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機 械 設 計
第 五 章
柱
( Column )
5-1 本章宗旨
柱是一種承受軸向壓力的結構元件
柱的破壞可能會以彈性不穩定或挫曲(buckling)
的方式破壞，而不以壓碎型式破壞。
若柱的剛性在負荷下不足以維持其直度，即
所謂的彈性不穩定。
細長狀的構件
較易產生挫曲
5-2 柱之橫斷面性質
1. 橫截面積，A。
2. 慣性矩，I，取軸中之最小 I 處。
hb
3
3
bh
hb
Iz 
，I y 
12
12
3
hb
I  I min  I y 
12
3. 定義斷面迴轉半徑，r
r
I
A
慣性矩較小方向
較易產生挫曲
5-3 端點固定方式及有效長度
柱之有效長度 (effective length)
Le  KL
L  柱在二支點間的實際長度
K 依端點的固定型式而決定
5-4 細長比
細長比 (slenderness ratio)
Le
細長比  Sr 
r
5-5 過渡細長比
過渡細長比 (transition slenderness ratio) 也稱為
柱常數 (column constant)
2 2 E
過渡細長比  Cc 
sy
E  柱之彈性模數
s y  降伏強度
直柱受軸心負荷的挫曲公式有二：
尤拉公式適用於細長柱： 條件 Sr  Cc
J. B. Johnson 公式適用於短柱：條件 Sr  Cc
5-6 長柱分析：尤拉公式
造成挫曲的臨界負荷 Pcr
Pcr 
 2 EA
( KL / r )2

 2 EA
Sr 2
若 N  設計因數，則允許負荷 Pa 為
Pcr
Pa 
N
[例題5-1] 一直徑為1.25 in，長 4.50 ft 之實心圓柱，
兩端均為栓接。若材質為 AISI 1020 CD 鋼，則柱
之安全容許負荷為多少？( N = 3)
[解] 1. 兩端栓接 K  1.0
2. 實圓柱斷面

r
I

A
64

4
d4
d2

2
d
d 1.25
 
 0.3125 in
4
16 4
KL 1.0[4.5(12)]
3. Sr 

 172.8
r
0.3125
4. AISI 1020 CD
E  30(106 ) psi，s y  51000 psi
2 E
2 [30(10 )]
Cc 

 107 .8
sy
51000
2
2
6
5. Sr  Cc ，適用尤拉長柱公式
Pcr 
 EA  [30(10 )][ (1.25) / 4]
2
Sr
2

2
6
(172 .8)
2
2
Pcr 12.2(103 )
Pa 

 4067 lb
N
3
 12.2(10 ) lb
3
5-7 短柱分析：J. B. Johnson 公式
造成挫曲的臨界負荷 Pcr
Pcr  As y [1 
 As y [1 
s y ( KL / r )
2
4 E
2
Sr
2
2Cc
2
]
( KL / r ) 2
]
]  As y [1 
2 2 E
2(
)
sy
若 N  設計因數，則允許負荷 Pa 為
Pcr
Pa 
N
[例題5-2] 矩形斷面(12 mm18 mm)，長 280 mm ，
材質為 AISI 1040 HR 之鋼柱，底端以緊配合方式
鎖入套管中，並小心的焊接，頂端則為栓接，試
求臨界負荷為多少？
[解] 1. 一端固定一端栓接 K  0.8
2. 12 mm  18 mm 斷面
b為較小邊長
h 3
b
2
2
I
b
12
12
r



 3.464 mm
A
hb
12
12
KL 0.8(280 )
3. Sr 

 64.7
r
3.464
4. AISI 1040 HR
E  207 GPa ，s y  290 MPa
2 E
2 [207 (10 )]
Cc 

 118 .7
sy
290
2
2
3
5. Sr  Cc ，適用 J. B. Johnson 短柱公式
Pcr  As y [1 
Sr
2
2Cc
]
2
64.72
3
 [12(18)](290 )[1 
]

53
.
3
(
10
)N
2
2(118 .7)
習題：
1, 2, 7