Transcript Ch5.5

Tan
微積分
5
積分
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5.5





微積分基本定理
微分和積分的關係
於5.4 節中，用黎曼和的極限定義定積分。
但是發現使用此定義求定積分的過程相當繁瑣，
即便簡單的函數也是如此。
這使我們聯想到使用函數之差商的極限求函數導
數的過程。
幸運地，存在更好且更簡單的方法求定積分。
Tan/微積分-Ch5.5-p279
2
微分和積分的關係



本節將專注在微積分裡最重要的定理。因為它建
立微分和積分之間的關係，稱為微積分基本定理
（Fundamental Theorem of Calculus）。
它分別由英國的Isaac Newton（1643-1727）和德
國的GottfriedWilhelm Leibniz（1646-1716）各自
獨立地發現。
看此定理之前，需要下面定理的結果。
Tan/微積分-Ch5.5-p279~280
3
定積分的均值定理


若磁浮列車在一平直的軌道上行駛，其速度為v (t)
呎／秒，且t 在t = a 和t = b 之間並以秒計。試問
磁浮列車在時間區間[a, b] 的平均速度為何？
為了回答此問題，先假設在[a, b] 連續並用等距離
的點
ba
t 
n
將區間[a, b] 分割成n 個等長度的子區間，其長度
為
a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b
Tan/微積分-Ch5.5-p280
4
定積分的均值定理

接著分別在子區間[t0, t1], [t1, t2], … , [tn–1, tn]內選取
要被計算的點分別為c1, c2, ... , cn ，並計算磁浮列
車在這些點的速度：
v(c1), v(c2), … , v(cn)

這些數的平均為
v(c1 )  v(c2 ) 
n
 v(cn )
1 n
  v(ck )
n k 1
即磁浮列車在[a, b] 的平均速度。
Tan/微積分-Ch5.5-p280
5
定積分的均值定理

因為
ba
n
t
所以表示式改寫為
1 n
1
v(ck ) 

ba
n k 1
t
Tan/微積分-Ch5.5-p280
n
1 n
v(ck ) 
v(ck )t


b  a k 1
k 1
6
定積分的均值定理


當n越來越大，即表示使用越來越小的時間區間內
的點所求的速度估算磁浮列車的平均速度。
直覺上，隨著n遞增，近似值會更好。這建議我們
定義磁浮列車在區間[a, b] 的平均速度為
1 n
lim
v(ck )t

n  b  a
k 1
Tan/微積分-Ch5.5-p280
7
定積分的均值定理

然而根據定積分的定義，
n
1 n
1
lim
v(ck )t 
lim  v(ck )t

n  b  a
b  a n k 1
k 1
1 b

v(t )dt

ba a

因此，定義磁浮列車在時間區間[a, b] 的平均速度
（average velocity）為
1 b
v(t )dt

ba a
Tan/微積分-Ch5.5-p280~281
8
定積分的均值定理

更廣義地，我們有下面函數f 在[a, b] 區間的平均
值定義。
定義 函數的平均值
若f 在[a, b] 可積分，則f 在[a, b] 的平均值（average value
of f）為數
1 b
f av 
f ( x)dx

a
ba

(1)
若f 非負，則有下列f 在[a, b] 的平均值之幾何意義。
Tan/微積分-Ch5.5-p281
9
定積分的均值定理

參照圖5.38，發現fav 為底在[a, b] 區間上的長方形
的高，且此長方形的面積和圖形f 下方在[a, b] 的
區域面積相同。
b
圖5.38 長方形的面積為 (b  a) fav   f ( x)dx  圖形f 下方區域的面積
a
Tan/微積分-Ch5.5-p281
10
定積分的均值定理



回到磁浮列車移動的例題，若在[a, b]，b v(t)  0 ，
則磁浮列車在[a, b] 期間行駛的距離為 a v(t )dt，即
圖形下方在[a, b] 的區域面積。
但是這個面積等於(b – a)vav，此處vav為速度函數
的平均值。
因此，磁浮列車從t = a 到t = b，以v(t)呎／秒的速
率行駛的距離可以表示成在相同期間以常數
（constant）速率（稱為平均速率vav 呎／秒）行駛
的距離。
Tan/微積分-Ch5.5-p281
11
例題 1
求f (x) = 4 – x2在[–1, 3] 區間的平均值。
解：
將a = –1, b = 3和f (x) = 4 – x2代入式(1)，可得

1 b
f av 
f ( x)dx

a
ba
3
1
2

(4

x
)dx

3  (1) 1
1  20 
  
4 3 
5

3
Tan/微積分-Ch5.5-p281
使用5.4 節例題 2的結果
12
定積分的均值定理

若再看一次圖5.38，會發現在[a, b] 內有一數c，滿
足f(c) = fav（圖5.39）。
圖5.38
b
長方形的面積為 (b  a) fav  a f ( x)dx  圖
形f 下方區域的面積
Tan/微積分-Ch5.5-p281
圖5.39 f av 
1 b
f ( x)dx
b  a a
13
定積分的均值定理

下面的定理保證，若f 在[a, b] 連續，則在此區間
內至少有一數，它所對應的值為fav。
定理1 積分的均值定理
若f 在[a, b] 連續，則在[a, b] 內存在數c，使得
f ( x)  f
Tan/微積分-Ch5.5-p281~282
1
b
a f (c )dx

ba
14
微積分基本定理的第一部分


若f 為定義在[a, b] 連續且非負的函數且x 為[a, b]
內任意點。
令
x
A( x)   f (t )dt
a
（因為用x 表示積分的上限，所以使用掛名的變
數t。）
Tan/微積分-Ch5.5-p283
15
微積分基本定理的第一部分

則因為f 非負，所以A(x) 可解釋為圖形f 下方在[a,
x] 區間的區域面積，如圖5.41 所示。
圖5.41 A( x) 
Tan/微積分-Ch5.5-p283

x
a
f (t )dt 為圖形f 下方在[a, x] 的區域面積
16
微積分基本定理的第一部分


對於在[a, b] 內的每個點x，數A(x) 是唯一的，所
以A為定義在[a, b] 的x 函數。
接著看一個特例。假設在[0, 1] 區間f (x) = x。若用
5.4 節例題3 的結果，將a = 0 和b = x 代入式子，
則
1 2
A( x)  tdt  x
0
2
x
Tan/微積分-Ch5.5-p283
0  x 1
17
微積分基本定理的第一部分
x

若參考圖5.42 並將積分 0 tdt 解釋為三角形陰影的
面積，則此結果也是明顯的。
圖5.42
三角形的面積為
Tan/微積分-Ch5.5-p283
1
2
( x)( x)  12 x2
18
微積分基本定理的第一部分

觀察

d x
d 1 2
A '( x)   tdt   x   x  f ( x)
dx 0
dx  2 
所以A(x)為f (x) = x 的反導函數。
對於所有連續函數f，若
d x
f (t )dt  f ( x )

dx 0
成立，則這是很令人驚訝的。因為它提供微分的
過程和積分的過程之間的聯繫。
Tan/微積分-Ch5.5-p283
19
微積分基本定理的第一部分


大致上，此式子陳述微分不能做積分所做的：這
兩個運算子是互逆的。
因此微分（求曲線上的切線斜率）和積分（求曲
線所包圍的區域的面積）表面上似乎是不相干的
問題，事實上卻是有親密的關係。
Tan/微積分-Ch5.5-p283
20
微積分基本定理的第一部分

由於它的重要性被稱為微積分基本定理，所以結
論是正確的。
定理2 微積分基本定理的第一部分
若f 在[a, b] 連續，則函數F 被定義為
x
F ( x)   f (t )dt
a
a xb
在(a, b) 可微分且
d x
F '( x) 
f (t )dt  f ( x)

a
dx
Tan/微積分-Ch5.5-p283~284
(2)
21
例題 3

求函數的導數：
3
1
2
a. F ( x)  
dt b. G ( x)   1  t dt
2
1 1  t
x
x
解：
a. 被積分函數
1
f (t ) 
2
1 t
處處連續。
Tan/微積分-Ch5.5-p284
22
例題 3－解

使用微積分基本定理的第一部分，可得
d x 1
F '( x) 
dt
2

dx 1 1  t
 f ( x)
1

1  x2
Tan/微積分-Ch5.5-p284
23
例題 3－解
b. 被積分函數
1 t
2處處連續。所以，
d 3
2
G '( x) 
1  t dt

dx x
dt  x
2

  1  t dt 

dx  3
d x
   1  t 2 dt
dx 3
b
a
a f ( x )dx   b f ( x ) dx
  1 t 2
Tan/微積分-Ch5.5-p284
24
微積分基本定理的第二部分

下面的定理，是微積分基本定理的第一部分的結
果，表示如何透過找被積分函數的反導函數來計
算定積分，而不是仰賴計算黎曼合的極限。因此，
這工作變得簡單多了。
定理3 微積分基本定理的第二部分
若f 在[a, b] 連續，則

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)
(3)
此處F 為f 的任意反導函數，亦即，F' = f。
Tan/微積分-Ch5.5-p285
25
微積分基本定理的第二部分

當使用微積分基本定理時，使用下面的記號比較
方便。
 F ( x)a  F (b)  F (a)
b

「F ( x ) 在b的值減掉F ( x ) 在a的值」
譬如：使用此記號，式(3) 可寫成

b
a
Tan/微積分-Ch5.5-p286
f ( x)dx   F ( x)a  F (b)  F (a)
b
26
微積分基本定理的第二部分

同時根據微積分基本定理，若F(x) + C為f 的任意
反導函數，則

b
a
f ( x)dx   F ( x)  C a
b
 [ F (b)  C ]  [ F (b)  C ]
 F (b)  F (a )   F ( x)a
b

此結果顯示，當使用微積分基本定理時，可以把
積分的常數拿掉。
Tan/微積分-Ch5.5-p286
27
例題 5

計算
2
4
 /2
0
0
a.  ( x  2 x  1)dx b.  2 xdx c. 
3
2
1
解：
a. 
2
1
cos xdx
2
1 4 2 3

( x  2 x  1)dx   x  x  x 
3
4
1
3
2
 16
 1 2 
  4   2      1
3

 4 3 
1

12
Tan/微積分-Ch5.5-p286
28
例題 5－解
4
4
0
0
b.  2 xdx   2 x dx
1/ 2
4
 4 3/ 2 
 x 
3
0
4 3/ 2 4
 (4)  (0)
3
3
32

3
Tan/微積分-Ch5.5-p286
29
例題 5－解
c. 
 /2
0
cos xdx  sin x0
 /2
 1 0
1
Tan/微積分-Ch5.5-p286
30
使用代換法計算定積分：例題7

計算

2
0
x x  4。
dx
2
解：
方法I：考慮相對應的不定積分
I   x x  4dx   x( x  4) dx
2
2
1/ 2
令u = x2 + 4 ，則du = 2x dx 即 xdx  12 du 。
Tan/微積分-Ch5.5-p287
31
例題7－解

將這些等式代入積分後，可得
1 1/ 2
I   u du
2
1 3/ 2
 u C
3
1 2
3/ 2
 ( x  4)  C
3
Tan/微積分-Ch5.5-p287
32
例題7－解

由函數 f ( x)  x x2  4 的反導函數知識，計算給
予的積分如下：

2
0
Tan/微積分-Ch5.5-p287
2
1 2
3/ 2 
x x  4dx   ( x  4) 
3
0
1 3/ 2 1 3/ 2
 (8)  (4)
3
3
8
 (2 2  1)
3
2
33
例題7－解



方法II：改變積分的極限如之前所做的代換。
1
令u = x2 + 4 ，則du =2x dx 即 xdx  2 du。
接著直接觀察：給予的積分之上下限分別為0 和2，
因此所給予的積分範圍（range of integration）為
[0, 2]區間。
Tan/微積分-Ch5.5-p287
34
例題7－解




要進行的代換u = x2 + 4是將原來的積分轉換為另
一個以新的變數u 為變數的積分。
為了得到積分新的極限，注意到當x = 0，u = 0 + 4
= 4，得到對u 積分時積分的下限。
同理，當x = 2，u = 4 + 4 = 8，得到積分的上限。
因此，當此積分是對u積分時，積分範圍變為[4,
8]。
Tan/微積分-Ch5.5-p287~288
35
例題7－解

由於此，積分式可寫成

2
0
1 1/ 2
x( x  4) dx   u du
4 2
8
 1 3/ 2 
 u 
3
4
2
1/ 2
8
1 3/ 2 1 3/ 2 8
 (8)  (4)  (2 2  1)
3
3
3
如之前所得。
Tan/微積分-Ch5.5-p288
36
奇函數和偶函數的定積分

下面的定理使用被積分函數的對稱性來幫助計算
定積分。
定理4 奇函數和偶函數的積分
假設f 在[ a, a]連續。
a. 若f 是偶的，則

a
a
a
f ( x)dx  2 f ( x)dx。
0
a
b. 若f 是奇的，則  a f ( x)dx  0。
Tan/微積分-Ch5.5-p288
37
奇函數和偶函數的定積分

圖5.44 是定理4 的幾何說明。圖5.44a 中，此非負
函數f 圖形下方從–a 到0 的區域面積和圖形f 下方
從0 到a 的區域面積相同，所以圖形f 下方從– a 到
a 的區域面積等於從0 到a 的兩倍。
a
a
a
0
(a)  f ( x)dx  2 f ( x)dx
a
(b) f ( x)dx  0
a
圖5.44 (a) 偶函數和(b) 奇函數的積分
Tan/微積分-Ch5.5-p289
38
奇函數和偶函數的定積分


但是每一個這些面積都有一個適合的積分，所以
得到此定理的第一個結果。
圖5.44b 中，圖形f 上方和x 軸下方從– a 到0 的區
域面積等於圖形f 下方從0 到a 的區域面積；前面
的是負（negative）的積分從0 積到a。
Tan/微積分-Ch5.5-p289
39
例題 9

計算
1
2
sin x
2
1 x
a.  ( x  2)dx b. 
2
1
2
dx
解：
a. 此處f (–x) = (–x)2 + 2 = x2 + 2 = f (x)，所以
根據定理4，

1
1
Tan/微積分-Ch5.5-p289
1
( x  2)dx  2 ( x  2)dx
2
2
0
40
例題 9－解
1
1 3

 2  x  2x 
3
0
1
 14
 2  2 
3
3

b. 此處
f (  x) 
Tan/微積分-Ch5.5-p289~290
sin( x)
1  (  x)
2
41
例題 9－解

sin x
1 x
2
  f ( x)

所以f 是奇的。
根據定理4，
2
sin x
2
1  x2

Tan/微積分-Ch5.5-p290
dx  0
42
定積分作為淨變動量



於真實世界的應用中，經常出現某時期的淨變動
量。
譬如：假設P 為人口函數，P(t) 表示某城市於時間
t 的人口。
則人口在t = a到t = b 期間的淨變動為
P(b) – P(a) t = b 時的人口減t = a 時的人口
Tan/微積分-Ch5.5-p290
43
定積分作為淨變動量

若P 的導函數P'在[a, b] 連續，則可以使用微積分
基本定理的第二部分，寫
b
P(b)  P(a)   P '(t )dt P為P ' 的反導函數
a

因此，若知道人口在時間t 的變化率（rate of
change），則可以透過計算適當的定積分來計算
人口在t = a 到t = b 期間的淨變動。
Tan/微積分-Ch5.5-p290
44
例題 10 Clark 郡的人口成長
Nevada 州的Clark 郡（首府Las Vegas 市）為美國
最快速成長的都會區之一，其人口自1970 年至
2000 年的成長速率為
R(t) = 133,680t2 – 178,788t + 234,633 0  t  4
R(t)的單位為（人口數／ 10 年），t = 0 表示1970
年初。該郡自1980年初至1990 年初人口數的淨改
變量是多少？
（資料來源： U.S. Census Bureau.）

Tan/微積分-Ch5.5-p290
45
例題 10 Clark 郡的人口成長－解


該郡自1980 年初（t = 1）至1990 年初（t = 2）人
口數的淨改變量為P(2) – P(1)，其中P 表示該郡在
時間t 的人口數。
由於P' = R，
2
P(2)  P(1)   P '(t )dt
1
2
  R(t )dt
1
2
  (133,680t 178.788t  234,633)dt
2
1
Tan/微積分-Ch5.5-p290
46
例題 10 Clark 郡的人口成長－解
 44,560t  89,394t  234,633t 
3
2
2
1
 [44,560(2 )  89,394(2 )  234,633(2)]
 [44,560  89,394  234,633]
3
2
 273,371
故該時間間隔內人口數的淨改變量為278,371 人。
Tan/微積分-Ch5.5-p291
47
定積分作為淨變動量


更廣義地，我們有下面的結果。
假設f 有一個連續的導函數，即使只要f '是可積分
就夠了。
淨變動公式
若f '在[a, b] 連續，則函數f 在[a, b] 的淨變動為
b
f (b)  f (a)   f '( x)dx
(6)
a
Tan/微積分-Ch5.5-p291
48
定積分作為淨變動量


另一個函數f 的淨變動例題，我們考慮物體在直線
上的運動。假設此物體的位置函數和速度函數分
別為s 和v。
因為s(t) = v(t)，所以式(6) 為
b
b
a
a
s(b)  s(a)   s '(t )dt   v(t )dt
它表示此物體在[a, b] 期間位置的淨變動。此位置
的淨變動是物體在t = a 到t = b 期間的位移
（displacement。
Tan/微積分-Ch5.5-p
49
定積分作為淨變動量

為了計算物體在t = a 到t = b 期間移動的距離，觀
察得知，若在[c, d] 區間， v(t)  0 ，則物體在t = c
d
到t = d 期間移動的距離為它的位移 v(t )dt。

c

換言之，若在[c, d] 區間，v(t)  0 ，則物體在t = c
到t = d 期間移動的距離為負的位移，亦
d
即  v(t )dt 。
c

d
d
c
c
但是  v(t )dt  v(t )dt 。


Tan/微積分-Ch5.5-p291
50
定積分作為淨變動量

因為

v(t ) v(t )  0
v(t )  
v(t ) v(t )  0
我們知道不論哪一種情況，物體移動的距離是對
物體的速率作積分的。
因此，物體在t = a 和t = b 之間移動的距離為

b
a
Tan/微積分-Ch5.5-p291
v(t ) dt
(7)
51
定積分作為淨變動量

圖5.45 為物體位移的幾何說明和物體移動的距離。
圖5.45
b
b
位移是 v(t )dt  S1 的面積－S2的面積+S3的面積，且距離為  v(t ) dt  S1
a
a
的面積+S2的面積+S3 的面積
Tan/微積分-Ch5.5-p292
52