Transcript 第二章 解析函数

复变函数论
主讲：王明华
第二章 解析函数
§1：解析函数的概念与C-R方程
§3：初等多值函数
1、复变函数的导数与微分
1、根式函数
2、Cauchy-Rieman方程
2、对数函数
3、解析函数概念
3、一般幂函数与一般指数函数
4、解析函数简单性质
§2：初等解析函数
1、指数函数
2、三角函数与双曲函数
4、反三角函数
5、具有多个有限支点的情形
§1 解析函数的概念与C-R方程
1、复变函数的导数与微分
定义1：设 w  f (z ) 是在区域D内确定的单值函数，并且，z0  D。如果极限
lim
z  z 0 , zD
f ( z )  f ( z0 )
z  z0
存在，为复数a，则称 f (z ) 在 z0 处可导或可微，极限 a称为 f (z )
df
dw
在 z0 处的导数（微商），记作 f ' ( z0 )，或 dz
注1：
z  z0
或 dz
。
z  z0
z  z0 的方式是任意的
'
注2： 若 w  f (z ) 在z处可导，则 f  z  dz 为w 
即 dw  df  z   f '  z  dz 。
注3： w  f (z ) 在z处可微 
f (z ) 在z处的微分。记为 dw, df  z 
w  f (z ) 在z处连续，但反之不成立。
在复变函数中，处处连续但处处不可微的函数是随手可得，而实函数则不然。
定义2：若 w  f (z ) 在D内处处可微，则 w  f (z ) 在D内可微。
例1：讨论 f  z   Re z 在z平面的连续性与可微性。
解：显然 f  z   Re z  x 在 z 平面处处连续。但是
由于
f  z  z   f  z 
f
x


z
z
x  iy
f
f
f
lim
 1, lim
0
lim
z 0 z
z  0 z
，故
不存在，从而 f
z  0
y  0
x  0
z
例2：证明w  z  n 
n
dz
 在 z 平面可微，且
n
dz
 nz n1
 z   Re z 在 z
平面处处不可微。
。
证明：（略）
2、Cauchy-Rieman方程
定理1（可微的必要条件）：若 f  z   u  x, y   iv  x, y 在
1） u x , u y , vx , v y 在  x, y  存在
z  x  iy处可微，则
2） u , v 在 x, y  满足：u x  v y , u y  vx ——Cauchy-Rieman方程
证明：（略）
'
注4：若 f  z  可导，则 f  z   ux  ivx  vy  iu y
注5：C –R方程是可微的必要条件，而非充分条件。（P53,例2.6）
定理2（可微的充要条件）：若 f  z   u  x, y   iv  x, y 在 z  x  iy 处可微
 u , v 在 x, y  可微且满足C –R方程。
证明：（必要性）设 f (z ) 在 z  x  iy  D 有导数   a  ib ，根据导数的定义，当
z  z  D 时（ z  0）
f ( z  z )  f ( z )  z  o(| z |)  (a  ib )( x  iy )  o(| z |)
其中，z  x  iy 。比较上式的实部与虚部，得
u ( x  x, y  y )  u ( x, y )  ax  by  o(| z |)
v( x  x, y  y )  v( x, y )  bx  ay  o(| z |)
因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有
u
x
 a,
u
y
因此，柯西-黎曼方程成立。
 b, vx  b, yv  a
（充分性）设u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：
u
x
设
u
x

v
y
u
y

v
x
 a, vx  b, 则由可微性的定义，有：
u ( x  x, y  y )  u ( x, y )  ax  by  o(| z |)
v( x  x, y  y )  v( x, y )  bx  ay  o(| z |)
令z  x  iy，当 z  z  D (z  0) 时，有
f ( z  z )  f ( z )  z  o(| z |)  (a  ib )( x  iy )  o(| z |)
令  a  ib ，则有
lim
z 0
f ( z  z )  f ( z )
o(| z |)
 lim ( 
) 
z 0
z
z
所以， f  z  在点 z  x  iy  D 可微的。
推论（可微的充分条件）：设 f  z   u  x, y   iv  x, y  在 z  x  iy 处满足
1)
u x , u y , vx , v y 在  x, y 连续
2) u , v 在 x, y  满足C –R方程。
则
f  z   u  x, y   iv  x, y 在
z  x  iy 处可微
例3：证明 xy 在 z  0 满足C –R方程，但不可微。
证明：（略）
3、解析函数概念
定义3：若 w  f (z ) 在区域D内可微，则称 f  z  为区域D内的解析函数，或称 f  z 
在区域D内解析。
注6：解析函数与相伴区域密切联系的。
定义4：若 w  f (z ) 在 z0 的某领域内解析，则称 f  z  在 z0 解析。
注7：函数在区域内解析与可微等价，而在一点解析要比在一点可微强的多。
注8： f  z  在闭区域 D上解析是指 f  z  在包含D 的某区域解析。
定义5：若 f  z  在 z0 不解析，但在 z0 的任一领域内总有 f  z  的解析点，则
z0 为 f  z  的奇点。
4、解析函数简单性质
定理3：若 f  z  , g  z  在区域D内解析，则 f ( z )  g ( z ), f ( z ) g ( z ), f ( z ) / g ( z )
（分母不为零）也在区域D内解析，且有
( f ( z )  g ( z ))'  f ' ( z )  g ' ( z )

[ f ( z ) g ( z )]'  f ' ( z ) g ( z )  f ( z ) g ' ( z )
f (z)
g(z)

'
f '( z ) g ( z )  f ( z ) g '( z )
定理4：（复合求导法则）：设 
[ g ( z )]2
w  F ( )
 f (z ) 在z平面上的区域D内解析，
在  平面上的区域D1内解析，而且当 z  D 时，  f ( z)  D1，那么复合
函数w  F [ f ( z )] 在D内解析，并且有
dF[ f ( z )] dF ( ) df ( z )

dz
d
dz
定理5：设函数 f  z   u  x, y   iv  x, y  在区域D内解析 u , v在D内可微，且
u , v 满足C-R方程。
推论：若 f  z   u  x, y   iv  x, y 在区域D内满足
1）
u x , u y , vx , v y 在区域D内连续；
2） u , v在区域D内满足C –R方程。
则 f  z  在区域D内解析。
例4：讨论下列函数的解析性
n
1）P( z)  a0  a1z  ...  an z  an  0
P( z ) a0  a1 z  ...  an z n
2） Q  z   b  b z  ...  b z m  an  0, bm  0 
0
1
m
3） f  z   ex  cos y  i sin y 
2
4） f  z   x  iy
注9：判别函数解析的方法
1）定义；2）运算法则；3）C –R条件
例5：若 f '  z   0, z  D ，则 f  z   c 常数
证明：因为 f '  z   ux  ivx  vy  iu y ，所以 u x  u y  0, vx  v y  0 ，从而
u  x, y  , v  x, y  在D内为常数，故 f  z  为常数。
例6：若 f  z  在区域D内解析且非常数，则 f  z  在D内不解析。
证明：（略）。
§2 初等解析函数
1、指数函数
1.1 定义
z
x
z
定义：对复数 z  x  iy，如下定义指数函数 e ：e  e  cos y  i sin y 
1.2 性质
z
z
x
z
1） e  0; e  e , arg e  y
'
z
2） e 在全平面解析，且 e z   e z
z1  z2
 e e ，e
3） 加法定理成立即 e
z
4） e 是以 2 i 为周期的周期函数
z1
z2
z1  z2
e z1
 z2
e
e z 不存在。
5） lim
z 
注1：定义中令 x  0 得到欧拉公式：eiy  cos y  i sin y
注2： ez
1
 ez2  z1  z2  2k i;  k  1, 2

2、三角函数与双曲函数
2.1 定义
定义2：对复数 z  x  iy，如下定义正弦函数sin z 、余弦函数 cos z
eiz  eiz
eiz  eiz
sin z 
, cos z 
2i
2
注3：合理性：因为 e
iy
cos z 
eiy  eiy
2
 cos y  i sin y ，e
 iy
eiy  eiy
,
 cos y  i sin y，所以 sin y 
2i
。
2.2 性质
'
1）、 sin z ，cos z 在全平面解析，且有  sin z   cos z ， cos z   sin z ；
2）、 sin z 为奇函数，cos z 为偶函数。且遵从三角恒等式；
'
3）、 sin z ，cos z 以 2 为周期；

4）、 sin z 以 z  n ,  n  0, 1  为零点，cos z 以 z  n  2 ,  n  0, 1  为零点。
5）、 sin z ，cos z 可大于1，且可趋于无穷大（分析中 sin x  1 cos x  1）
注4：规定：tan z 
sin z
cos z
1
1
;cot z 
,sec z 
, csc z 
cos z
sin z
cos z
sin z
e z  e z
e z  e z
sinh z
注5：规定：sinh z  2 , cosh z  2 , tanh z  cosh z
coth z 
cosh z
1
1
,sec hz 
, csc hz 
sinh z
cosh z
sinh z
注6：由定义2有：eiz  cos z  i sin z（Euler公式推广）
例：求 sin 1  2i  的值 。
解：
ei1 2i   e i1 2i  e 2i  e 2i e
sin 1  2i  


2i
2i
2
 cos1  i sin1  e2  cos1  i sin1
2i
e2  e2
e2  e2

sin1  i
cos1  cosh 2sin1  i sinh 2cos1
2
2
§3
初等多值函数
I．预备知识
定义1：设 w  f  z  , z  D。若 z1 , z2  D, z1  z2 ，有 f  z1   f  z2  。则称
w  f  z  在D内是单叶的，D称为 f  z  的单叶性区域。若z1 , z2  D, z1  z2 ，
但 f  z1   f  z2  ，则称 w  f  z  在D内是多叶的。
II．要求掌握
1）、多叶函数与多值函数的关系
2）、函数产生多值的原因
3）、如何从多值函数分出单值分支
1、根式函数
根式函数 w  n z为幂函数的 z  w 的反函数。
n
1.1 幂函数的影射性质及单叶性区域
1） z  w ：在w 平面单值解析，把扩充 w 平面变成扩充z平面，是多叶的；
n
2）w  z ：w  z  n z e
n
n
i
arg z  2 k
n
,  k  0,1,
n  1 在z平面多值（n值）；
（每一 z  0 ，对应于w平面上的n个点，分布在原点为心的正n角形顶点上）；
n
n
i
i
3） z  w ：令 z  re , w   e ，则 r   ,  n （见课本P45）
2
2 k

2 k

  
 ,
所以 z  w 把w 平面夹角为 n 的角形区域  k :
n
n
n
n
k  0,1, n  1 变成z平面出去原点和负实轴的区域。 ……………（*）
n
注：（*）是 z  w 的单叶性区域的一种分法，一般，以原点为顶点，夹角不超过
n
2
n
的角形区域均是 z  w 的单叶性区域。
n
1.2 分出 w  n z 的单值解析分支
w n z  n ze
i
arg z  2 k
n
,  k  0,1,
n  1
w  n z 出现多值的原因是由于z给定后，Argz 不唯一确定
1） 在几何上：在z平面从原点0到  任引一无界简单曲线将z平面割破，
记此区域为G，在G内可得 w  n z 的几个连续单值分支：
wk 
 z

n
ze
n
i
arg z  2 k
n
k
2） 代数上：
w z 
n
n
ze
i
arg z  2 k
n
,  k  0,1,
,  k  0,1,
n  1 , z  G
n  1
指定Argz ，因而指定数k，从而确定出 w  n z 的连续单值分支。由于k取
0,1,
n  1后，其余的结果与前重复，故可确定几个连续单值分支。
注1： d
 z
n
dz
k
1

n
 z
n
z
k
, z G
1.3 w  n z 的支点及其割线
（图见课本P68）
定义2：若动点 z 绕 a 一周后，多值函数从一支变到另一支，即动点回到原来
位置时，函数值与原值不同，则称 a 为此多值函数的支点。
定义3：用来割破 z 平面，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数
的支割线。
注2： w  n z 以 0 ， 为支点。
注3：若取负实轴为支割线，而得出w  n z 不同的单值分支，对其中
w0 
 z

n
0
n
ze
i
arg z
n
   arg z    为其主值支。
注4：一般割线分为两岸，每一单值分支在两岸取值不同。
如 w  n z 的主值支，上岸的点 z   x  x  0的辅角为，下岸的点 z   x  x  0
的辅角为 
注5：w  n z 表示多值函数的总体，有时也用来表示某一特定分支。
例1：设w  3 z 定义在沿负实轴割破 z 平面上，且w i   i, 求w  i  .
解：w 
3
z
3
ze
i
arg z  2 k
3
  arg z  
,  k  0,1, 2  ，
1）由 w  i   i, 确定 w  3 z是哪一支
w i   3 i  3 i e
i
arg i  2 k
3
ik 2
2）求 w  i 
w  i   3 i 
3
i e
i
arg   i   2 k
3

e
  4
i 2
3

3 i
2
2、对数函数
2.1 定义
w
定义4：规定对数函数w  L n z 为指数函数 z  e  z  0,  的反函数。
i
i
u  iv
u iv
注1：令z  re ，w  u  iv ，则 re  e  e e ，从而
u  ln r v    2k ，k  0, 1, 。所以 Lnz  ln r  i   2k  , k  0, 1,
即
Lnz  ln z  i  arg z  2k   ln z  iArgz, k  0, 1,
注2： ln z  ln z  i arg z,    arg z    ------Lnz 的主值支；
故
Lnz  ln z  i2k
k  0, 1,
注3：若 a  0，则 Lna  ln a  i 2k , Ln  a   ln a  i   2k  , k  0, 1,
2.2 性质
1） w  L n z 多值（无穷多值）
2）负数有对数
z
3） L n  z1  z2   Lnz1  Lnz2 ; Ln z1  Lnz1  Lnz2
2
2.3 指数函数的映射性质及单叶性区域
(图见课本P76)
一般，z  e 把宽为 2 的带形区域 Bk : 2k      2k   ,  k  0, 1,
w
 变成
z 平面除去原点和负实轴的区域。
注4：宽不超过 2 的带形区域均是 z  e w的单叶区域，Bk : 2k      2k   ,
 k  0, 1,  是单叶区域的一种分法。
2.4 分出 w  L n z 的单值解析分支
w  Lnz  ln z  i  arg z  2k  , k  0, 1,
wk  Lnk z  ln z  i  arg z  2k  , k  0, 1,
出现多值的原因是由于 z 给定后，Argz不唯一确定。
1）从几何上：在 z 平面从原点 o 到  任引一条无界简单曲线将 z平面割破（一
般割破负实轴），记此区域为G，则在G上可以分出 Lnz 的无穷多个不同的连续
单值分支。
2）代数上：指定 Argz ，即指定 k
d
1
注5： wk  Lnk z 在G内解析，且 dz  Lnk z   z , z  G, k  0, 1,
注6：以0， 为支点，支割线为连接 o和 任一条无界简单曲线
3、一般幂函数与一般指数函数
3.1 一般幂函数
定义5：对复数 z  z  0,  ，如下定义一般幂函数：w  z a  eaLnz  a  0, 的复常数
性质：
1）a为整数时，z a是单值的；
2）a为有理数时，即 a  既约分数 z a 是p值的；
q
p
3）a为无理数或虚数时，z a是无穷多值的；
4） z a是多值时，其单值解析分支方法与 Lnz 相同，且仍以 z  0,  为支点，
dz a
a 1
且 dz  az （对单值分支）。
3.2一般指数函数
z
zLna
定义6：对复数 z  z  0,   ，如下定义一般指数函数：w  a  e  a  0, 的复常数
注7：w  a 是无穷多个独立，在 z 平面单值解析的函数。
z
例1：求 21i
解：
21i  e
1i  Ln 2
 e
1i ln 2i 2 k 
 e
ln 22 k i  ln 2 2 k 
 eln 22k  cosln 2  i sin ln 2 , k  0, 1,
4、反三角函数
定义7：规定反正弦函数 w  Arc sin z为正弦函数 z  sin w 的反函数。
eiw  eiw i 2 w
, e  2izeiw  1  0
注8：因为 z  sin w ，有z 
2i
解出 eiw  iz 
所以 w  i Ln  iz 
1
例2：求 Arc tan  2i 

1  z 2 ，iw  Ln iz  1  z 2
1 z2


例3：Bernoulli诡论：z  0, 有 Ln   z   Ln  z 
2
2
2
证明：因为1）   z   z 2 ，2）Ln   z   Lnz ，3）Ln   z   Ln   z   Lnz  Lnz
4） 2Ln   z   2Lnz ；5）Ln   z   ln z。
说明：由3）不能推出4）： 2 Lnz  Lnz  Lnz , Lnz  Lnz  2Lnz
5、具有多个有限支点的情形
例4：试证 f  z   3 z 1  z  在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在
z  2 取负值的解析分支在 z  i 的值。
例5：作出一个含 i 的区域，使得函数
w  z( z  z)( z  2)
在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在 i 点的值。
解：由于
1
2
w | z ( z  1)( z  2) | e
i
[ Argz Arg ( z 1) Arg ( z 2)]
2
1
2
我们先求函数w的支点。因为 z 的支点是0及无穷远点，所以函数w可能的
支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、 1、2，
并使其内区域含0，但不包含1及2。设 z1是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)
及Arg(z-2)在这点的值分别为 arg z1, arg( z1  1), arg( z1  2)。当z从 z1 按反时针方向
沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，arg z1 增加了2 ，而
arg( z1  1), arg( z1  2) 没有变化，于是w在
z1的值就从
1
2
| z1 ( z1  1)( z1  2) | e
i
[arg z1 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
 w1
连续变动到
1
2
| z1 ( z1  1)( z1  2) | e
i
[arg z1 2 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
因此0是函数w的一个支点；
 w1
同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但
不包含0及2。设 z1 是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为
arg z1, arg( z1  1), arg( z1  2) 。当z从 z 按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动
1
可以看到，arg( z1  1) 增加了2 ，而 arg z1, arg( z1  2)
没有变化，于是w在 z1 的值就从
1
2
| z1 ( z1  1)( z1  2) | e
连续变动到
1
2
| z1 ( z1  1)( z1  2) | e
i
[arg z1 arg( z1 1)arg( z1 2)]
2
 w1
i
[arg z1 arg( z1 1)2 arg( z1 2 )]
2
 w1
因此，1也是函数w的一个支点；
同理，2和无穷远点也是它的支点。
支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。
首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为
割线，在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取 [0,) 作为复平面上这样
的割线，得区域D。
其次，任作作一条简单连续闭曲线 C1 ，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含
这三个点中的两个，但不包含另外一点。设 z2 是C1 上一点，确定w在 z2 的一个值，
同样的讨论，有当z从 z2 沿 C1 连续变化一周回到 z2 时，连续变化而得的值没有变化。
所以，我们可以作为割线如下，取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的射线为
割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。
例如可取[0,1]及 [2,) 作为复平面上的割线，得区域 D1 。
求w在上述区域中的一个解析分支
w  z( z  z)( z  2) (w(1)   6i)
在z=i的值。
在z=-1，取
arg z   , arg( z  1)   , arg( z  2)   ,
于是在D或 D1 内，w可以分解成两个解析分支
1
2
i
[arg z  arg( z 1)  arg( z  2 )  2 k ]
2
1
2
i
[arg z  arg( z 1)  arg( z  2 )] ki
2
w | z ( z  1)( z  2) | e
| z ( z  1)( z  2) | e
(k  0,1)
由于所求的分支在z=-1的值为  6i ，可见这个分支是
1
2
w | z( z  1)( z  2) | e
i
[arg z arg( z 1)arg( z 2)]
2
由下图可以得到，在D或 D1 内z=i处，
3
,
2
4
1
arg( z  2)    arctan ,
2
因此w的所求分支在 z=i 的值是
arg z 
 10e
4

, arg( z  1) 
i 
1
( arctan )
2 4
2
  10e
4
i
1
arctan
2
3
本章《完》