) yln2(1x) (7) y arcsin
1 x
2
 (8)
ytan2(12x2)
2
1

x
(9) y  arctan 1 x2
(10) sAsin(t) (A  是常数) 
解
1 ]dx  2 ln(1 x)dx
2


dy

y
dx

[ln
(
1

x
)
]
dx

[
2
ln(
1

x
)

(4)
(1 x)
x 1
(7)
dy  ydx (arcsin 1 x2 )dx
1
x
( 2 )dx 
dx
2
2
2
1 (1 x )
1 x
| x | 1 x
(8) dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2)
2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2)
2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx
8xtan(12x2)sec2(12x2)dx 
2
2
1
1

x
1
1

x

(9) dy d arctan 2 
d
(
)
2
2
2
1 x
1 (1 x2 )2
1 x
1 x
 2x(1 x2 )  2x(1 x2 )
4x dx

dx


2 2
4
1

x
(
1

x
)
1

x
2
1 (
)
1 x2
(10) dyd[Asin( t)]Acos( t)d(t)A cos(t)dx 
P122~124 习题2-5
7 计算下列三角函数值的近似值 (1) cos29
解 (1)已知f (xx)f (x)f (x)x 当f(x)cos x时 有
cos(xx)cos xsin xx  所以
   )  cos   sin   (  )  3  1    0.87467
cos(
cos29
6 180
6
6 180
2 2 180
10 计算下列各根式的的近似值
(2) 6 65
解 (2)设 f (x)  n x  则当|x|较小时 有
f (1 x)  f (1)  f (1)x 1 1 x
n
于是
6
65  6 641  2 6 1 1  2(1 1  1 )  2.0052
64
6 64

P125 总习题二
1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确
的填入下列空格内
(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件 f(x)在
点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件
(2) f(x)在点x0的左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等是f(x)
在点x0可导的_______条件
(3) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件
解 (1)充分 必要
(2) 充分必要
(3) 充分必要
P125 总习题二
2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论
设f(x)在xa的某个邻域内有定义 则f(x)在xa处可导的一个
充分条件是(
)
1 )  f (a)]
f (a  2h)  f (a  h)
lim
h
[
f
(
a

lim
(A)
存在
存在
(B)
h
h
h 0
h
(C)
lim
h 0
f (a  h)  f (a  h)
2h
存在 (D)
解 正确结论是D
提示 f (a)  f (a  h)
lim
h 0
h
 lim
h 0
lim
h 0
f (a)  f (a  h)
h
存在
f (a  h)  f (a)
f (a  x)  f (a)
 lim
x 0
h
x
(xh).
P125 总习题二
5. 求下列函数f(x)的f(0)及f(0)又f (0)是否存在?
(1)
x0
 sin x
f (x)  
ln(1 x) x  0
f (x)  f (0)
sin x 0 1

f
(
0
)

lim

lim
解 (1)因为 
x0
x0
x 0
x
1
f (x)  f (0)
ln(1 x)  0
f(0)  lim
 lim
 lim ln(1 x) x  ln e 1
x 0
x 0
x 0
x 0
x
而且f(0)  f(0) 所以f (0)存在 且f (0)1
6. 讨论函数

x sin 1
f (x)  
x

 0
x0
x 0
在x0处的连续性与可导性
f (x)  lim x sin 1  0  f (0) 所以f(x)在x0处连续
解 因为f(0)0 lim
x0
x0
x
因为极限
1 0
x
sin
f (x)  f (0)
x  lim sin 1
lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x 不存在 所以f(x)在x0处不可导
P125 总习题二
7. 求下列函数的导数
(1) yarcsin(sin x) (2)
y  arctan1 x
1 x
y  ln tan x  cosx ln tanx (4) y  ln(e x  1 e2x ) (5)
2
解(1) y  1 (sin x)  1 cosx  cosx
| cos x |
1 sin 2 x
1 sin 2 x
(1 x)  (1 x)
1
1
1
(2)
y 
(1 x ) 


(1 x)2
1 x2
1 (1 x )2 1 x 1 (1 x )2
1 x
1 x
(3)
(3)
y x x (x>0) 
y  1 (tan x )  sin x ln tan x  cos x  1 (tanx)
2
tan x
tan x
2
1
2 x 1

tan
(4) y 
x
2
 sec
1
  sin x  ln tan x  cos x 
 sec 2 x  sin x  ln tan x
2 2
tan x
2x
x
1
1
2
e
e
x
2x 
x
(e  1 e ) 
(e 
)
x
2x
x
2x
2x
e  1 e
e  1 e
2 1 e
1 e2x
(5) ln y  1 ln x
x
1 y   1 ln x  1  1
y
x x
x2
x
1
1
y  x ( 2 ln x  2 )  2x (1 ln x)
x
x
x
x
P125 总习题二
10 设函数yy(x)由方程e yxye所确定 求y(0)
解 方程两边求导得
e yyyxy0 —— (1)
于是
y
y  
xey
y
y(x  e y )  y(1 e y y)
y  (
)  
y
xe
( x  e y )2
 ——(2)
当x0时 由原方程得y(0)1 由(1)式得
y(0)   1  由(2)式得 y(0)  1
e
e2
P125 总习题二
dy
11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
dx
d2y
及二阶导数 2
dx
(2) x  ln 1 t 2

 y  arctant
解 (2)
1
dy (arctant) 1 t 2 1



t
dx [ln 1 t 2 ]
t
1 t 2
1)
 12
(
2
d y
1

t
t
t


 3
2
2
t
dx [ln 1 t ]
t
1 t 2
2
14 利用函数的微分代替函数的增量求 3 1.02
的近似值
解 设 f (x)  3 x
则有 f (1 x)  f (1)  f (1)x  1 x  或 f (1 x) 1 1 x
3
3
3
于是
1.02  3 1 0.02 1 1 0.021.007
3