Transcript cz.2

dF
F 
 g ( x1 , x2 )  0
d
dF
F1 
 f1  g1  0
dx1
dF
F2 
 f 2  g 2  0
dx2
g1 
dg
dx1
dg
g2 
dx2
df
f1 
dx1
f2 
df
dx2


warunkiem koniecznym istnienia
ekstremum funkcji jest by pierwsze
pochodne spełniały warunek:
F  F1  F2  0

tworzony jest Hessian:
f 11
f 12
g1
H  f 21
f 22
g2
g1
g2
0
a minory są postaci:
H1 
f11
g1
g1
0
  g12  0
f11
H 2  f 21
f12
f 22
g1
g 2 ,..., H n  H
g1
g2
0


 Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum
funkcji jest by pierwsze pochodne były równe
zero.

Warunek dostateczny jest spełniony wtedy,
gdy minory Hessiana:
H1 , H2 ,...


dla maksimum - zmieniają znaki na przemian
„-”, „+”, „-”,...
dla minimum - wszystkie minory są dodatnie
Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi
y=f(x1,x2,...,xn) oraz jednym
warunku dodatkowym g(x1,x2,..,xn.)=0
Dla
funkcji
n-zmiennych
postaci
y=f(x1,x2,...,xn)
o
własnościach
analogicznych jak dla dwóch zmiennych
oraz jednym warunku dodatkowym w
postaci funkcji liniowej g(x1,x2,...,xn)=0
tworzymy funkcję Lagrange’a:
F(x1,x2,...,xn,)=f(x1,x2,...,xn)+g(x1,x2,...,xn)

warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej
funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe
zero:
F
df
dg
 f1  g1  0; f1 
; g1 
x1
dx1
dx1
.............................................................
F
 f n  g n  0
x n
F
 g ( x1 ,..., xn )  0


warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla:
maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana
zmieniały się na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,...
minimum - wszystkie minory powinny być dodatnie
Wyznacznik Hessiana ma postać:
f 11
f 21
f 12
f 22
...
...
f 1n
f 2n
g1
g2
.
.
f nn
.
gn
gn
0
H  .
f n1
f n2
.
...
g1
g2
...
Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi
y=f(x1,x2,...,xn) oraz wieloma
warunkami dodatkowymi liniowymi
gj(x1,x2,..,xn.)=cj

Dla funkcji n-zmiennych y=f(x1,x2,...,xn)
oraz
j-ograniczeniach
dodatkowych
(liniowych) gj(x1,x2,...,xn)=cj gdzie m<n;
j=1,2,...,m funkcja Lagrange’a ma postać:
F  f ( x1 ,..., xn )   [c j  g j ( x1 ,..., xn )]
j
a Hessian obrzeżony:
H 
f1n
.
fn
g11
.
g 1n
... g1m
.
.
... g nm
... g 1n
.
.
... g nm
0
.
0
...
.
...
f11 ...
.
.
f n1 .
g11
.
g1m
0
.
0
gdzie:
fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y,
j - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych i
gi
1 Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające
dla istnienia maksimum
globalnego.
 Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona
ciągła, różniczkowalna w przedziale i
wypukła, warunkiem istnienia ekstremum
lokalnego w punkcie x1 jest:
f ( x1 )  0  x1  0  x1 f ( x1 )  0

Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma
postać:
x j  0 dla
j  1,2,..., n
f j  0  xj f j  0
gdzie
f
fj 
x j
gdzie:
 fj - pierwsze pochodne funkcji,
 xjfj - warunek komplementarności.


Przy
wprowadzaniu
m-ograniczeń
nieliniowych,
problem
optymalizacji
funkcji n-zmiennych przyjmie postać:
f ( x1 ,..., xn )
g ( x1 ,..., x n )  0 dla
i
x j  0 dla
i  1,2,..., m
j  1,2,..., n
a funkcja Lagrange’a jest postaci:
F ( x1,..., xn , 1,..., m ) 
 f ( x1,..., xn )   i g ( x1,..., xn )
i
i

Dla istnienia ekstremum musza
spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:
m
F
i
 f i   i g j  0
i 1
x j
F
i
g 0
 i
xj  0
i  0
m
i 
 f  

g
j
i
j x j  0
i 1


i g i  0
być






gdzie:
i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Dwa pierwsze równania są podobne do warunków
koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w
formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne
cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a
jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i
nieujemne w drugim.
Dwa następne warunki gwarantują nieujemność
wszystkich zmiennych, w tym i mnożników
Lagrange’a.
Kolejne
dwa
równania
są
warunkami
komplementarności.
Dla wypukłych f(x1,...,xn) i gi(x1,...,xn) gdzie
i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są
wystarczające dla istnienia maksimum
globalnego.
 Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować
te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są
wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować
funkcję ze znakiem ujemnym.

W przypadku maksymalizacji funkcji
f(x1,...,xn) przy i-warunkach dodatkowych
(i=1,2,...,m):
gi(x1,...,xn)
 ri
xj
0
funkcja Lagrange’a ma postać:

F  f ( x1 ,..., x n )   i [ri  g i ( x1 ,..., x n )]
i

Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej
postaci:
m
Z
 f i    i g ij  0
i 1
x j
F
 ri  g i  0
 i
xj  0
i  0
Z
xj
0
x j
Z
i
0
x i

Mnożniki Lagrange’a przy warunkach
ubocznych w formie nierówności
mierzą
stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu
przy jednostkowych zmianach w warunkach
ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie
pochodne cząstkowe.
Dla problemu produkcji, interpretacja jest
następująca:
fj - wartość graniczna produktu,
 j - cena korzyści czynnika i („cena
cieniowa”),
g ij - ilość użytego czynnika i do produkcji
jednostki marginalnej dobra j ,
 i g ij - marginalne koszty zastosowania czynnika
i w produkcji dobra j .
i

g
i i j - agregaty marginalnych kosztów
produkcji dobra j .