Transcript 第10讲

3.2 夫琅和费衍射——远场衍射
3.2.1 夫朗和费衍射的装置
3.2.2 夫朗和费单缝衍射
3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射
3.2.4 夫朗和费圆孔衍射
3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）
3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射
b
a
衍射图样的主要特征：衍射亮斑集中分布在相互垂直的 x
轴和 y 轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。
~
 ik ( xx1  yy1 ) / f
E ( x, y )  C  e
dx1dy1
1. 光强分布公式

透镜焦平面上 P(x, y)点的光场复振幅：
b/2
~
E ( x, y )  C 

a/2
b / 2  a / 2
e
ik ( xx1  yy1 ) / f
dx1dy1
~ sin  sin 
 E0


~
~
E 0  E 0 ( 0 , 0 )  Cab

是观察屏中心点 P0 处的光场复振幅；
a, b 分别是矩形孔沿 x1, y1 轴方向的宽度；
而

kax
2f

kby
2f
则在 P(x,y) 点的光强度为：
2
 sin    sin 
I ( x, y )  I 0 
 
    



2
式中，I0 是 P0 点的光强度，且有 I0= |Cab|2 。
即矩形孔衍射的相对强度分布等于两个正交单缝衍射
因子的乘积。由此可见，夫琅和费矩形孔衍射，实质上是
两个正交方向上的单缝衍射因子共同起作用的结果。
2. 结果分析与讨论
(1) 衍射光强分布
(2) 中央亮斑
(3) 衍射图样
(1) 衍射光强分布
对于沿 x 轴的光强度分布，因 y = 0，有:
 sin  
I  I0 

  
2
当  = 0 时(对应于P0点)，有主极大，IM /I0 = 1 。
在 = m (m=±1,±2,…) 处，有极小值，Im= 0，相应的点
是暗点，暗点的位置为:
xm
2 πf
ka
m
f
a
相邻两暗点之间的间隔为:
Δx 
f
a
在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置:
2

d  sin   
 0

d    
即
tan   
图解法求解结果
0

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2 
0.0
0

2

夫朗和费矩形孔衍射在 y 轴上的光强度:
 sin 
I  I 0 
 



2
其分布特性与x 轴类似。
在 x, y 轴以外各点的光强度，可按夫琅和费矩孔衍射的
总光强分布公式进行计算。
尽管 xOy 面内存在一些次极大点，但其光强度极弱。
夫朗和费矩形孔衍射图样中
一些特征点的相对强度
(2) 中央亮斑
矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x,
y 轴上的位置是：
x
f
和
y
a
b
4f 
2
中央亮斑面积为： S0 
f
2
ab
说明：中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长
和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦然。
注意：
2
I 0 | Cab | 
2
2
Aab
2
f 
2
2
可见，随衍射孔的减小，虽然中央亮斑增大，但相应的
P0 点光强度愈小。
(3) 衍射图样
对于方形孔径：a = b，沿 x, y 方向有相同的衍射图样。
对于矩形孔径：a  b，衍射图样沿x、y 方向形状相同、线
度不同。
a>b
a<b
3.2.4 夫朗和费圆孔衍射
由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论
圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际
意义。
夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的
讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，
采用极坐标处理更加方便。
1. 光强分布公式
y1
Q

11
O1
y
P
x1


O
 
x
P0
设圆孔半径为 a ，中心 位于光轴上，圆孔上任一点 Q 的坐
标 1、1与相应直角坐标关系：x1=1cos 1 ，y1=1sin 1
类似地，观察屏上任一点 P 的位置坐标、与相应直
角坐标的关系为：
x   cos  ,
y   sin 
按照衍射积分方程，在经过坐标变换后，P点的光场复振幅
可表示为：
a 2π
~
ik1 cos(1  )
E ( , )  C   e
ρ1d1d1
0
式中  

0
是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。
f
~
 ik ( xx1  yy1 ) / f
E ( x, y )  C  e
dx1dy1

根据零阶贝塞尔函数的积分表示式：
J 0 ( x) 
1

2π
2π
e
ix cos
d
0

~
可得： E (  ,  )  C
2
πJ
(
k


)

d

0
1
1
1

0
其中利用了 J0(k1 ) 为偶函数的性质。
再由贝塞尔函数的性质：
 xJ
0
( x)dx  xJ1 ( x)
2 πC
~
得： E
( , ) 
2
( k )

ka
0
( k1 ) J 0 ( k1 )d ( k1 )
2

2 πa C
ka
J1 ( ka )
 2J1 ( ka ) 
则 P点光强： I (  ,  )  ( πa ) | C |
 ka 


2
2
2
 2 J1 (  ) 
 I0 

  
I 0  S ( A / f )— P0 点光强；
2
2
2
2
S  πa —圆孔面积
2
  ka —圆孔边缘与中心点沿 方向光线间的光程差
2. 结果分析与讨论
(1) 衍射图样
 2 J1 (  ) 
I ( , )  I 0 

  
2
  ka
光强度分布仅与衍射角 (或 )有关，而与方位角 无
关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。
(2) 衍射图样的极值特性
由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的
光强分布公式进一步表示为：
2




 2J1 ( ) 

 1 

 
2
4

I0   
2!2
2!3!2


I
2
4
2
当 = 0 时，对应光轴上的 P0 点，有 I = I0 ，衍射光强主
极大。
当 满足 J1() = 0 时， I = 0，衍射光强极小（暗环）。
相邻两个暗环之间存在一个衍射次极大，其位置由满足下
式的  值决定：
d  J1 ( ) 
J 2 ( )

0


d   

1.0
I/I0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6

8 10
衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，距离中心越远，
间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。
(3) 爱里斑
中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的 83.78% ，称之为
爱里斑。其半径 0 由第一光强极小值处的  值决定：
10 
因此
ka 0
 0  1.22 f
 1.22π
f

 0.61 f
2a
或以角半径 0 表示：  0 

a
0
f
 0.61

a
爱里斑的面积：
S0 
(0.61πf )
2
S
圆孔面积 S 愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。
只有在 S = 0.61f 时，S0 =S 。
3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）
1. 瑞利判据
2. 几种光学成像系统的分辨本领
1. 瑞利判据
从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因
此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当
是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。
但实际上光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的
有限性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通
常，由于光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，所
以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。
设有 S1 和 S2 两个非相干点光源，间距为 ，它们到直
径为 D 的圆孔距离为 R，则 S1 和 S2 对圆孔的张角  为：


R
由于圆孔的衍射效应，S1和 S2 将分别在观察屏上形成
各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则
 0  0.61

a
 1.22

D
S1
0
S2
S1
S2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
6
8
10
12
14
6
8
10
12
14
X Axis Title
S1 
=0
S2 
S1
S2
-10
-8
-6
-4
-2
S1
S2
0
2
4
X Axis Title


0
S1
S2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
X Axis Title
两个点物的衍射像的分辨
根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置
与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为
光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨
开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强
度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5 (对于缝隙
形光阑，约为81%)。
于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像
的爱里斑角半径 0 决定了该系统的分辨极限。
2.几种光学成像系统的分辨本领
(1) 人眼睛的分辨本领
(2) 望远镜的分辨本领
(3) 照相物镜的分辨本领
(4) 显微镜的分辨本领
(1) 人眼睛的分辨本领
人眼的成像作用可等价于单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔
直径约为 1.5～6 mm（视入射光强而定)。当人眼瞳孔直径
为2mm 时，对于最敏感的光波波长 = 0.55m，计算可得
人眼的最小分辨角 e 为：
 e  1.22

4
 3.3 10 rad
De
通常实验测得的人眼最小分辨角约为 1 (=2.9×10-4rad)，
与计算结果基本相符。
(2) 望远镜的分辨本领
望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物
镜的圆形通光孔直径为 D，若有两个物点恰好能为望远镜所
分辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角 为：
   0  1.22

D
这就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的
直径 D 愈大，分辨本领愈高，并且像的光强也愈大。
例如，天文望远镜物镜的直径做得很大( ~10m )，原因
之一就是提高分辨本领。对于 = 0.55m 的单色光来说，其
最小分辨角 α= 0.023 = 1.12×10-7rad，比人眼的分辨本领要
大三千倍左右。
通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨
本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜
放大后等于眼睛的最小分辨角，即：
M 
e


D
De
(3) 照相物镜的分辨本领
照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片大
致与其焦平面重合。若照相物镜孔径为D，相应第一极小的
衍射角为0，则底片上恰能分辨的两条直线的间距  为：

 '  f 0  1.22 f
D
习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成
多少条恰能分开的线条数 N 表示：
N 
1
'

1
D
1.22 f
式中，D / f 是照相物镜的相对孔径
可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。
例如，对于 D/f = 1:3.5 的常用照相物镜，若 =0.55m，
则N=1490×1/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本
领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜
的分辨本领。
对于上面的例子，应选择分辨本领大于425 条/mm
的底片。
(4) 显微镜的分辨本领
显微镜由物镜和目镜组成，一般情况下系统成像孔径
为物镜框，因此限制显微镜分辨本领的是物镜框(孔径光阑)。
S2
S1
u
u
0

l
物面
S1 
S2 
像面
点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜焦距很短，
所以S1 和S2 发出的光波以很大的孔径角入射到物镜，其像
S1和S2离物镜较远。虽然S1 和S2 离物镜很近，它们的像也
是物镜边缘(孔径光阑)的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半
径为：
0  l '  0  1.22
l' 
D
其中，l 是像距；D是物镜直径。
如果 =0，则按照瑞利判据，两衍射图样刚好可以分
辨，此时的二点物间距  就是物镜的最小分辨距离。
由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)正弦条件：
n sin u  n  sin u
n 和 n 分别是物方和像方折射率，在 n =1 时，l >> D 。
sin u   u  
D/2
l
所以，能分辨两点物的最小距离为：
 
 ' sin u '
n sin u
 1.22
l '  D / 2l '
D n sin u

0.61
n sin u
式中，NA= n sinu 为物镜的数值孔径。

0.61
NA
由此可见，提高显微镜分辨本领的途径：
① 增大物镜的数值孔径；
② 减小波长。
例如，电子显微镜利用电子束的波动性成像，由于其波
长可达10-3nm，因而分辨本领将比可见光显微镜提高几十万
倍，只是由于电子显微镜的数值孔径较小，其分辨本领实际
上仅提高千倍以上。
作
业
3，5，8，12