Transcript R - Nikhef

massaverdeling  gravitatieveld
Gravitatiewet:
mi
[m]=kg
ri
P

N mm

F  mg P  G  2 i rˆi
i 1 r i
P
N m

iˆ


G
gP
 2 ri
i 1 r i
m
Diskreet:
mi
[m]=kg
ri
Continu:
r
 dv
[]=kg/m3
P


g P  G  dv 2 rˆ
volume r
Coördinaatsystemen
Z
Z
ez
ex
Z
ez
ey
z
e

er
e
e
r
ez
ex
er
ez
er
ey
Y
er r

X
(x,y,z)
(r,,z)
e
er

(r,,)
e
Volume integraal:
bol coördinaten
d
Z

r
dv=(rd) (rsind) (dr)
=r2sin  dddr
dr

rsin
d
Voorbeeld: bol inhoud
z
Om de bol inhoud te bepalen integreer
je de functie “1” over het bol volume:
r=R

r=0

Integratie domein:
r:
:
:
y
Integraal:
 1dV 
bol
x
[0,R]
[0,]
[0,2]
R  2
  
00 0
r 2 sin d d dr

R
  r 2 sin 
00

4  3 R 
r | 
3  0
 | d dr  2 cos | dr
2
0

4 3
R
3
R
 r2
0

0
4
Wet van Gauss
De gravitatieflux
De wet van Gauss
Voorbeeld
Flux Fg
doˆ  eˆ do
g
n
Waterkraan:

( g , doˆ)  0
o
O
Fg 


 doˆg
oppervlakO

ˆ
 do en g  Og
oppervlakO
" Flux" :

( g , doˆ)  90
o
O
 do water [l / s ]
g
O
oppervlakO
Fg 

ˆ
 do g  0
oppervlak O

( g , doˆ)  
Verband tussen:

– open/dicht van de kraan
– “flux” door oppervlak O
O
g
Fg

 do eˆ  g
n
oppervlakO
Og cos 
Gevolg wet van gravitatiewet

g
M
do
R
Massa M in middelpunt bol
Flux Fg door boloppervlak wordt:
 
 
GM

g

d
o

do
(
g
// do)
Fg 

2
bol
bol R
 2 GM 2
 
R sin  d d (r )
2
R
0 0
 2
GM   sin  d d GM 4 4GM
0 0
De essentie:
Fg =-4GM geldt voor ieder omsluitend oppervlak;
niet alleen voor bol met M in middelpunt!
- g  1/r2
- boloppervlak  r2
Wet van
Gauss:
Massa M omsloten door
een boloppervlak
Fg 

 g doˆ  4G  M i
oppervlakO
Massa m buiten een
willekeurig oppervlak

  4GM
F g


M
Massa M omsloten door
willekeurig oppervlak
in V
M
m
Fg 0
V.b. Gauss: bolvolume
Bolvolume:
|g|
– massaverdeling:  kg/m3
– symmetrie: g  bol, g(r)
– “Gauss box”: bolletje

R
R

 4Gr
r  R: g 
3
 4G R3rˆ
r  R: g 
3r 2
r
g
r
g


 
g 



Flux:
Bol
2
F g  4 r g
Wet van Gauss :
4 3
4Gr

2
r

R
:
4

g


4

G



g


r
r

3
3

F g  4G  M  
3
4
4

G

R
om sloten
2
3
r  R: 4 r g 4G  R   g 
3

3r 2
Stelling van Gauss
(wiskunde)
De divergentie
De stelling van Gauss
Voorbeeld
Divergentie:
  g g y g
 g  x 
 z
x y z
 
g do  4G  dv

Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss):
oppervlak
g(x+dx,y,z)
dz
dy
volume
 
 g do  dxdy g z(x,y,z dz) g z(x,y,z) 
oppervlakje
g(x,y,z)
 dzdx  g y(x,y dy,z) g y(x,y,z) 
dx
Compactere notatie via
“divergentie”:
4G
  g g y g
 g  x 
 z
x y z
Dus:
 dydz g x(x  dx,y,z) g x(x,y,z)
 gx g y gz 

 dxdydz


 x y z 


 ρdv  4G dxdydz  ( x, y, z)
volum etje
 
 g do  4G
oppervlakje
  


  (r )dv    g (r )  4G (r )
volum etje
De link: wiskunde & natuurkunde
M.b.v. gravitatiewet gevonden:
M
Wet van Gauss : F g 

 g doˆ  4G
oppervlak O
  dv
volume
M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen gveld en massaverdeling omzetten in “differentiaal verband:
 
  gdv 
volum e
Wiskunde:
Gauss
 
 
 g do  4G  dv    g  4G
oppervlak
volum e
Natuurkunde:
gravitatie/Gauss
M
gravitatiepotentiaal
Gravitatiewet:
[m]=kg
mi
ri
P

N mm


F  mg P  G  2 i rˆi  m(r )
i 1 r i
m
r



g P  G  dv 2 rˆ  (r )
volume r
[]=kg/m3
P
 dv
 

g(r )  (r )
 
  gdv 
volum e
 
 
 g do  4G  dv    g  4G
oppervlak
volum e
 



2
   g (r )   (r )   (r )  4G (r )
Volume integraal:
cilindercoördinaten
Z
dv=(dz) (rd) dr
=r dzdrd 
dz
dr
z

r
d
14
Voorbeeld: cilinder inhoud
z
Om de cilinder inhoud te bepalen integreer
je de functie “1” over het cilinder volume:
z=+h/2
Integratie domein:
z
z:
r:
:

y Integraal:
r
 1dV 
cilinder
z=h/2
x
r=0
[h/2,+h/2]
[0,R]
[0,2]
r=R
 h / 2 2 R

  rdrd dz
h / 2 0 0

 h / 2 2 1
2 R

d dz
 r
0
2
h / 2 0

 h / 2 2 1
2

 R d dz
h / 2 0 2
|
  R2 h
15
V.b.: hoeveel m3 H2O ongeveer op aarde?
Straal aarde:  6.400106 m
Gemiddelde H2O laag:  103 m
 integratie domein:
r:
:
:
[Ri6.399106 m, Ro6.400106 m]
[0,]
[0,2]
 1dV 
Ro  2
  
Ri 0 0
bolschil

Ro 
  r 2 sin 
Ri 0

4  3 Ro 
r | 
3  Ri 
r 2 sin d d dr
 | d dr  2

2
0
Ro

Ri
r cos | dr
2

0
4
Ro 3 Ri 3   5.15  1017 m3
3
Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400106 m:
H2O  4(6.400106)2 103  5.151017 m3
16