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Méthode de détection et isolation de défauts
de capteurs à base de données
Komi Midzodzi PEKPE
LAGIS UMR 8146 : Laboratoire d'Automatique, de
Génie Informatique et Signal
Université de Lille 1
Polytech’Lille
Plan
position du problème
méthode proposée
fondement de la méthode
- relations matricielles
- génération de résidus
- sensibilité des résidus
- détermination de la taille des matrices
exemple d’application
conclusion et extension de la méthode
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
2
Position du problème
wk3
wk1
Calculateur

uk1
ykd ,1
uk2
ukm
Système

wk2
yk1



ykd ,2
yk2


ykd ,  


yk
f k1
f k2
f k3
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K. Midzodzi PEKPE
3
Motivation
incertitude liée à l’utilisation des modèles mathématiques
les paramètres peuvent évoluer lentement
le modèle mathématique n’est pas toujours disponible
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Description de la méthode
Yk   yk  j 1
yk  j  2 ... yk  R  j U k ,i
Yk  R(U k ,i )   k
uk  j i  3 ... uk i 1 

uk  j i  4 ... uk i  2 
mi j

R

...
 

uk  j  2 ...
uk 
 uk  j i  2

 uk  j i  3



 u
 k  j 1
déterminer i
Yk  MU k ,i   k
U k ,i U

U   I  U k ,i (  )U k ,i
0
k ,i
k ,i
Yk U    k U 
E[  k U ]  0
Yk  MU k ,i  Fk   k
Yk U   Fk U    k U 
k ,i
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k ,i

k ,i
k ,i
k ,i
K. Midzodzi PEKPE
k ,i
E[  k U  ]  Fk U 
k ,i
k ,i
5
Cas système linéaire
 xk 1  Axk  Buk  vk

 yk  Cxk  Duk  wk  f k
hypothèse : A est stable
xk  R n , uk  R m , yk  R 
f k  R  défaut capteur
vk  R n  bruits colorés

fk  ( fk )

wk  R  bruits colorés
1 T
2 T
( fk )

T T
... ( f k )
Objectif
Détecter et isoler les défauts de capteurs, connaissant uniquement :
- les entrées (uk)
- les sorties ( yk)
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Fondements de la méthode : relation matricielle
 uk i 1 
 vk i 1 



i 1
v
y k  CA xk i 1  H i     H i     wk
 u 
 v 
 k 
 k 




H iv  CAi  2 CAi 3 ... C 0  R ni H i  CAi  2 B CAi 3 B ... CB D  R ni
Yk  CAi 1 X k i 1  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
Yk   yk  j 1
yk  j  2 ... yk  R i  j
X k i 1  xk  j i  2
U k ,i
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 uk  j i  2

 uk  j i  3



 u
 k  j 1
xk  j i 3 ... xk i 1  R ni j
uk  j i  3 ... uk i 1 

uk  j i  4 ... uk i  2 
mi j

R

...
 

uk  j  2 ...
uk 
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Fondements de la méthode : relation matricielle
Yk  CAi 1 X k i 1  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
Pour i suffisamment grand :
CAi 1 X k i 1  variance(wk )
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
U k ,i
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 uk  j i  2

 uk  j i  3



 u
 k  j 1
uk  j i  3 ... uk i 1 

uk  j i  4 ... uk i  2 
mi j

R

...
 

uk  j  2 ...
uk 
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Fondements de la méthode : matrice de résidu
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
s’il n’y a pas apparition de défaut :
Yk U   H ivVk ,i U   Wk U 
k ,i
k ,i
k ,i
E[Yk U  ]  E[ H ivVk ,i U  ]  E[Wk U  ]
ki
k ,i
k ,i



0
0
E[Yk U  ]  0
k ;i
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Fondements de la méthode : défaut système
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
s’il y a apparition d’un défaut système à l’instant k :
Yk  H iU k ,i  H iU kk,i  H ivVk ,i  Wk
U kk,i
0




0

0
0

 
mi j

R
... 0 0 

... 0 uk 
... 0
... 
E[Yk U  ]  E[U kk,i U  ]  E[ H ivVk ,i U  ]  E[Wk U  ]
k ,i
k ,i
k ,i
k ,i



0
0
E[Yk U  ]  U kk,i U 
k ,i
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k ,i
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Fondements de la méthode : défaut d’actionneur
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
s’il y a apparition d’un défaut actionneur :
~
Yk  H iU k ,i  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
 u~k  j i  2 u~k  j i 3
~
~
 u k  j i  3 u k  j i  4
~
U k ,i  


 ~
~
 u
u
k

j

1
k  j 2

... u~k i 1 

~
... uk i  2 
mi j

R
...
 

~
...
uk 
~
E[Yk U  ]  E[U k ,i U  ]  E[ H ivVk ,i U  ]  E[Wk U  ]
k ,i
k ,i
k ,i
k ,i



0
0
~
E[Yk U  ]  U k ,i U 
k ,i
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k ,i
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Fondements de la méthode : défaut de capteur
s’il y a apparition d’un défaut sur le capteur « h » à l’instant k :
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk  Fk
0


Fk   0


0

... 0
... 
... 0
... 
... 0
0 

 
f kh 

 
0 
E[Yk U  ]  E[ H ivVk ,i U  ]  E[Wk U  ]  E[ Fk U  ]
k ,i
k ,i
k ,i
k ,i



0
0
E[Yk U ]  Fk U

k ;i
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
k ;i
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Fondements de la méthode : condition de sensibilité
Yk U   H ivVk ,i U   Wk U   Fk U 
k ;i
k ;i
k ;i
k ;i
sensibilité aux défauts :
span( Fk )  span(U k ,i ) alors Fk U  0

k ,i
span(M) désigne le sous-espace engendré par les lignes de la matrice M
j
U k ,i
 u k  j i  2

 u k  j i  3



 u
 k  j 1
uk  j i 3 ... uk i 1 

uk  j i  4 ... uk i  2 
mi

...
 

uk  j  2 ...
uk 
mi  j
dim( span(U k ,i ))  mi, dim( nul(U k ,i ))  j  mi
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Fondements de la méthode : condition de sensibilité
j
U k ,i
 u k  j i  2

 u k  j i  3



 u
 k  j 1
uk  j i 3 ... uk i 1 

uk  j i  4 ... uk i  2 
mi

...
 

uk  j  2 ...
uk 
mi  j
dim( span(U k ,i ))  mi, dim( nul(U k ,i ))  j  mi
span(M) désigne le sous-espace engendré par les lignes de la matrice M
j - mi  
sensibilité maximale aux défauts :
span( Fk )  span(U k ,i )  0alors Fk U   Fk
k ,i
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Fondements de la méthode : sélection du vecteur résidu
 kW j 2,1  ...
k ,1 
1,1  
Yk U   HivVkk,ij

F
k
k
U k ;i
U k ;i
U k;i
k ;i
  k  j 1, 2  k  j  2, 2 ...  k , 2 
 j
Yk U   

R
k ,i
 span(U k,i )  0...
si span
( Fk ) 
  





...

k

j

1
,

k

j

2
,

k
,



  k ,1 


  k ,2 
k  
 


  k , 
 k1   k ,1
Fk U 
k ,i
 k2
  k ,2
0


 0


0

... 0
... 
... 0
... 
... 0
0 

 
f kh 

 
0 
 k   k ,
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Fondements de la méthode :
détermination de la taille des matrices
U   I  U k ,iT (U k ,iU k ,iT )( 1) U k ,i
Yk  H iU k ,i  H ivVk ,i  Wk
k ,i
Yk U   Yk  Hˆ iU k ,i
Yk U   Yk  YkU k ,i T (U k ,iU k ,i T )( 1) U k ,i
k ,i
k ,i
Yk U   k ,i

k ,i
Q
J ( i )    k ,i
2
k 1
Yk U  CAi 1 X k i 1  H ivVk ,i U  Wk U

k ;i

k ;i
Q
i 1
J (i )   A
k 1
Q
i 1
J (i )   A
k 1
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X k U
X k U

k ,i
2

k ,i
 H ivVk ,i U 
k ;i
Q

k 1
 Wk U
H ivVk ,i U 
k ;i
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
k ;i
2

k ;i
 Wk U
2

k ;i
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Fondements de la méthode :
Détermination de la taille des matrices
1
0.9
0.8
Q
2
i 1
J1 (i )   CA X k U 
k ,i
1
k


0.7
Q
J ( i )    k ,i
2
0.6
k 1
Q
2
i 1
Q
2
J (i )   A X k U
  H ivVk ,i U  Wk U
1 
k 
1 
k


0.5
0.4

k ,i

k ;i

k ;i
Q
2
J 2(i )   H ivVk ,i U  Wk U
k 1



k ;i
0.3

k ;i
0.2
0.1
0
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10
20
30
40
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50
60
70
80
90
100
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Fondements de la méthode :
Détermination de la taille des matrices
1
0.9
0.8
CAi 1 X k i 1  variance(wk )
0.7
Q
J ( i )    k ,i
2
0.6
k 1
0.5
i
0.4
0.3
0.2
0.1
0
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30
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60
70
80
90
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Comparaison avec l’espace de parité
Espace de parité
Méthode proposée
Connues
Les entrées uk
Les sorties yk
Connues
Le modèle (A, B, C, D)
Les entrées uk
Les sorties yk
Suppression de
l’influence de l’état
Choisir i tel que :
CAi 1 X k  0
Yk  H iU k , j
Suppression de
l’influence de l’état
ki( Yk – HdiUk)
Suppression de
l’influence de Hi
 k  Yk U 
k ,i
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Complémentarité avec l’espace de parité
Espace de parité
Yk  CAi 1 X k i 1  HiU k ,i  GFk
Méthode proposée
Yk  H iU k ,i  GFk
 k  i (Yk  HidU k )
 k  Yk U
i G  0
Fk U  0
k  0
k  0
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
k ;i

k ;i
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Exemple d’application
0 
 0.6 0.6
 0.3 0.2 




A    0.6 0.6
0 , B   0.5 0.6 
 0
 0.7  0.4 
0  0.4 



 0.15 0.78 0.36 
 0.76 0.4 




C   0.45 0.5 0.75, D   0.39 0.5 
 0.85 0.26 0.1 
 0.59 0.72 




Wk  bruit blanc
RSB(yk1,wk1) = 19db, RSB(yk2,wk2) = 19db, RSB(yk3,wk3) = 19db,
Vk  bruit blanc
var(vk) = 10-3 I3
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amplitude(fk)=10% y
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Les entrées et les sorties du système
0 .5
0
-0 .5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 .5
0
-0 .5
0
Figure 2 : entrées du système
1
0.5
0
-0.5
-1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1
0.5
0
-0.5
-1
2
1
0
-1
-2
Figure 3 : sorties du système
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K. Midzodzi PEKPE
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Détermination de la taille des matrices
5
4.5
J (i )
Q
J ( i )    k ,i
k 1
4
2
3.5
3
Yk U   k ,i

k ,i
2.5
2
1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
i
Figure 1 : évolution du critère J(i) en fonction de la taille de la matrice de Hankel
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K. Midzodzi PEKPE
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Les résidus
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
Figure 4 : les défauts (amplitude(fk)=10%y)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
Figure 5 : les résidus (obtenus pour i=17, j=68)
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K. Midzodzi PEKPE
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Conclusion et extension de la méthode
- basée uniquement sur la connaissance des entrées et des sorties
- génère un résidu structuré par construction
- s’affranchit des incertitudes paramétriques
- résultat prouvé dans le cadre des systèmes dynamiques linéaires
Extension aux systèmes non linéaires (décomposition en série de Taylor)
Application au moteur asynchrone dans ses plages de non linéarité
Application aux bio-réacteurs : détection des changements d’état
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Extension de la méthode
Systèmes non linéaires (décomposition en série de Taylor)
 uk i 1 


 xk 1  f ( xk , uk )
u
 k i  2   R mi

y

h
(
u
),
u

k
k
k
  
 y k  g ( xk , uk )


 uk 
la fonction h(u) est indéfiniment dérivable dans un ouvert O de l’espace des ūk
p ~
~) p
~ ) (u  u~ )  2 h(u~ ) (u  u~ ) 2
(
u

u

h
(
u

h
(
u
)
k
k
k
h(uk )  h(u~ ) 
 2
 ... 
u
1!
2!
p!
 u
 pu
 p 1h( ) (uk  u~ ) p 1

( p  1)!
 p 1u
h(u~ ) uk  2 h(u~ ) (uk ) 2
 p h(u~ ) (uk ) p  p 1h( ) (uk ) p 1
h ( uk ) 
 2
 ... 

p
u 1!
2!
p!
 u
 u
 p 1u ( p  1)!
 p 1h(u )
M
p 1
 u
15/03/2006
p 1
 p 1h( ) (uk ) p 1 M (uk )

p 1
( p  1)!
 u ( p  1)!
K. Midzodzi PEKPE
26
Extension de la méthode
Systèmes non linéaires (décomposition en série de Taylor)
h(u~ ) uk  2 h(u~ ) (uk ) 2
 p h(u~ ) (uk ) p
h ( uk ) 
 2
 ... 
u 1!
2!
p!
 u
 pu
 p 1h(u )
 M , u  O
p 1
 u
Yk   yk  j 1
p 1
 p 1h( ) (uk ) p 1 M (uk )

p 1
( p  1)!
 u ( p  1)!
yk  j  2 ... yk  R i  j
Yk   H z U k ,i z
p
z 1
 k  Yk , (U k,i ) z Π  0 , z  1,2,..., p
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
27
Application au moteur asynchrone
modèle en abc
commandé par trois tensions alternatives : va, vb, vc
quatre sorties :
- trois courants : ia, ib, ic
- une vitesse : 
système non linéaire à vitesse variable
linéaire en vitesse constante
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
28
Application au moteur asynchrone
amplitude(fk)=10%y
500
0
- 500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
500
0
- 500
500
0
- 500
Figure 6 : entrées du système
les sorties
50
0
-50
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
20
0
-20
20
0
-20
4000
2000
0
-2000
Figure 7 : sorties du système
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
29
Application au moteur asynchrone
amplitude(fk)=10%y
Les instants d'apparition des défauts
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
2
0
4
2
0
400
200
0
Figure 8 : les instants d’apparition des défauts
Polynome d'or dre 1
5
0
-5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
2
0
-2
4
2
0
-2
-4
1000
0
- 1000
Figure 9 : résidus obtenus à l’aide d’un polynôme d’ordre 1 (i=12, j=72)
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
30
Application au moteur asynchrone
amplitude(fk)=10%y
Les instants d'apparition des défauts
4
5
Polynome d'or dre 1
2
0
-5
0
0
0
500
500
1000
1000
1500
1500
2000
2000
2500
2500
3000
3000
3500
3500
4000
4000
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
4
2
0
-2
4
0
2
0
-2
-4
1000
0
- 1000
2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
2
0
0
0
500
500
1000
1000
1500
1500
2000
2000
2500
2500
3000
3000
3500
3500
4000
4000
400
200
Figure 10 : résidus obtenus à l’aide d’un polynôme d’ordre 1 (i=12, j=72)
Figure 8 bis : les instants d’apparition des défauts
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Polynome d'ordre 2
4
2
0
-2
-4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
2
0
-2
-4
2
0
-2
200
0
-200
Figure 11 : résidus obtenus à l’aide d’un polynôme d’ordre 1
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
31
Application au bioréacteur
d (t )
 Kr (t )  v(t )
dt
v(t )  D(in (t )   (t ))  Q ( (t ))
v(t )  R 7 , D  R
 S1 
 
 S2 
S 
 3
 (t )   E 
X
 
O
P
 
15/03/2006
 S1in 


 S 2in 
S 
 3in 
in (t )   0 
 0 


 0 
 0 


r  r1 r2
r3 T
r1 ( S1, E )  c0
s1
E
X
s1  c8 E  c9
r2 ( S 2 , O, X )  c1
s2
O
X
s2  c2 O  c3
s3
O2
r3 ( S 2 , S3 , O)  c4
X
2
( s3  c5 )( s2  c6 ) O  c7
0




0




0


Q ( (t ))  
0



0


 qO2 (O ) 
 qCO ( P ) 


2
K. Midzodzi PEKPE
0 
 3 0


0 
 1 5
 0.3 0  0.5 


K  0
0
0.2 
 0
1
1 


 0  2 1 
 0 0.3 1.5 


32
Application au bioréacteur
les entrées
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
10
5
0
10
5
0
4
2
0
Figure 12 : les entrées in et D
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
33
Application au bioréacteur
les sorties
20
10
0
10 0
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
0
50
5
10
15
20
25
30
0
20 0
5
10
15
20
25
30
0
0.50
5
10
15
20
25
30
0
20 0
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
0
10 0
5
10
10
0
0
Figure 13 : les sorties 
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
34
Application au bioréacteur
polynome d'ordre 1
2
0
-2
20
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
0
-2
0.50
0
-0.5
0.020
0
-0.02
0.10
0
-0.1
0.20
0
-0.2
50
0
-5
0
Figure 14 : résidu obtenu par approximation polynomiale d’ordre 1
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
35
Application au bioréacteur
polynome d'ordre 2
0.5
0
-0.5
0.10
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
0
-0.1
0.050
0
-0.05 x 10-4
50
0
-5 x 10-3
10
0
-1
0.010
0
-0.01
0.20
0
-0.2
0
Figure 15 : résidu obtenu par approximation polynomiale d’ordre 2
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
36
Application au bioréacteur
-3
5
polynome d'ordre 3
x 10
0
-5 x 10-3
50
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
0
-5 x 10-3
10
0
-1 x 10-4
20
0
-2 x 10-4
50
0
-5 x 10-4
20
0
-2 x 10-3
50
0
-5
0
Figure 16 : résidu obtenu par approximation polynomiale d’ordre 3
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
37
Méthode de détection et isolation de défauts
de capteurs à base de données
Komi Midzodzi PEKPE
LAGIS UMR 8146 : Laboratoire d'Automatique, de
Génie Informatique et Signal
Université de Lille 1
Polytech’Lille
Détection de défauts
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
Figure 3 (bis) : les défauts (amplitude(fk)= 10%  y)
0.06
0.04
0.02
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.06
0.04
0.02
0
0
Figure 5 : détection de défauts (i=17, j=68) par FMA
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
39
Application au moteur asynchrone
amplitude(fk)=10%y
Les instants d'apparition des défauts
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4
2
0
4
2
0
400
200
0
Figure 8 : les instants d’apparition des défauts
la détection
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0.2
0.1
0
0.2
0.1
0
20
10
0
Figure 9 : détection de défauts (i=12, j=72) par FMA
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
40
Application au bioréacteur
polynome d'ordre 7
0.02
0
-0.02
0.020
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
0
-0.02
0.020
0
-0.02 x 10-4
20
0
-2 x 10-3
10
0
-1 x 10-4
50
0
-5
0.010
0
-0.01
0
Figure 30 : résidu obtenu par approximation polynomiale d’ordre 7
15/03/2006
K. Midzodzi PEKPE
41