Transcript Ch9.8

Tan
微積分
9
無窮數列與級數
© 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part.
9.8



泰勒和馬克勞林級數
泰勒和馬克勞林級數
假設某函數f 可以表示為以c 為中心且收斂半徑為
R > 0 的冪級數。
若|x – c| < R，則
f (x) = a0 + a1(x – c) + a2(x – c)2
+ a3(x – c)3 + a4(x – c)4
+ … + an(x – c)n + …
Tan/微積分-Ch9.8-p515
2
泰勒和馬克勞林級數
重複使用9.7 節定理2，可得
f (x) = a1 + 2a2(x – c) + 3a3(x – c)2 + 4a4(x – c)3
+ … + nan(x – c)n–1 + …
f (x) = 2a2 + 3  2a3(x – c) + 4  3a4(x – c)2
+ … + n(n – 1)an(x – c)n–2 + …
f (x) = 3  2a3 + 4  3  2a4(x – c) + …
+ n(n – 1)(n – 2)an(x – c)n–3 + …

...
f (n)(x) = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)  …  2an + …
...
Tan/微積分-Ch9.8-p515
3
泰勒和馬克勞林級數


當x 滿足| x – c | < R，這些級數都成立。將x = c 代
入上面每個等式可得
f (c) = a0, f (c) = a1, f (c) = 2a2,
f (c) = 3! a3, …, f (n)(c) = n! an,
…
由此得知
f ''(c)
a0  f (c), a1  f '(c ), a2 
2!
f '''(c)
f ( n ) (C )
a3 
,
, an 
,
3!
n!
Tan/微積分-Ch9.8-p515~516
4
泰勒和馬克勞林級數

我們已經證明若f 可表示成冪級數，則此級數必有
下面定理的形式。
定理1 f 在c 處的泰勒級數
若f 表示為在c 處的冪級數，亦即，若

f ( x)   an ( x  c)n
x c  R
n 0
則對於任意正整數n，f (n)(c) 存在且
故
f ( n ) (c )
an 
n!

f ( x)  
n 0
f ( n ) (c )
( x  c) n
n!
 f (c)  f '(c)( x  c) 

Tan/微積分-Ch9.8-p516
(1)
f ''(c)
( x  c) 2
2!
f '''(c)
( x  c )3 
3!
5
泰勒和馬克勞林級數


此形式的級數稱為函數f 在c 處的泰勒級數
（Taylor series of the function f at c），以英國數
學家Brook Taylor（1685-1731）命名。
在c = 0 的特殊情形，此泰勒級數變成

f ( x)  
n 0
f ( n ) (0) n
f ''(0) 2 f '''(0) 3
x  f (0)  f '(0) x 
x 
x 
n!
2!
3!
(2)
此級數只是f 以原點為中心的泰勒級數。它稱為f
的馬克勞林級數（Maclaurin series of f），以蘇
格蘭數學家Colin Maclaurin（1698-1746）命名。
Tan/微積分-Ch9.8-p516
6
例題 1

已知f(x) = ex 。求f 的馬克勞林級數並求它的收斂
半徑。
解：
f(x) = ex的第一階與第二階導數分別為f(x) = ex和f
(x) = ex ，且一般而言， f (n)(x) = ex ，其中n  1。
所以
f (0)  1,
Tan/微積分-Ch9.8-p516
f '(0)  1,
f ''(0)  1,
,
f ( n) (0)  1,
7
例題 1－解

cont’d
若使用式(2)，f 的馬克勞林級數（f 在0 處的泰勒
級數）為


f
n 0
(0) n  1 n
x  x
n!
n 0 n !
(n)
x 2 x3
 1 x   
2! 3!
xn
 
n!
為求此冪級數的收斂半徑，應用比例檢驗，並取
un = xn/n!。
Tan/微積分-Ch9.8-p516
8
例題 1－解

因為
n 1
un1
x
n!
lim
 lim
 n
n  u
n (n  1)! x
n
 lim
n 

x
n 1
0
結論為此級數的收斂半徑R = ∞。
Tan/微積分-Ch9.8-p516
9
泰勒和馬克勞林級數
二項式級數
若k 為整數且| x | < 1，則
k (k  1) 2 k (k  1)(k  2) 3
(1  x)k  1  kx 
x 
x 
2!
3!

k  n
   x
n 0  n 
(3)
1. 二項式級數的係數就是所謂的二項式係數
（binomial coefficients）並表示為
 k  k (k  1) (k  n  1)
k 
n  1,    1
 
n!
n
 n
Tan/微積分-Ch9.8-p520
10
泰勒和馬克勞林級數
2.若k 為正整數且n > k，則此二項式係數包含因子(k
k 
 k)，則對於n > k，   0。此二項式級數最後簡化
n
成k 階多項式：

k  n
k
(
k

1)
k
2
k
(1  x)  1  kx 
x   x    x
2!
n 0  n 
換言之，若k 為正整數，式子(1 + x)k表示為有限項
的和，並且若k 不是正整數，則式子(1 + x)k表示為
無限級數。
Tan/微積分-Ch9.8-p520
11
泰勒和馬克勞林級數
因此，可將二項式級數看成延伸到k 為非正整數
的二項式定理。
3. 即使–1 < x < 1 ，二項式級數還是收斂的，但是端
點x = –1處或x = 1 處的收斂性與k 值有關。我們可
以證明當–1 < k < 0 ，此級數收斂，並且當k  0 時，
在兩個端點處x = 1 ，此級數收斂。
4. 在(1 + x)k可以表示為冪級數的前提下， 我們已經
推導出式(3)。
Tan/微積分-Ch9.8-p520~521
12
求泰勒級數的技巧


函數的泰勒級數經常由式(1) 得到，但是如9.7 節的例題7、
例題8 與例題9 和本節的例題4 所示，由某些知名級數的代
數演算、微分或積分，可以比較容易求得此級數。
現在要開始說明這些技巧，首先陳列一些常用的函數表示
與表示它們的冪級數於表9.1。
Tan/微積分-Ch9.8-p521
表9.1
13
求泰勒級數的技巧
表9.1（續）
Tan/微積分-Ch9.8-p522
14
例題 7

1
求 f ( x) 
在x = 2 處的泰勒級數。
1 x
解：
首先將f (x) 改寫成含(x 2) 形式的式子
1
f ( x) 
1 x
1

3  ( x  2)
Tan/微積分-Ch9.8-p522
15
例題 7－解
1
1
1

 
  x  2  3
 x2
3 1  
1 


3
3

 



接著使用表9.1 的公式(1) 以及x 用–(x – 2)/3取代可
得




1
1

f ( x)  

3    x  2  
1   
   3   
Tan/微積分-Ch9.8-p522
16
例題 7－解
2
3

1    x  2    x  2    x  2 
 1   
   
   
 
3
   3    3    3 
2
3

1
 x2  x2  x2
 1  

 
 
3   3   3   3 








1 1
1
1
2
  2 ( x  2)  3 ( x  2)  4 ( x  2)3 
3 3
3
3
n

n ( x  2)
  (1)
n 1
3
n 0
Tan/微積分-Ch9.8-p522
17
例題 7－解


在|(x – 2)/3| < 1 ，此級數收斂，亦即， |x – 2| < 3
即–1 < x < 5 。
我們可以證明此級數在兩個端點都收斂。
Tan/微積分-Ch9.8-p522
18