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模糊数学及其应用主讲人：王涛辽宁工业大学理学院本书结构第一篇模糊数学的基本理论和基本原理第二篇模糊数学方法及其在各领域中的应用第三篇模糊信息技术与模糊控制绪论 模糊数学 模糊数学的产生 模糊数学的现状与发展前景 模糊数学研究内容 模糊数学应用一、模糊数学模糊数学是精确数学的延伸和推广。提起数学来，人们很自然就会想到它是精确的，但是为什么又要有模糊数学呢？这首先要从数学的定义谈起。数学的发展阶段第一阶段：数学是关于数、量、几何图形的科学；第二阶段：数学是研究量的变化和几何图形变换的科学；第三阶段：数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学。总之，数学是从量的侧面研究客观世界的一门科。一个古希腊问题：早在古希腊时期，人们讨论过这样一个问题，多少粒种子算作一堆？显然一粒种子肯定不叫做一堆，两粒也不是…，另一方面，所有人都能同意，一亿粒种子肯定算作一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能否确定一个数字，例如325647，超过它就算作一堆，否则便不算作一堆？如果是这样，325648就构成一堆，而 325647就不构成一堆，这合理吗？当时这个问题是无从解决的。问题的困难就在于“一堆”这个概念是模糊概念。随着科学研究的不断深入，人们需要研究的关系越来越复杂，对系统的判别和推理的精确性要求也越高。为了精确地描述复杂的现实对象，各类新的数学分支就不断地产生和发展起来，迄今为止，处理现实对象的数学模型可分为三大类： (1) 确定性数学模型：这类模型的背景对象具有确定性或固定性，对象间具有必然的关系。 (2) 随机性数学模型：这类模型的背景对象具有或然性或随机性。 (3) 模糊性数学模型：这类模型的背景对象及其关系均具有模糊性。什么样的概念叫做模糊概念呢？在自然界和人类的日常活动中，几乎处处是模糊现象或模糊概念。例如:“好”、“坏”、“比较甜”、“物美价廉”、“地大物博”。下雨这一自然现象，从倾盆大雨到绵绵细雨，各种情况都要经常出现，它不以固定不变的一种方式发生，这就是模糊现象。人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中所形成的概念往往是模糊概念，由此形成的划分、判断与推理也都是具有模糊性。例如，为了描述雨下的程度，人们可以把它划分为大雨、中雨和小雨， 什么样的雨是大雨？什么样的雨是中雨？什么样的雨是小雨？ 人们是说不清的，这样的概念就是模糊概念。模糊概念举不胜举。胖子、优、良、年轻人、高个子、漂亮等等。下雨可以分为大雨、中雨和小雨，这就是模糊划分。例如今天下雨了，人们便会根据雨下的程度定为大雨、中雨或小雨，这就是模糊判断，进而再根据这样的判断推测今年的收成是好、一般还是坏，这就是模糊推理。人们的大脑具有较高的模糊划分、判断和推理的能力。人们为了表达和传递知识而使用的语言，巧妙地渗透着模糊性，可以用最少的词汇表达尽可能多的信息。但是，人们又惯于追求精确性或清晰性，自从有了数学以后，人们总希望把事物以数字的形式清楚地表达出来，然而面对模糊现象，人们使用传统数学会遇到实质性的困难。上面提到的古希腊问题正说明了精确性与模糊性很早就作为一对矛盾而出现了。 • 精确与模糊的矛盾例如，做化学实验的时候，需要加某种药物，具体加多少这是要求比较精确的，但是炊事员在炒菜的时候加入盐和酱油“少许”， “少许”只是凭炊事员的经验确定，而不需要也不可能和精确，这是因为炒菜的过程是比较复杂的，这里面有化学成分的变化，也有物理作用的变化以及多方面的复杂因素（如火候、调料、时间等），决不是只列出一两个方程就能解决的. • • • • 它是一个涉及面非常广的“大系统” 很难用过去的传统数学方法来计算很多是时间和经验的总结如果非要用精确数学方法去“生搬硬套”不可，反而会错误百出。 • 复杂事物有两个突出的特征一影响该事物的因素众多人们又不可能认识全体因素，只能在有限的一些因素上考察事物。这样一来，本来是清晰的现象也变得模糊了二深度延长难度增大，带来数学模型复杂化。扎德对精确性与模糊性的对立作了这样的阐述： “当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性”。 • 就是说复杂程度越高，模糊性便越强，精确化程度也就越低复杂性升高模糊性增加精确性降低复杂性升高模糊性增加保持或提高精确性 • 欲解决精确性与模糊性之间的矛盾，办法是在它们之间建起一个桥梁——模糊数学。 • 模糊数学的出现，给我们研究那些复杂得难以用精确数学模型描述的问题带来了方便而又简单的方法。二、模糊数学的产生 1965年，Zadeh教授发表了开创性的论文《模糊集合》，标志着一个崭新的学科—模糊数学的诞生。 Zadeh教授通过长期对控制论的研究，深刻地感到了精确数学的局限性，即有时不能准确地描述客观现实。这方面的例子在日常生活中比比皆是，比如在看电视时，要把图象调得更清晰一些，这个连孩子都能做的事，却成了电子计算机的一大难题。再如要把汽车停在拥挤的停车场上的一个空位上，有经验的司机能很快做到，而让计算机控制却难以实现。其原因就在于把电视图象调得“更清晰一些”和找到拥挤停车场的“可停下一辆车”的空位都是模糊概念，难以用精确的数学语言来描述，因而难以由计算机控制。特别在生物学、心理学及社会科学领域中数学很难发挥作用，因为这些学科的规律太复杂，现有的数学无法准确地反映它们的真实面貌。为了对客观事物进行更准确的描述，Zadeh教授将普通子集的特征函数发展为模糊子集的隶属函数，将二值逻辑（即非此即彼，如真为“1”，则假为 “0”）改造为多值逻辑，即把｛0,1｝扩充为［0,1］区间，用［0,1］内的数来描述事物的模糊性。这些突破性的工作为计算机模拟人脑的某些思维方法，提高计算机的思维能力开辟了新的天地。由此可知，计算机科学的飞速发展对模糊数学起了催生的作用，而模糊数学又使计算机在各领域中发挥出更大作用。模糊数学的产生与发展有着明显的时代特点，它与计算机、人工智能和系统工程的发展息息相关。三、模糊数学的现状与发展前景模糊数学诞生至今四十多年来，其发展速度超出了许多应用数学的学科，并渗透到自然科学、社会科学的许多领域。尤其在冶金、气象学、生物学、心理学、电子学、计算机科学、控制论、物理学、信息论等学科领域中，模糊数学显示出强大的渗透力。过去不能应用数学的学科，应用了模糊数学后，取得显著的成果。在模糊数学理论迅速发展的同时，模糊技术的开发应用也取得了显著成果。 •1974年英国工程师Mamdani成功地完成了世界上第一个模糊控制实例：蒸汽机的模糊控制。 •1976年，英国学者Tong对压力容器内部的压力和液面进行模糊控制，控制的难点在于非线性、强耦合以及时间常数相差太大，而用模糊控制收到了较好的效果。 1985年以来，日本开始开发模糊家电系列产品和微型模糊控制系统，目前已获得了很多专利，诸如: •日立制作所研制的地铁自动操作的模糊控制系统; •富士电视公司开发的净水工厂药剂投量的自动控制系统; •立石电机开发的电梯群运行的管理系统; •松下电器推出的利用模糊逻辑原理制造的全自动的模糊洗衣机、电饭锅、微波炉; •利用二型模糊逻辑系统的移动通信等。由于模糊技术设计是人对自然、社会或对人本身的判断，而每项被控系统缺乏人的感知是难以想象的，同时模糊技术通常于电子计算机和控制系统相结合，而电子计算机和控制系统作为人类活动最基本的工具，目前已被“信息社会”的种种论断所证明，因此，模糊技术已经成为21世纪的一项基础技术。模糊理论与技术有四大应用领域：第一是模糊计算机；除具有一般电脑的功能外，还具有学习、思考、判断和对话的能力，可以立即辨识外界物体的形状和特征，甚至可帮助人从事复杂的脑力劳动。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机；第二是决策系统，它能模仿人脑功能对信息加以识别和理解，对各种复杂对象进行处理。为各种事物的决策提供可靠的保证；模糊理论与技术有四大应用领域：第三是模糊神经网络技术，它是把经验和知识数学化的模糊化处理，把规划、推理变成神经网络映射处理和直接从数据样本中抽取经验规则的模糊神经网络技术；第四是模糊自动化控制，这种控制不是简单的开关型和程序开关型，而是能完成多任务及多目标处理，具有管理、监控等人工智能的决策能力。目前在电子、机械、土建、医疗、农业、气象、生物及家用电器等许多领域内，已有上千项实用有效的模糊技术成果正在为人类造福，产生了巨大的经济效益。在这四方面的应用领域中以模糊控制及模糊神经网络技术最为活跃和引人注目。我国的模糊数学研究工作开始于70年代，在老一辈数学家的扶持和带动下，对模糊数学展开了多方面的研究，虽然起步较晚，但发展十分迅速，并已取得可喜成果，部分理论研究水平处于国际领先地位。从目前的国际发展概况与阵容来看，北美、欧洲、日本和中国被认为是国际模糊数学的四大主力。四、模糊数学研究内容 • 第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。Zadeh以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。 • 第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 • 为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。扎德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。 • 第三，研究模糊数学的应用。 • 模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。是一门新兴学科，它已初步应用于人工智能、图像处理、自动控制、模式识别、聚类分析、语音识别、信号检测与参数估计、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。五、模糊数学的应用 1、多因素综合决策在工程科学中，一般都要同时考虑多种因素的影响，因而就涉及到多因素综合决策的问题。 2、模糊模式识别模糊模式识别，不仅包含有图形、图像识别、文字识别以及模糊系统辨识等，它还有在其他方面的应用，例如，机械系统的模糊故障诊断，样品归类判别等等。 3、工程模糊优化设计自从电子计算机问世并普遍使用以来，最优化设计理论和方法的研究，几乎在各个工程科学的领域里都在普遍地开展。如果优化设计的目标或约束条件带有模糊性，或者存在有各种模糊因素，就需要运用模糊规划的理论和方法进行优化设计。这是当前多内外不少人感兴趣的一个理论性和实用性很强的课题。 4、模糊控制对于那些难以建立清晰数学模型的控制系统，模糊控制器能够发挥良好的作用，国外七十年代在这方面进行了大量的应用性研究，涉及到能源、交通、热交换、压力容器、烧结工厂等多方面的控制问题，取得了良好的效果。 5、模糊信息处理在通信、声纳、雷达、成像、导航、制导、空间测控等各种电子系统中，信息处理（信号处理、数据处理、图像处理等）占有特殊重要的地位，统计学方法是研究电子系统中信息处理问题的主导性方法。随着模糊数学的兴起，这种局限性已变得明朗起来，并日益为人们所理解和重视。就拿雷达目标检测来说，有时会遇到这样的情况，即用机器（按统计信息处理理论设计而成的）自动检测目标的效果往往赶不上熟练的雷达操作员在雷达荧光屏上凭经验检测目标的结果。特别是目标背景比较复杂时情况更加如此。 6、系统的预测和评估目前，在气象、环保、医学等学科中对这方面的应用研究比较活跃，它对于工程也是适用的，例如工程投标快速报价，山区小流域洪水预报等，存在着许多模糊因素或缺乏必要的资料，应用模糊数学的方法进行预测，将可取的较好的效果。 • 模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。 •

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