Transcript 第十三章动能定理
第十三章 动能定理 主要内容 §13.1 力的功 §13.2 质点和质点系的动能 §13.3 动能定理 §13.4 功率 功率方程 机械效率 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 §13.6 普遍定理的综合应用举例 动能定理 自然界有许多种运动形式，这些运动形式本质上相互区 别，但又相互依存，相互联系，并在一定条件下相互转化。 例如：机械运动可以转化为电、热、声、光、磁等等，反过 来，电、热、声、光、磁也可以转化为机械运动。各种运动 形式的转化，是通过能量来相互联系的。能量是各种运动形 式的度量。物体作机械运动时所具有的能量称为机械能，它 包括动能、势能。 这一章我们研究动能、势能与力的功之间的联系以及功 率，功率方程等内容。这一章有两个重点：动能定理和机械 能守恒定理，四个关键：A、力的功的计算，B、质点系动能 的计算，C、质点及质点系势能的计算，D、机械能守恒的条 件。 §13.1 力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 一、常力的功 W F cos s 式中 为力 F 与直线位移方向之间的夹角。功是代数量，在 国际单位制中，功的单位为 J （焦耳）。1J 1N 1m 二、变力的功 质点 M 在变力 F 作用下沿曲线运动，如图。力 F 在无限小位 移 dr 中可视为常力，经过的一小段弧长 ds可视为直线， dr 可 视为沿点 M 的切线。在一无限小位移中力作的功称为元功， W 记之 。 M 于是有 M W F cos ds M1 ds dr M2 F () §13.1 力的功 力在全路程上作的功等于元功之和，即 S W F cos ds 0 上两式也可以写成以下矢量点乘形式 W F dr M1 W F dr (1) M1 由上式可知，当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。 在直角坐标系中，i , j , k 为三坐标轴的单位矢量，则 F Fxi Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk 将以上两式代入式（1），得到作用力从 M 到 M 的过程中所 作的功。 M 1 W12 2 M1 ( Fx dx Fy dy Fz dz ) 2 §13.1 力的功 三、常见力的功 z 1、重力的功 质点质量为 m M1 z1 mg M2 o 重力作功为 W12 mg ( z1 z2 ) z2 y x 重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差 ( z1 z2 ) 有关， 与运动轨迹的形状无关。 质点系 W 12 mg ( zC1 zC 2 ) 式中 m 为质点系全部质量之和，( zC1 zC 2 ) 为运动始末位置其质 心的高度差。质点系重力作功仍与质心的运动轨迹形状无关。 §13.1 力的功 2、弹性力的功 k 2 2 W ( 1 2 ) 2 1 ——初变形， 2 ——末变形 k ——弹簧常数 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运 动的路径无关。 z 3、定轴转动刚体上作用力的功 F 设力 F 与作用点 A 处的轨迹切线之间的 夹角为 ，如图 则力 F 在切线上的投影为 F F cos 当刚体绕定轴转动时，转角 与弧长 s 的关系为 ds Rd O1 A O r F §13.1 力的功 式中 R 为力作用点 A 到轴的垂距。力 F 的元功为 W F dr F ds F Rd 因为 F R 等于力F 对于转轴 z 的力矩 M z ，于是 W M z d 力 F 在刚体从角 1 到 2 转动过程中所作的功为 2 W12 M z d 1 如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算， 其中 M z 为力偶对转轴 z 的矩，也等于力偶矩矢 M 在 z 轴上的 投影。 4、平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代 数和。 §13.1 力的功 平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和 力偶作功之和。 C2 2 W12 FRdrC M C d C1 1 这个结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体 上任意一点。 5、万有引力的功 Mm F k 3 r 为作用在质点m上的万有引力，r 为质点m的矢径。 r Mm Mm kMm ) 其元功为 W F dr k 3 r dr k 2 dr d ( r r r M2 kMm 1 1 W1,2 d ( ) kMm( ) M1 r r2 r1 万有引力的功也与路径无关，只与始末位置有关，它的元功 是某个函数的全微分。 §13.1 力的功 6、作用在速度瞬心上的力的功 设一刚体沿某一固定表面做无滑动 的滚动，作用在接触点B处的滑动摩擦 力 F 阻碍着这两个物体之间发生相对滑 动，则 F 的元功为 W F drB ，因为B 点是刚体的速度瞬心 vB 0, 所以 drB vB dt 0 B F N 因此 W 0 ，即刚体沿固定表面作纯滚动时，接触点处摩擦 力的功为0。一般地说作用在速度瞬心上的力的元功是等于0 的。 §13.2 质点和质点系的动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强 弱的又一种度量。 一、质点的动能 设质点的质量为 m ，速度为 v 1 2 ，则质点的动能为 2 mv 动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位为 J 二、质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即 1 T mi vi 2 2 刚体是由无数质点组成的质点系，将刚体的运动分解为随同质 心的平动和相对于质心的转动，据此计算某些问题中的动能较 为方便： §13.2 质点和质点系的动能 1、平动刚体的动能 刚体作平动时，各点的速度都相同，可以质心速度 vC 为代表， 于是平动刚体的动能为 1 1 1 T mi vi 2 vC 2 mi mvC 2 2 2 2 式中 m mi 是刚体的质量。 z 2、定轴转动刚体的动能 刚体绕 z 定轴转动时，如图，其中任一 点 mi 的速度为 vi ri ，式中 是刚体的 角速度， ri 是质点 mi 到转轴的垂距。于 是绕定轴转动刚体到 动能为 1 1 1 1 T mi vi 2 ( mi ri 2 2 ) 2 mi ri 2 J z 2 2 2 2 2 ri mi vi §13.2 质点和质点系的动能 3、平面运动刚体的动能 作平面运动的刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心 转动的动能和。 1 1 2 T M vC J C 2 2 2 §13.3 动能定理 一、质点的动能定理 dv m F 取质点运动微分方程的矢量形式 dt dv m dr F dr 在方程两边点乘 dr ，得 dt 因 dr vdt ，于是上式可写成 mv dv F dr 或 1 d ( mv 2 ) W 2 即质点动能定理的微分形式 积分上式得 1 2 1 2 mv2 mv1 W12 即质点动能定理的积分形式 2 2 二、质点系的动能定理 质点系内任一质点，质量为 mi ，速度为 vi ，根据质点动能 定理的微分形式，有 d ( 1 m v 2 ) W 2 i i i §13.3 动能定理 设质点系有 n 个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方 程，将 n 个方程相加，得 n n 1 2 d ( mi vi ) Wi 2 i 1 i 1 或 1 d ( mi vi 2 ) Wi 2 即 dT Wi 为质点系动能定理的微分形式 对上式积分，得 T2 T1 W i 为质点系动能定理的积分形式 §13.3 动能定理 例 题 13-1 质量为m的物体，自高 m Ⅰ 处自由落下，落到下面有 弹簧支持的板上 ，如图所 h Ⅱ smax Ⅲ 示。设板和弹簧的质量都 忽略不计，弹簧的刚度系 数为k。求弹簧的最大压缩 量。 §13.3 动能定理 例 题 13-1 运 动 演 示 §13.3 动能定理 例 题 13-1 m Ⅰ h Ⅱ 解：物体从位置Ⅰ落到板上时是自由落体 1 运动，速度由0增到v1，动能由0变为 mv12 。 2 在这段过程中，重力作的功为mgh。 应用动能定理得 smax 1 2 mv1 0 mgh 2 Ⅲ 求得 v1 2gh §13.3 动能定理 例 题 13-1 物体继续向下运动，弹簧被压缩，物 m Ⅰ 体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧 被压缩到最大值 smax 。 h Ⅱ smax Ⅲ 在这段过程中重力作的功为 mgsmax ，弹 簧力作的功为 1 2 k 0 smax 2 。 应用动能定理得 1 2 1 2 0 mv1 mgsmax ksmax 2 2 §13.3 动能定理 例 题 13-1 1 2 1 2 0 mv1 mgsmax ksmax 2 2 m Ⅰ 求得 smax h Ⅱ smax Ⅲ mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k 由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答 案取正号，即 smax mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k §13.3 动能定理 例 题 13-1 同时也可把上两段合在一起考虑， 即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大 m Ⅰ 值的过程应用动能定理。 在这一过程的始末位置质点的动能 h Ⅱ smax Ⅲ 都等于零。在这一过程中，重力作的功 为 mg(h+smax) ，弹簧力作的功同上， 于是有 0 0 mg (h smax ) k 2 smax 2 解得的结果与前面所得相同。 §13.3 动能定理 例 题 13-2 O M C D θ 卷扬机如图所示。鼓轮 在常力偶M的作用下将圆柱 沿斜坡上拉。已知鼓轮的半 径为R1 ，质量为m1 ，质量分 布在轮缘上；圆柱的半径为 R2 ，质量为m1 ，质量均匀 分布。设斜坡的倾角为θ， 圆柱只滚不滑。系统从静止 开始运动，求圆柱中心C经 过路程s时的速度与加速度。 §13.3 动能定理 解： 圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于 该质点系的外力有：重力m1g和m2g ，外力偶 M，水平轴支反力FOx和FOy ，斜面对圆柱的 FOy 作用力F 和静摩擦力F 。 N s ω2 FOx 应用动能定理进行求解，先计算力的功。 O ω1 M C m1g m2g 因为点O没有位移。力FOx ， FOy和m1g所作 FN 的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上 D 任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬 F θs 心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此 系统只受理想约束，且内力作功为零。 §13.3 动能定理 例 题 13-2 主动力所作的功计算如下： ω2 FOx O ω1 M C m1g FN F θs D W M m2 g sin s FOy m2g 质点系的动能计算如下： 1 1 1 2 2 T1 0, T2 J11 m2vC J c22 2 2 2 式中J1 ，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆 柱对于过质心C的轴的转动惯量： J1 m R , 2 1 1 1 J C m2 R22 2 ω1和ω2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即 vC 1 , R1 vC 2 , R2 §13.3 动能定理 例 题 13-2 于是 FOy ω2 ω1 M C m1g FN F θs D 由动能定理得 FOx O m2g vC2 T2 (2m1 3m2 ) 4 vC2 (2m1 3m2 ) 0 M m2 g sin s 4 （1） s 以 R1 代入，解得： ( M m2 gR1 sin ) s vC 2 R1 (2m1 3m2 ) §13.3 动能定理 例 题 13-2 FOy ω2 FOx O ω1 M C m1g FN F θs D 系统运动过程中，速度 vC 与路程 s 都 是时间的函数，将式（1）两端对时间 求一阶导数，有 m2g vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 g sin vC 2 R1 求得圆柱中心 C 的加速度为 aC 2( M m2 gR1 sin ) (2m1 3m2 ) R1 §13.3 动能定理 例 题 13-3 材料承受冲击的能力可在冲击 试验机上测定，如图所示。试验机 l α2 α1 摆锤质量为18 kg，重心到转动轴的 距离l =840 mm。杆重不计。试验开 始时，将摆锤升高到摆角1 70 的 mg 试件 地方然后释放，冲断试件后，摆锤 上升的摆角 29 。求冲断试件 需用的能量。 2 §13.3 动能定理 例 题 13-3 解： 冲断试件前后，摆锤的角速度发生突然 变化。摆锤损失的动能被试件吸收，就是冲 断试件需用的能量。 l 设摆锤冲击试件前的角速度为ω1 ，将试 α2 α1 件冲断后摆锤的角速度为ω2 。角速度的变化 是在冲击的一瞬间发生的，这时摆锤在铅直 位置。 mg 先研究冲击试件前的下落过程。 试件 摆锤在 1 70 的位置开始下落，这时角 度速度等于零，因此动能等于零。当摆锤落 到铅直位置与试件相撞前，角速度为ω1 ，这 时动能为T1。在这一过程中重力作正功。 §13.3 动能定理 例 题 13-3 l 根据动能定理有 T1 0 mgl (1 cos 1 ) 代入已知数据，得 T1 97.5 J α2 α1 现在研究冲断试件后摆锤的上升过程。 刚冲断试件的瞬时，设摆锤的角速度为ω2 ， 动能为T2 。当摆锤到达最高位置时，角速度 mg 为零，动能等于零，在这过程中，重力作负 功。根据动能定理有 试件 0 T2 mgl (1 cos 2 ) 代入已知数据，得 T2 18.58 J §13.3 动能定理 例 题 13-3 摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断 试件需要的能量Wk ，即 l Wk T1 T2 78.92 J α2 α1 设试件的最小横断面面积为S，则有 ak mg 试件 Wk S 称为材料的冲击韧度，它是衡量材 料抵抗冲击能力的一个指标。 §13.3 动能定理 例 题 13-3 此例题也可以在α1和α2两摆角之间直接 应用动能定理。 l 根据动能定理，有 α2 α1 0 0 mgl (1 cos 1 ) mgl (1 cos 2 ) Wk 代入数据，同样求得 mg 试件 Wk 78.94 J §13.4 功率 功率方程 机械效率 一、功率 单位时间内力所作的功称为功率，以 P 表示 P W dt dr F v F v 作用力的功率： P F dt W d n 力矩的功率： P Mz M z M z dt dt 30 在国际单位制中，功率的单位为瓦特 (W ) , 1W 1J / s 工程中常用单位为千瓦 ( kW ) ，1kW 1000W 二、功率方程 取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt ，得 n n Wi dT Pi 即功率方程 dt dt i 1 i 1 §13.4 功率 功率方程 机械效率 在机械工程中，我们通常用另一种形式的功率方程，因 为机器在工作时要输入一定的功（功率，能量）,同时要克服 一定的阻力，从而消耗或输出一部分功（功率能量），因此， 在机械工程中，我们按下面方式来分析受力。 <A>驱动力：从外部施加给机器，驱动机器运转的力，在机器 工作的过程中，这些力作正功，如电动机的转矩，液压传动 中液体的压力等。 <B>有用阻力（生产阻力）:如机床加工时的切削力，冲床加 工时工件对机器的冲击阻力，起重机的载荷，等等，这些力 消耗能量，作负功，但是它们是不可少的。 <C>无用阻力（有害阻力）：如机器运转时接触面间的摩擦阻 力，空气阻力等等，这些力白白消耗能量，作负功。 §13.4 功率 功率方程 机械效率 此外，还有重力及零件变形时的弹性力等，但这些力所作 的功一般比上述三种力的功小很多，通常忽略不计。 于是，动能定理的微分形式可写成 dT W输入 W有用 W无用 W输入： 驱动力元功的绝对值，W有用： 有用阻力的元功的绝对值 W无用：无用阻力的元功的绝对值 dT p输入 p有用 p无用 即机器的功率方程。 上式两端除以 dt ，得 dt dT p p有用 p无用 上式还可以写成 输入 dt 其物理意义是：输入机器的功率（驱动功率）消耗于三部分： 使机器运转所需功率，克服有用阻力所需功率，克服无用阻 力所需功率。 §13.4 功率 功率方程 分析：起动阶段（加速）：dT 机械效率 0 dt 制动阶段（减速）：dT 0 dt 稳定阶段（匀速）：dT 0 dt 即 N输入 N有用 N无用 即 N N N 输入 有用 无用 即 N N N 无用 输入 有用 三、机械效率 有效功率 P有用 机械效率 dT dt P有效 P输入 机械效率 表明机器对输入功率 的有效利用程度，它是评定 机器质量好坏的指标之一。一般情况下， 1 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 一、势力场 1、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方 向完全由所在位置确定的力作用，则此空间称为力场。 2、势力场：若质点在力场内运动，作用于质点的力所作的功 只与力作用点的初始位置与终了位置有关，而与该点的轨迹 形状无关，这种力场称为势力场。 重力场、万有引力场、弹性场都是势力场。 3、重力场：质点在地球表面的任何位置都要受到一个确定的 重力的作用，称地球表面的空间为重力场。 4、万有引力场：太阳周围的空间。 5、弹力场：弹簧周围的空间。 6、有势力：在势力场中，质点受到的力称为有势力。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 有势力特点： （1）作用在质点上的有势力仅是质点坐标的单值连续函数 （2）有势力作功只与力作用点的初始位置和终了位置有关， 与该点轨迹形状无关。 二、势能 势能：在势力场中, 质点从点 M 运动到任选点 M 0 , 有势力所作 的功称为质点在点 M 相对于点 M 0 的势能，用 U 表示。 U M0 M F dr M0 M ( Xdx Ydy Zdz ) 零势能点:在同一个势力场中，不同位置，势能不同，为了比 较各点的势能，必须在计算各个位置的势能时，取同一个终 点 M 0 的势能等于0，它被称为零势能点。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 现在计算几种常见的势能： 1、重力场中的势能 重力场中，以铅垂轴为 z 轴，z0 处为零势能点。质点于 z 坐 标处的势能 V 等于重力 mg 由 z 到 z0 处所作的功，即 z0 V mgdz mg ( z z0 ) z 2、弹性力场中的势能 设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚度系数 为 k 。以变形量为 0 处为零势能点，则变形量为 处的弹簧 k 2 势能 V 为 V ( 2 ) 0 2 如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有 0 0 ，于是得 V k 2 2 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 3、万有引力场中的势能 设质量为 m1的质点受质量为 m2 的物体 的万有引力 F 作用，如图 取点 A0 为零势能点，则质点在点 A 的 势能为 A0 A0 fm1m2 V F dr er dr 2 A A r 式中 f 为引力常数， er 是质点的矢径 er dr dr ， 方向的单位矢量；由图可见， 为矢径 r 长度的增量。设 r1 是零势能 点的矢径，于是有 V r1 r 1 1 fm1m2 2 dr fm1m2 r r1 r A0 r1 dr F A m1 dr O er m2 r §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 4、机械能守恒定律 机械能：质点系在某瞬时的动能和势能的代数和。 设质点系在运动过程的初始和终了瞬时的动能分别为 T1 和 T2 ， 所受力在这过程中所作的功为W12 ，根据动能定理有 T2 T1 W12 如系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用势能计 算，即 T T W V V 2 移项后得 1 12 1 2 T1 V1 T2 V2 上式就是机械能守恒定律的数学表达式。此类质点系称为保 守系统。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保 守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为 W12，非保 守力所作的功为W12 ，由动能定理有 T2 T1 W12 W12 因 W12 V1 V2 ，于是有 T2 T1 V1 V2 W12 或 (T2 V2 ) (T1 V1 ) W12 当质点系受到摩擦阻力等力作用时，W12 是负功，质点系在运 动过程中机械能减小，称为机械能耗散；当质点系受到非保 守力的主动力作用时，如果W12 是正功，则质点系在运动过程 中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 机械能守恒的条件： 1、质点系仅受有势力的作用时，机械能守恒。 2、质点系如果受有非有势力的作用，其机械能一般是不守 恒的，但是当作用于质点系上的所有非有势力做功之和为零 （或均不做功时）系统的机械能守恒。 例如，具有理想约束的刚体系在有势力场中运动时，因所有 的非有势力都不做功，或做功之和为零，这时刚体系的机械 能守恒，因此，这样一来，我们在做题时，分析受力时，要 注意哪些是有势力，哪些是非有势力，系统的机械能守恒条 件是否满足 。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-4 如图所示的鼓轮D匀速转 D 动，使绕在轮上钢索下端的重 物以v = 0.5 m·s－1匀速下降， 重物质量为m = 250 kg。设当 δst δmax 自然位置 鼓轮突然卡住时，钢索的刚度 Ⅰ 平衡位置 系数 k = 3.35×106 N·m－1 。求 Ⅱ 此后钢索的最大张力。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-4 解：轮匀速转动时，重物处于平衡状态， mg ， k F k st mg 2.45 kN 。 临卡住的前一瞬刻钢索的伸长量 st D 钢索的张力 当鼓轮被卡住后，由于惯性，重物将 δst δmax 自然位置 继续下降，钢索继续伸长，钢索对重物作 Ⅰ 平衡位置 用的弹性力逐渐增大，重物的速度逐渐减 Ⅱ 小。当速度等于零时，弹性力达最大值， 此值等于钢索的最大张力。 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-4 因重物只受重力和弹性力的作用，因此系统的 机械能守恒。取重物平衡位置为重力和弹性力 D 的零势能点，则在 Ⅰ 、 Ⅱ 两位置系统的势能分 V1 0 别为 V2 自然位置 δst δmax Ⅰ 平衡位置 Ⅱ mg 因 T1 k 2 ( max st2 ) mg ( max st ) 2 1 mv 2 , 2 T2 0 ,于是有 1 2 k 2 mv 0 0 ( max st2 ) mg ( max st ) 2 2 注意到 k st mg ，上式可改写为 2 max v2 2 st max ( st ) 0 g 2 st §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-4 解得 D max v2 st (1 ) g st 因δmax 应大于δst ，因此上式应取正号。 钢索的最大张力为 自然位置 δst δmax Ⅰ 平衡位置 Ⅱ mg Fmax k max v2 v k st (1 ) mg (1 g st g 代入数据，求得 Fmax 16.9 kN 由此可见，当鼓轮被突然卡住后，钢索 的张力增大了5.9倍。 k ) m §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-5 如图所示，摆的质量为m，点C为其质心，O端为光滑铰 支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平 轴O的转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置 处平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处初角速度ω0摆下作 微幅摆动时，摆的角速度与φ 角的关系。 O D φ C mg ω0 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-5 运 动 演 示 §13.5 势力场 势能 机械能守恒定律 例 题 13-5 解： 研究摆的运动。作用于摆的力有弹簧 力F，重力mg和支座约束力FOx和FOy 。前两 力为保守力，后两力不作功，因此摆的机械 O 能守恒。 C mg 取水平位置为摆的零势能位置，此时机 1 J O 02 。摆作微幅摆动，φ角 2 极小。系统对平衡位置的势能为 1 k (b ) 2 ， 2 1 而动能为 J O 2 。 2 械能等于动能 由机械守恒，有 D φ 1 k 1 2 2 J O (b ) J O0 2 2 2 解此方程得摆杆的角速度为 kb 2 2 0 JO 2 ω0 §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-6 均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径 为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮 在滚动时无滑动。建立圆轮质心的运动微分方程。 O1 R （+） θ C O r §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-6 1. 应用功率方程建立该方程。 解：均质圆轮作平面运动，动能为 T O1 R θ α （+） C O r aC F mg 1 2 1 3 mvC J C 2 mvC2 2 2 4 轮与地面接触点为瞬心，如图所示，因此摩 擦力与法向约束力不作功。重力的功率为 P mg v mg sin FN ds dt 应用功率方程 dT P dt 得 dv 3 ds m 2vC C mg sin 4 dt dt §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-6 因 O1 R θ α ds s vC , dt Rr （+） C O r dvC d 2 s 2, dt dt aC F mg 当 θ 很小时， sin ，于是得质心C 的运动微分方程为 FN d2s 2g s0 2 dt 3( R r ) §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-6 2. 应用机械能守恒定律建立该方程。 从前面的分析已知，地面的法向约束力和摩擦力不作功，只有重力 作功，因此系统的机械能守恒。于是质心的运动微方程也可通过机械能 守恒定律建立。 取质心的最低位置O为重力场零势能 点，圆轮在任意位置的势能为 V mg ( R r )(1 cos ) O1 R θ α （+） C O r aC F mg FN 同一瞬时的动能为 T 3 mvC2 4 因机械能守恒，有 d (V T ) 0 dt 把V和T的表达式代入，取导数后得 dv d 3 mg ( R r ) sin mvC C 0 dt 2 dt §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-6 mg ( R r ) sin 因 O1 R θ α （+） C O r aC F mg FN dv d 3 mvC C 0 dt 2 dt d v C , dt R r dvC d 2 s 2 , 于是得 dt dt d2 s 2 g sin 0 2 dt 3 当θ很小时， sin s , 于是得圆 Rr 轮作微幅摆动时质心的运动微分方程为 d2s 2g s0 dt 2 3( R r ) §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速 vA= 3 m·s－1 从位置OA摆 下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知 l=1 m , h = 0.7 m, θA= 60°。（1）求小球到达点C 时的速度vC。（2）设球的质 量为m = 0.5 kg，不计绳的质量，设绳碰撞时无能量损失。求当绳碰到O1点的钉子 前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力TB 和 TB'。 O h vC C M' θA θ l l' O 1 A M B vA §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 解：球的轨迹可分为两段：一段是以O为中心、 l为半径的圆弧AB。另一段是以O1为中心、l'为 半径的圆弧BC。 1. 求小球到达点C时的速度vC 。 A到B的运动阶段，球的受力图如图中M位 置所示。 O θA θ l l' O1 T h vC C M' 应用质点动能定理，得 B v A M vA mg 1 2 1 2 mvB mvA WAB WAB 2 2 显然绳的拉力T在运动过程中总垂直位移，故拉力T的功 而重力的功 WAB mg l (1 cos A ) 。代入后得 vB2 vA2 2gl (1 cos A ) (a) 0， WAB §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 O θA θ l l' O1 T h 再考察B到C的运动阶段，球的受力图如图中 M′ 位置所示，应用质点动能定理，得 1 2 1 2 mvC mvB WBC WBC 2 2 vC C v' M' T' v mg B M mg A 同理，约束力的功 WBC 0 ，而重力的功为 vA WBC mgl mg (l h) 代入后得 vC2 vB2 2g (l h) 将式 vB2 v A2 2 gl (1 cos A ) 代入得 vC2 vA2 2gl (1 cos A ) 2g (l h) vC2 vA2 2g (h l cos A ) (b) §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 得 vC v A2 2 g (h l cos A ) （c） 如果把ABC视作一个连续运动的阶段，应用 O h θA θ 质点动能定理，因绳的拉力不作功，得 l vC C l' O1 v' M' T' B v mg A T M vA 1 2 1 2 mvC mv A mg (h l cos A ) 2 2 将数据代入（c），得 mg vc 3.59 m s－1 §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 2. 绳中的拉力TB 和 TB' 。 应用牛顿定律在法线方向的投影式求绳的拉 O h θA θ 力TB和TB' 。这里，也应分开两种状态。 l 在第一种情形下，小球是沿圆弧AB运动，圆 vC C l' O1 v' M' T' B v mg A T M mg vA v B2 心为O，半径为l，B点的法向加速度为 ， l 由牛顿第二定律 vB2 TB mg m l vB2 TB mg m l §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 vB2 TB mg m l O h θA θ 2 2 将式 vB vA 2gl (1 cos A ) 代入得 l vC C l' O1 v' M' T' B v mg A T M TB mg m 2 v A 2 gl (1 cos A ) l vA 代入数据得 mg TB 14.3N §13.6 普遍定理的综合应用举例 例 题 13-7 在第二种情形下，小球是沿圆弧BC运动，圆 心为O1，半径为 O 由牛顿第二定律得 θA θ l C l' O1 T v' M' T' h vC B v mg l′，B点的法向加速度为 A M mg vA vB2 TB mg m l m TB mg vA2 2 gl (1 cos A ) l 代入数据得 TB 36.23 N TB′ 约为TB 的2.53倍。 vB2 。 l