Transcript 的相似形

放大圖與縮小圖
相似形的意義
平行線截比例線段
自 我 評 量
國小時曾學過三角形及四邊形的放大圖與
縮小圖。圖1-1中，圖(二)的長、寬皆為圖(一)的
1 倍，稱圖(二)為圖(一)的 1 倍縮小圖
2
2
圖(一)
圖(二)
而圖(三)的長、寬皆為圖(一)的2倍，稱圖
(三)為圖(一)的2倍放大圖。
圖(一)
圖(三)
圖(一)
圖(三)
圖(二)
圖1-1
在日常生活中，一般所謂的全開紙張通常
是指長42吋、寬30吋（1吋≒2.54公分）的長方
形紙張；而4開紙張的長、寬皆是全開紙張
1
的 ；
2
全開大小
30吋×42吋
4開大小
15吋×21吋
1
16開紙張的長、寬皆是全開紙張的 4 。
全開大小
30吋×42吋
16開大小
7.5吋×10.5吋
如圖1-2 ，若甲圖為全開大小，則乙圖為4開大
小，丙圖為16開大小，即甲圖可裁成4個乙圖，
或裁成16個丙圖。
全開大小
30吋×42吋
4開大小
15吋×21吋
圖 1-2
16開大小
7.5吋×10.5吋
1 放大圖與縮小圖
在圖1-2 中：
(1)甲圖是乙圖的幾倍放大圖？甲圖的面積是乙圖
的幾倍？
解 (1) ∵ 甲圖的長、寬均是乙圖的2 倍，
∴ 甲圖是乙圖的2 倍放大圖。
又甲圖可裁成4 個乙圖，
∴ 甲圖的面積是乙圖面積的4 倍。
數學上常以符號「∵」表示「因為」，
以符號「∴」表示「所以」。
1 放大圖與縮小圖
在圖1-2 中：
(2)甲圖是丙圖的幾倍放大圖？甲圖的面積是丙圖
的幾倍？
解 (2) ∵甲圖的長、寬均是丙圖的4 倍，
∴甲圖是丙圖的4 倍放大圖。
又甲圖可裁成16 個丙圖，
∴甲圖的面積是丙圖面積的16 倍。
1.在圖1-2 中：
1
(1)丙圖是乙圖的_____倍縮小圖，也是甲圖
2
1
的____倍縮小圖。
4
1
(2)丙圖的面積是乙圖面積的_____倍，也是
4
1
甲圖面積的_______倍。
16
2.如圖，長方形ABCD 與長方形AEFG 中：
(1)長方形ABCD 是長方形AEFG 的幾倍放大
3倍
圖？ _____________
(2)長方形ABCD 的面積是
長方形AEFG 的幾倍？
9倍
_____________
在繪製多邊形的放大圖時，我們也可以使用格
子圖來畫。如圖1-3 是一張格子圖，每個格子都是
正方形，放大成2倍後變成
圖1-4。
放大成2倍
圖1-3
圖1-4
在圖1-3上畫一個四邊形，為了方便觀察，將
頂點點在格線交點上，如圖1-5，再放大2倍成
圖1-6。
放大成2倍
圖1-5
圖1-6
1.在圖(二)上畫圖(一)的2倍放大圖。
放大成2倍
圖(一)
圖(二)
1
2.在圖(四)上畫圖(三)的 3 倍縮小圖。
縮小成
1倍
3
圖(四)
圖(三)
如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2
倍放大圖，其中：
∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∠C1＝∠C，∠D1＝∠D，
放大成2倍
圖1-7
如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2
倍放大圖，其中：
A1B1 ＝2 AB，B1C1 ＝2 BC，
C1D1 ＝2 CD，D1A1 ＝2 DA，
放大成2倍
圖1-7
如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2
倍放大圖，其中：
A1B：
1 AB＝ B1C：
1 BC ＝
1 DA ＝2：1。
C1D：
1 CD＝ D1A：
放大成2倍
圖1-7
放大成2倍
圖1-7
搭配習作 P5 基礎題 1
在圖1-7中，
A1與A、B1與B、C1 與C、D1與D 稱為對應頂點，
∠A1與∠A、∠B1與∠B、∠C1與∠C、∠D1與∠D
稱為對應角， A1B1 與 AB 、B1C1 與 BC、C1D1 與 CD
、D1A1 與 DA 稱為對應邊。
當這些對應邊的比例相等時，稱為對應邊成比例。
如圖1-7，四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD中：
A1B1：AB ＝ B1C1：BC ＝C1D：
1 CD＝D1A1：DA ＝2：1
，即 A1B1  B1C1  C1D1  D1A1  2
AB
BC
CD
DA
1.如右圖，五邊形MNOPQ是
五邊形ABCDE 的 34 倍縮小
圖。比較這兩個五邊形，回答下列問題：
頂點P
(1)頂點D 的對應頂點是_______，
∠N
∠B 的對應角是_________。
(2) AB 的對應邊是____，
MN DE 的對應邊是___。
PQ
2.根據下圖回答
下列問題：
(1)四邊形ABCD 變成四邊形IJKL 時，∠C 的對
∠L
應角是_______。
(2)四邊形ABCD 變成四邊形RSTU 時， AB 的對
應邊是_______。
UR
若兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比
例，這兩個多邊形稱為相似多邊形，以符號
「∼」表示相似關係，讀作「相似於」。
在圖1-7中，四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1
的對應角相等且對應邊都成比例，所以四邊形
ABCD是四邊形A1B1C1D1 的相似形，記作四邊形
ABCD∼ 四 邊 形 A1B1C1D1 。 反 過 來 說 ， 四 邊 形
A1B1C1D1 是四邊形ABCD的相似形，記作四邊形
A1B1C1D∼四邊形ABCD。
在本書中，若四邊形ABCD∼四邊形PQRS，
如圖1-8，則表示：
A的對應頂點為P，B 的對應頂點為Q，
C的對應頂點為R，D 的對應頂點為S。
圖1-8
搭配習作P5基礎題2／P6基礎題3
2 相似形的對應關係
已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS，∠Q＝76°，
∠R＝64°，∠S＝100°，試求∠A。
解
∵相似形的對應角相等，
∴∠A＝∠P
＝360°－∠Q－∠R－∠S
＝360°－76°－64°－100°
＝120°
已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS，若PQ ＝8，PS
＝6， AB ＝5，試求 AD 。
∵四邊形ABCD∼四邊形PQRS
∴ AB： PQ＝ AD： PS
5：8＝ AD ：6
15
AD ＝ 4
3 相似多邊形的判別
回答下列問題：
(1)兩個正方形是否一定相似？
搭配習作P6基礎題4
解 (1)設兩個正方形的邊長分別為a、b，
∵四組對應邊長的比均為a：b，
∴它們的對應邊成比例。
又四組對應角也相等（均為90°），
∴兩個正方形一定相似。
3 相似多邊形的判別
回答下列問題：
(2)兩個長方形是否一定相似？
搭配習作P6基礎題4
解 (2)長方形的四組對應角都相等（均為 90°），
但其對應邊長不一定成比例。
例如右圖中，長方形甲的長為 2，寬為 1；
長方形乙的長為 5，寬為 3，
2：5≠1：3，2：3≠1：5，
故兩個長方形不一定相似。
1.兩個菱形是否一定相似？
否，因為它們的內角不一定相等。
2.如右圖，ABQP為矩形，五
邊 形 ABCDE 與 五 邊 形
PQCDE 中 ， A 與 P 、 B 與 Q
為對應頂點，回答下列問
題：
(1)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 的對應角是
是
否相等？____________
(2)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 的對應邊是
否
否成比例？__________
(3)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 是否相似？
否
_____
由例題3與隨堂練習可知：
兩個四邊（含）以上的多邊形，
如果對應角相等且對應邊成比例，則此兩個
多邊形相似；
如果只有對應角相等或只有對應邊成比例，
就不相似。
接下來，我們來看兩個等高三角形其對
應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便，
「△ABC的面積」在本冊中我們以「△ABC」
來表示。
4 等高三角形面積的比等於底邊的比
如右圖，△ABC 中，D 為 BC
上的一點，且 BD ＝3，CD ＝
5，AH  BC， AH ＝4，試求
△ABD 與△ADC 的面積比。
解 △ABD：△ADC
＝( 1‧BD‧AH )： ( 1‧CD‧AH )
2
2
1
1
＝( ．3．4）：（2．5．4）
2
＝3：5
可以看成：
在例題4 中，△ABD：△ADC＝ BD ：CD （
底邊的比）。這是否表示任意兩個等高的三角形
，其面積的比會等於底邊的比呢？我們利用圖19的任意兩個等高的三角形來探討這個問題：
圖1-9
1
△ABC 的底為a，高為h，面積是＝ 2 ah，
1
△DEF 的底為b，高為h，面積是＝ 2 bh。
1
1
所以△ABC：△DEF＝ 2 ah：2 bh＝a：b（底邊
比），由此可見：
等高三角形面積的比等於底邊的比。
1.如右圖，△ABC 中，AD ： CD＝4：3，試求
(1)△ABD與△DBC的面積比。
(2)△ABD與△ABC的面積比。
(1)△ABD：△DBC
＝ AD ： CD
＝4：3
(2)△ABD與△ABC的面積比。
(2) AD ： CD ＝4：3
令 AD ＝4x， CD ＝3x
AC ＝ AD＋ CD ＝7x
△ABD：△ABC＝ AD ： AC
＝4x：7x＝4：7
2.如右圖，△ABC中，若△ADC
的面積為12，△CDB 的面積為
6，且 CH  AB 於H，試求
(1) AD：BD
(2) AD：AB
(1) △ADC：△CDB＝ AD： BD
12：6＝ AD ： BD
AD： BD ＝2：1
(2) AD：AB
(2)△ABC＝△ADC＋△CDB＝18
△ADC：△ABC＝ AD ： AB （同高）
12：18＝ AD：AB
AD：AB ＝2：3
接著我們利用「等高三角形面積的比等於底
邊的比」的關係，來發展比例線段的性質。
如右圖，PQ// BC，連接 PC、BQ，回答
下列問題：
(1)為什麼△QPB＝△PQC？
平行線間的距離相等，故
△PQB＝△PQC（同底等高）
(2)為什麼 △PQA：△PQB ＝ AP：PB ？
同高
(3)為什麼 △PQA：△PQC ＝ AQ ：QC？
同高
(4)為什麼 AP：PB ＝ AQ：QC ？
∵△PQA：△PQB
＝△PQA：△PQC（△PQB＝△PQC）
∴ AP： PB＝ AQ
： QC
由問題探索可知：
△ABC 中，若 PQ// BC
，且分別交 AB 、 AC 於P、
Q 兩點，則 AP：PB ＝ AQ：
QC。
若四個線段中，兩個線
段的比等於另兩個線段的比
，則我們稱這四個線段為比
例線段。
圖 1-10
以上述為例，因為 AP：PB ＝ AQ：QC，所
以稱 AP、PB 、 AQ、QC為比例線段。即：
三角形內平行一邊的直線，將另兩邊截成比例
線段。
5平行線截比例線段性質的應用
如右圖，△ABC 中，PQ// BC，
且 AP ＝12，PB ＝7，AQ＝18，
試求 QC 。
解 △ABC中，∵ PQ// BC
，
∴ AP： PB＝ AQ
： QC
12：7＝18：QC
QC  7 ‧18  21
12．QC ＝7．18
12
2
如右圖，△ABC 中，PQ// AB，且 CP：PA ＝7：
9，若 ＝32，試求
。
CB
CQ
∵ PQ// AB
∴ CP
： PA＝ CQ： QB
7：9＝ CQ ：（32－ CQ ）
CQ ＝14
如右圖，△ABC 中， PQ// BC ，且分別交 AB、
AC 於 P、Q 兩點，連接 PC 、BQ，回答下列問
題：
(1)為什麼△AQB＝△APC？
∵ PQ// BC
，
∴△PQB＝△PQC（同底等高）
△PQA＋△PQB＝△PQA＋△PQC
（等量公理）
即△AQB＝△APC
(2)為什麼△AQP：△AQB＝ AP：AB？
同高
(3)為什麼△AQP：△APC＝ AQ：AC ？
同高
(4)為什麼 AP ：AB ＝ AQ：AC？
∵△AQP：△AQB＝△AQP：△APC
（△AQB＝△APC）
∴ AP
： AB＝ AQ
： AC
由上面的問題探索可以得到：
△ABC 中，P、Q 兩點分別在
AB 、AC 上，且 PQ// BC ，
則 AP：AB ＝ AQ：AC。
圖 1-11
如右圖，△ABC 中，DE// BC，
AD＝5，AB ＝8，AC ＝6，試求
AE 。
∵ DE// BC，
∴ AD： AB＝ AE： AC
5：8＝ AE ：6， AE ＝15
4
△ABC 中，P、Q 兩點分別在 AB、AC 上
，若 AP：PB ＝ AQ ：QC，則 PQ 是否與 BC 平
行？
如圖1-12，過B點作
BC'// PQ ，交 AC 於 C '
點，由前可知 AP：PB
＝ AQ：QC'，
圖 1-12
' AQ： QC，故 C '點與 C 點重
∴ AQ： QC＝
合，即 BC' 與 BC 重合，也就是 PQ// BC。
由上可知：
若一直線截三角形的兩邊成比例線段，則此
直線平行於三角形的第三邊。
6由比例線段判別截線是否平行
如右圖，△ABC 中， AB ＝12，
AC ＝9， AP ＝8，QC ＝3，則
PQ 與 BC 是否平行？為什麼？
解
AQ ＝ AC－QC ＝9－3＝6
∵ AP： AB＝8：12＝2：3
且 AQ： AC ＝6：9＝2：3
∴ AP
： AB＝ AQ
： AC＝2：3
故 PQ// BC
搭配習作 P7 基礎題 5
如右圖，△ABC中， AP： PB ＝9：11，
若 AC ＝40，QC ＝22，試說明 PQ// BC
AQ：QC
＝18：22＝9：11＝ AP：PB
故 PQ// BC
由前面的討論可知：
如圖1-13，△ABC 中，
(1)若 PQ// BC，則 AP：PB ＝ AQ ：QC，且
AP：AB ＝ AQ：AC。
(2)若 AP：PB ＝ AQ：QC或 AP：AB ＝
AQ ：AC，則 PQ// BC 。
圖1-13
這些性質對任意三角形都成立，稱為平行線截
比例線段性質。
搭配習作 P7 基礎題 6
7利用平行線截比例線段性質分割線段
如下圖，用尺規依下面作法，在 AB 上找出一點
C，使得 AC：BC ＝2：3。
A
B
作法 (1) 過A 點作一條異於 AB 的直線L。
(2) 在L上依序取P1∼P5五點，使得AP1 ＝
P1P2 ＝ P2P3 ＝ P3P4 ＝ P4P5。
(3)連接 P5B 。
(4)過P2作 P2M // P5B，使 P2M 與 AB 交於
C點，則C點即為所求。
解
在例題7 所作出的圖形中，為什麼 AC：BC ＝2：
3？
△AP5B 中， P2C // P5B
∴ AC： BC＝ AP2： P2P5＝2：3
如下圖，已知 AB，參考例題7 的作法，用尺
規在 AB 上找出一點C，使得 AC：BC ＝1：2。
A
B
8 平行線截比例線段性質的應用
如右圖，M1、M2、M3 皆為直
線，若M1// M2 // M3，且分別與
截線L1 交於A、B、C 三點，與
截線L2交於D、E、F 三點，試
證 AB ：BC ＝ DE：EF 。
思路分析
如右圖，將L1 向右平行移動
，使L1 與L2 交於D點，就可
利用平行線截比例線段性質
說明之。
證明 (1)過D 作 DH //L1，且分別交M2、M3 於G、H
兩點。
(2)∵ AD// BE// CF，
∴四邊形ABGD 與四邊形BCHG皆為平行
四邊形，故 AB ＝DG，BC ＝GH 。
(3)在△DHF 中，GE // HF，
∴ DG
： GH＝ DE： EF，
故 AB：BC ＝DE ：EF 。
承例題8，若 AB＝3， BC ＝5 ， DE ＝( x＋1 )，
EF ＝2x，試求x 之值。
AB ： BC ＝ DE ： EF
3：5＝（x＋1）：2x
5x＋5＝6x
x＝5
1.相似多邊形：
如果兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比
例，這兩個多邊形稱為相似多邊形，以符號
「∼」表示相似。
2.等高三角形的面積比等於底邊比：
兩個等高的三角形，其面積比等於底邊的邊
長比。
圖1-14
3.平行線截比例線段性質：
(1)如圖1-14，在△ABC 中，
若 PQ// BC，則 AP：BP ＝ AQ ：QC，且
AP：AB ＝ AQ：AC。
若 AP：PB ＝ AQ ：QC，或 AP：AB ＝
AQ： AC，則 PQ// BC。
(2)如圖1-15，M1、M2、M3皆為直線，若M1
//M2 //M3，且分別與截線L1交於A、B、C
三點，與截線L2 交於D、E、F 三點，則
AB ：BC ＝ DE：EF 。
圖1-15
1-1 自我評量
（D）1.如右圖，矩形甲的長為8，寬
為6。請問，下列哪一個矩形 6
與矩形甲相似？
10
(A)
8
7
(B)
5
4
(C)
6
(D)
3
4
8
甲
（ A）2.如右圖，四邊形ABCD為等腰梯形，且 EF
為中線，則下列敘述何者正確？
(A)四邊形AEFD與ABCD的
內角對應相等。
(B)四邊形AEFD∼四邊形ABCD。
(C)四邊形AEFD與EBCF的對應邊成比例
(D)四邊形AEFD∼四邊形EBCF。
3.若四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D'，AB ：BC ：CD
： DA ＝1：3：4：2，且四邊形A'B'C'D'的周長
為 50，試求 A'B'、 C'D' 。
∵四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D'
∴ AB： BC
： CD
： DA＝
A'B'：B'C：
' C'D'：D'A' ＝1：3：4：2
1
故 A'B' ＝50 × 13 4  2 ＝5
4
C'D' ＝50 × 13 4 2 ＝20
4.設五邊形ABCDE∼五邊形GHKMN，∠A：∠B：
∠C：∠D＝2：4：3：2，且∠E＝100°，試求∠H 、
∠M 。
∵五邊形ABCDE∼五邊形GHKMN
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝
∠G：∠H：∠K：∠M＝2：4：3：2
又∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝540°－∠E＝440°
4
∴∠H＝440° × 2  4 3 2＝160°
2
∠M＝440° ×
＝80°
2 4 3 2
5.如下圖，已知△ABC，回答下列問題：
作法 (1)用尺規依下面作法完成作圖的步驟：
過A點作一條異於 AB 的直線L。
在L上依序取P1、P2、P3三點，
使得 AP1 ＝ P1P2 ＝ P2P3 。
連接 P3B。
過P2作 P2D // P3B ，交 AB 於D 點。
5. 作法
(2)在下面的完成圖中，
 AP2 ： P2P3 ＝_____：_____。
2
1
為什麼 AD ：BD ＝ AP2 ： P2P3 ？
∵ P2D// P3B，
2 P2P3
∴ AD
： BD＝ AP：
連接 CD ，試求△ABC：△ADC的比值。
△ABC：△ADC＝ AB：AD (同高) ＝3：2
3
∴比值＝ 2
6.如右圖，△ABC 中， MN // BC ， AM ＝3x＋1，
MB ＝x＋1， AN ＝7， NC ＝3，試求x 之值。
∵ MN// BC
∴ AM
： MB＝ AN
： NC
（3x＋1）：（x＋1）＝7：3
x＝2
7.如右圖，L1、L2、L3、L4皆為直線，若L1 // L2 // L3
// L4，直線M1 與M2 為截線， AB ：BC：CD ＝2：
3：5， EH ＝30，試求 FH 。
∵ L1 // L2 // L3 // L4
∴ AB
： BC： CD＝
EF：FG：GH ＝2：3：5
又 EH ＝30
3

5
故 FH ＝30． 235 ＝24