Transcript 投影片1

數理經濟學
數理經濟學
這門課的目的是要介紹經濟領域
所會用到的一些基礎數學工具
所以課程涵蓋三個部分
總體領域、個體領域、計量領域
回顧大學部的總體經濟學，
你用到了哪些數學工具或分析
方法？
理論模型要如何分類？
如何操作？
靜態模型
y=C+I+G
C=a+b(y–T)
I = I0， G = G0，
T=T0
靜態模型
• 靜態分析－
探討靜止狀態均衡的存在性、唯一性、
安定性
唯一性
存在性
E
45
E=C+I+G
y
y*
安定性 －由不均衡自動走向均衡
E
45
E=C+I
y
y*
y1
存在性
y* = ( a + I0 + G0 – b T0 ) / ( 1 – b )
安定性
dy/dt=k(C+I+G–y)
靜態模型
• 靜態分析－
探討靜止狀態均衡的存在性、唯一性、
安定性
• 比較靜態分析 －
比較兩個靜止狀態均衡的差異性
外生變數變動對內生變數變動的影響
E
45
E=C+I+G1
E=C+I+G
y
y*
y1
y* = ( a + I0 + G0 – b T0 ) / ( 1 – b )
△y* =△ G0 / ( 1 – b )
安定性的用途
1. 當均衡值不只一個時，
可以利用安定性排除不安定的
解值
E
45
A
E=C+I+G
B
y
y1
y*
安定性的用途
1. 當均衡值不只一個時，
可以利用安定性排除不安定的
解值
2. 當比較靜態分析的正負
無法判定時可利用安定性的條
件得到確定方向
比較靜態分析要有意義必須體系是安定的
E
45
C
A
E=C+I+G1
E=C+I+G
B
D
y
y1
y*
例：
IS：y = C ( y – T ) + I ( r , y ) + G
LM： M / P = L ( r, y )
求：
安定性 ，△y/△G = ？
假設利率瞬間調整以維持貨幣市
場始終均衡
IS曲線的斜率可正可負
1  cy  I y
r
 0 if c y  I y  1
IS 
y
Ir
LM曲線的斜率為正
r
y
LM

Ly
Lr
0
LM比IS 陡 體系是安定的
r
B
LM
IS
IS
A
y
Δy = CyΔy + Ir Δr + IyΔy + ΔG
0 = LrΔr + LyΔy
1
y
Ir

Ly
G 1  c y  I y
 ( )
Ir
Lr
靜態模型－靜態分析
比較靜態分析
動態模型－動態分析
比較動態分析
動態模型
新古典成長模型：
d k / d t = s f (k) – n k
動態模型
• 動態分析－
探討長、短期均衡的存在性、唯一性、
安定性
dk/dt=(I/K–n)k
=(S/K–n)k
I=S
短期均衡
=(sY/K–n)k
= (s y / k – n ) k
= s f ( k ) – n k =0 長期均衡
nk
sf
0
k0
k*
k
d k / d t = s f (k) – n k
k*
k0
解值存在、唯一且安定
t
安定－短期均衡會收斂到長期均衡
動態模型
• 動態分析－
探討長、短期均衡的存在性、唯一性、
安定性
• 比較動態分析 －
外生變數變動對內生變數之長、短期均
衡的影響
nk
sf
k*
k1
k
k1
k*
t
例：
IS：y = C ( y – T ) + I ( r ) + G
LM： M / P = L ( r, y )
dM/dt=P(G–T)
T=ty
求：
安定性 ，△y/△G = ？
靜態模型： IS - LM
動態模型：新古典成長模型
為什麼不用靜態模型？
政策
預料到
未預料到
永久性
t
T
t
0
暫時性
T1
T2
t
0
T2
t
靜態模型： IS - LM
動態模型：新古典成長模型
傳統的總體模型
傳統的總體動態模型：
d k / d t = s f (k) – n k
IS：y = C ( y – T ) + I ( r ) + G
LM： M / P = L ( r, y )
dM/dt=P(G–T)
T=ty
如何操作這樣的模型－是本課程的
第一個重點
缺點：行為方程式沒有個體基礎
靜態模型： IS - LM
動態模型：新古典成長模型
傳統的總體模型
跨期最適化總體模型
最適化－追求滿足目標函數極大或極小
透過一階條件求取最適之行為方程式
d k / d t = s f (k) – n k
Max C = ( 1 – s ) f ( k )
s. t. d k / d t = s f (k) – n k
跨期－涵蓋多期的意思
m ax
c ,k


u( c )dt
0
s .t . k  f ( k )  c  nk
如何操作這樣的模型－是本課程的
第二個重點
跨期最適化總體模型
傳統的總體模型
最適控制
(Optimal Control)
單一或聯立微分方程
的求解與運算