Transcript PPT

A polinomalgebra elemei
Ábrahám Gábor
Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium
Szeged
Az egyhatározatlanú polinom
• A továbbiakban az R jelentse a
, , halmazok valamelyikét.
, , , , míg K a
Definíció: Az R fölötti egyhatározatlanú polinomok az
p( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n (ai  R)
alakú formális kifejezések, azzal a megállapodással, hogy
n
m
i
n  mesetén  ai x   b j x j akkor és csak akkor, ha
i 1
j 1
a0  b0 , a1  b1 ,...,an  bn , és bn1  ...  bm  0
Ha p(x)-ben an  0 , akkor az n számot a p fokszámának nevezzük. Az
an -et a p főegyütthatójának. Ha an =1, akkor p főpolinom.
• Az R fölötti polinomok halmazát a továbbiakban R[x]-szel
jelöljük.
• Az R[x] halmazon definiálható az összeadás és a szorzás
az ismert módon.
• Nyilván R[x] additív egységeleme a 0 konstans polinom, a
n
n
i
 ai x additív inverze a  ()ai xi polinom.
i 1
i 1
 p fokszáma, ha p  0
• A p  R  x polinomra legyen p  1,
ha p  0


• Definíció:
A p R[x]-beli polinom osztója a q R[x]-beli polinomnak, ha
létezik r R[x]-beli polinom, hogy q=rp. Jel.: p|q
• Az R[x]-beli polinomokra fennállnak az egész számok köréből jól ismert
oszthatósági tulajdonságok.
• Az R[x]-ben az egységelem osztóit egységeknek nevezzük, melyek K[x]-ben
a 0 polinomtól különböző konstanspolinomok,  x  -ben az 1, -1
konstanspolinomok.
• Ha a p és q polinom elem R[x]-nek, valamint teljesül rájuk, hogy p|q és q|p,
akkor p és q polinomok asszociáltak. Jel.: p q.
• A q polinomot, mely elem R[x]-nek irreducibilis polinomnak nevezzük, ha
nem a 0 polinom és nem egység, valamint q-nak a saját asszociáltjain ill. az
egységeken kívül nincs más osztója.
• Maradékos osztás tétele:
Ha f és g polinom eleme K[x]-nek és g nem a 0 polinom, akkor
egyértelműen létezik olyan q és r K[x]-beli polinom, hogy f=gq+r, ahol
r*<g*.
Polinom helyettesítési értéke, gyöke
n
i
p
(
x
)


a
x
• Definíció: Legyen
polinom eleme az R[x]-nek és c
i
i 1
eleme R-nek. Ekkor a p polinom c helyen vett helyettesítési értéke
n
az R-beli p(c)   ai ci elem. Ha p(c)=0, akkor c a polinom gyöke.
i 1
• A közismert a k  bk  (a  b)(a k 1  a k 2b  ...  bk ) felhasználásával
könnyen bizonyítható az alábbi tétel:
• 1. Tétel: Tetszőleges R[x]-beli p polinom és R-beli c szám esetén
létezik olyan R[x]-beli q polinom, hogy p(x)=(x-c)q(x)+p(c).
• Következmény: Ha a és b két egész szám és p egész együtthatós
polinom, akkor a-b|p(a)-p(b).
Bézout-tétel és következményei
• Bezout-tétel:
• Legyen a p polinom eleme R[x]-nek. Az R-beli c elem akkor és csak
akkor gyöke p-nek, ha x-c|p(x).
• Következmények:
• 1. Legyen a p polinom eleme R[x]-nek és a c1 , c2 ,..., ck  R elemek
páronként különbözők. A c1 , c2 ,..., ck akkor és csak akkor gyöke a p
polinomnak, ha ( x  c1 )( x  c2 )...( x  ck ) osztója p-nek.
• 2. Ha p eleme R[x]-nek, nem a nullapolinom és fokszáma n, akkor pnek legfeljebb n db gyöke van R-ben.
• 3. Ha az R[x]-beli p és q legfeljebb n-edfokú polinom helyettesítési
értéke legalább n+1 R-beli helyen megegyezik, akkor a két polinom
egyenlő.
A klasszikus algebra alaptétele és következményei
• Alaptétel:
• Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinomnak van
komplex gyöke.
• Következmények:
1. A  x -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha
elsőfokú.
2. Bármely legalább első fokú  x -beli p polinom felírható a tényezők
sorrendjétől eltekintve egyértelműen
p( x)  a( x  c1 )...( x  cn ) (a, c1 ,..., cn  ) (1)
alakban, ahol a a polinom főegyütthatója, c1 , c2 ,..., cn a gyökei.
(Az (1) a p polinom gyöktényezős alakja.)
3. Az  x -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha
elsőfokú, vagy olyan másodfokú, melynek nincs valós gyöke.
Viѐte képletei
n
• Legyen p( x)   ai xi valós együtthatós n-edfokú (n>0) polinom,
i 1
gyöktényezős alakja p( x)  an ( x  c1 )...( x  cn ) (an , c1 ,..., cn  .)
Ekkor
an 1
 (c1  c2  ...  cn )
an
an  2
 c1c2  c1c3 ...  cn 1cn
an
an 3
 (c1c2 c3  c1c2c4  ...  cn  2cn 1cn )
an
...
a1
n 1
  1 (c1c2 c3 ...cn 1  c1c2 ...cn  2cn 1  ...  c2c3 ...cn )
an
a0
n
  1 c1c2 ...cn
an
Szimmetrikus polinomok
• A többhatározatlanú polinomok közül kitűnnek azok,
melyek a határozatlanok semmiféle permutációjával sem
változnak. Az ilyen polinomokban valamennyi
határozatlan szimmetrikusan szerepel, ezért ezeket
szimmetrikus polinomoknak nevezzük.
S ( x 2 y)  x 2 y  y 2 z  z 2 x  xy 2  yz 2  zx 2
• Pl:
S ( x3 y 2 z )  x3 y 2 z  x3 yz 2  xy 3 z 2  xy 2 z 3  x 2 y3 z  x 2 yz 3
• Könnyen látható, hogy két szimmetrikus polinom összege,
különbsége, szorzata is szimmetrikus polinom.
• Az n-határozatlanú szimmetrikus polinomok tartalmazzák
mind az n határozatlant.
A c1 , c2 ,..., cn határozatlanok elemi
szimmetrikus polinomjai
A szimmetrikus polinomok alaptétele
• Tétel:
• Bármely szimmetrikus polinom kifejezhető
elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként.
• Unicitástétel:
• Minden szimmetrikus polinom csak
egyféleképpen fejezhető ki elemi szimmetrikus
polinomok polinomjaként.
k
k
k
h

x

x

...

x
n hatványösszegek felírása elemi
A k 1 2
szimmetrikus polinomok polinomjaként,
Newton képletei
nk
hk 1  s1  hk  S ( x1k 1 x2 )
hk  2  s2  S ( x1k 1 x2 )  S ( x1k 1 x2 x3 )
...
hk l  sl  S ( x1k l 1 x2 ...xl )  S ( x1k l 1 x2 ...xl xl 1 ) (2  l  k  2)
...
h1  sk 1  S ( x12 x2 ...xk 1 )  ksk
• Az előző egyenlőségek alternáló összege adja az alábbi összefüggést:
hk  hk 1s1  hk  2 s2  ...  (1)
k 1
h1sk 1  (1) hk  0
k
nk
hk 1  s1  hk  S ( x1k 1 x2 )
hk  2  s2  S ( x1k 1 x2 )  S ( x1k 1 x2 x3 )
...
hk l  sl  S ( x1k l 1 x2 ...xl )  S ( x1k l 1 x2 ...xl xl 1 ) (2  l  n  1)
...
hk  n  sn  S ( x1k  n 1 x2 ...xn )
hk  hk 1s1  hk  2 s2  ...  (1) n hk  n sn  0