Transcript Snímka 1

Dynamika sústavy hmotných bodov (SHB)
Veta o pohybe ťažiska, 1 a 2 veta impulzová. Zrážky.
Zakony zachovania pre SHB. Kinetická energia a
moment zotrvačnosti rotujúcej SHB.
Ťažisko, polohový vektor ťažiska sústavy
hm. b.
m1
r1
y
xT
r*
m2
Ťažisko
x m2

y m1
r2
Polohový vektor ťažiska
r *  r1  x
r2  r *  y
y  r2  r
m2
x
y
m1
*
?
m2
r  r1 
y
m1
m2
*
r  r1 
r2  r *
m1
?
*


r *m1  r1m1  r2 m2  r *m2
Ťažisko SHB je pôsobisko
gravitačných síl
Ťažisko dvoch hm. b. je taký bod na
ich spojnici, ktorý ju delí v obrátenom
pomere ich hmotností.
r1m1  r2 m2
r 
m1  m2
*
zovšeobecnením pre n – hmotných bodov

r* 

 ri mi
i
m
i
i


 ri mi
i
m


1
r

i mi
m i
I. veta impulzová (veta o pohybe ťažiska)     odvodenie
F12 , F21 , F13 , F31 ...
  
Vonkajšie sily Fe1 , Fe 2 , Fe 3
Vnútorné sily
m1
Fe1




Fe1  F21  F31  m1a1




Fe2  F12  F32  m2a2




Fe3  F13  F23  m3a3
Sústava
pohybových
rovníc pre
SHB
F21
F12 m2
F31
T
F13
F32
Fe 2
F23
m3
F
e
Označíme:

F




Fe1  F21  F31  m1a1




Fe2  F21  F32  m2a2




Fe3  F31  F32  m3a3






Fe 1  Fe 2  Fe3  m1a1  m2a2  m3 a3


N 
N

 dvi d 2 ri
Fei  mi ai
zovšeobecnenie
ai 
 2
dt dt
i 1
i 1
+

Fe3
N

i 1
Dokažeme

Fei


F13  F31


F12  F21


F23  F32

N
je výslednica vonkajších
síl, pôsobiacích na
sústavu

*
F  ma
m   mi
i 1
kde
je celková
hmotnosť sústavy
*
a je zrýchlenie ťažiska
Veta o pohybe ťažiska
 N d 2ri d 2  N  
F   mi dt 2  dt 2   mi ri 
 i 1
i 1

F
m

m

2 *
d2  1 N  
*
d
r
 m 2   mi ri   m

m

a
2
dt  m i 1

dt
Polohový vektor
hmotného stredu
SHB

*
F  ma
* 1

a   mi ai
m i
* 1 N 
r   mi ri
m i 1
Hmotný stred SHB sa pohybuje tak, ako keby všetka
hmotnosť sústavy bola sústredená v hmotnom strede
a všetky vonkajšie sily pôsobili v hmotnom strede
N
Súradnice
hmotného stredu
SHB
x 
*
m x
i i
i 1
m
N
N
y 
*
m y
i i
i 1
m
z* 
m z
i i
i 1
m
I. veta impulzová
Súčet pohybových rovníc SHB:
Celková hybnosť SHB

 N d 2ri N dvi d  N   dH
   mi vi  
F   mi 2   mi
dt
dt
dt  i 1
dt
i 1
i 1


 dH
F
dt
 

dH  F  dt  dI
Keď

F 0

H

i 1

Hi
 N 
  mi vi 
 i 1


 

I  H 2  H1

H  konst
  N    N dri  d  N  
H    mi vi     mi     mi ri 
 i 1
  i 1 dt  dt  i 1

*
N


d 1
*
dr
H m
  mi ri   m
 mv
dt m  i 1
dt

Polohový vektor
hmotného stredu
SHB
N
m

m

*
H  mv
Hybnosť sústavy častic je rovná súčinu jej
celkovej hmotnosti M a rýchlosti jej ťažiska
Príklad na pohyb ťažiska
z
Na ťažisko sústavy počas letu pôsobí vonkajšia sila:
m
* 
 Fe  ma  Fg
po explózii naďalej
F
e
 Fg
a*  g
m2
T
y
x
m1
m  m1  m2
Stlačené gumené guľôčky vrhnuté pod uhlom a s rýchlosťou v0 (šikmý vrh), ktoré v
čase dosiahnutia maxima explodujú.
Ťažisko sústavy sa aj po explózii pohybuje po parabole. Explózia vnútri
sústavy sa prejavila len pôsobením vnútorných síl a nemá vplyv na pohyb
ťažiska sústavy. Explózia pre jednoduchosť bola uvažovaná len v smere osi x.
Druhá veta impulzová pre SHB

r1 
r2 
+ r3 
   
Vnútorné sily F12 , F21 , F13 , F31 ...
  
+
F
,
F
,
F
Vonkajšie sily
e1 e 2 e 3
m1
F21
F12 m2
N


F

31
F
Me1  ri FF32e i  F
r1
O

i 1 r
N

e2
 
ri  Fe i  
i 1
  

Fe1  F21  F31  m1a1

 

Fe2  F12  F32  m2a2
  

Fe3  F13  F23  m3a3
N
N
i 1
j 1

 
ri  Fi j  
2
Celkový moment
F13 síl,
vonkajších
F23
pôsobiacich na
SHBm3
r3
Dôkaz:

L
 0 z 3.N.Z.

2
d 
d ri
 dri
 
ri  mivi    mivi  ri  mi 2
dt
dt
dt
Fe3
N

i 1
 
ri  H i
Celkový moment
hybnosti SHB


d 2 ri 
 ri  mi 2 
dt 
i 1 
N

d N 

  ri  mi vi 
dt i 1
d N  
  ri  H i 
dt i 1

 dL
M
dt
Zákony zachovania pre izolovanú sústavu
hmotných bodov




 dH
1. V.I.
Keď F  0
H  konst
Fv   F 
v
dt
2. V.I.

 dL
M
dt
Keď

M 0
Ec  Ekin  E pot  konst

L  konst
Kinetická energia rotujúcej SHB

v3
všeobecne
v1
r1
v2
r3
Pre i-ty bod:
1 2
Ek  mv
2
1
Eki  mi vi2
2
vi  i ri
r2
1
Ek   mi vi2
i 2
1 2
Ek   J
2
  i
1
2
  mi i ri 
2 i
1 2
   mi ri 2
2
i
J   mi ri
2
i
J ... moment zotrvačnosti
Moment zotrvačnosti
8
J   mi ri 2
J s   mi ri 2
m8
r5
m4
m1
r6
r1
x
a
r2
2
m3
m2
a 2
a2  a2

r1 , r2 ,...,r8 
2
2
2

a
2
 a 
 a 
 a 
J  m1 
  m2 
  ...  m8 

 2
 2
 2
m6
r3
r4
m1  m2  ...mi  m8
Nech
m7
r7
r8 z
m5
i 1
?
i
 m1r12  m2r22  ... m8r82
J s  4m1a 2
y
2
Moment zotrvačnosti
8
J   mi ri 2
J r   mi ri
2
i
 m1r12  m2r22  ... m8r82
i 1
?
Nech
m1  m2  ...mi  m8
r1 , r3 , r5 , r7  a r4 , r8  0 r2 , r6  a 2
mz8
m5
r7
r5
r6
m7
 
2
2

J  m1 4a  2 a 2 


m6
J r  8m1a 2
r3
m4
m1
x
r1
a
r2
m3
m2
y
J s  4m1a 2
J r  8m1a 2
porovnanie: ak sú hmotné body viac vzdialené od osi rotácie,
moment zotrvačnosti sústavy je väčší
Zrážky
Zrážka je krátkodobý dej, pri ktorom dve alebo viac
telies na seba vzájomne pôsobia dosť značnými silami
Izolovana sústava
Pred zrážkou
Zrážka
Po zrážke
Pri zrážke telies v uzavretej izolovanej sústave hybnosť
každého telesa sa mení, ale celková hybnosť sústavy v
každom okamihu zrážky je rovnaká

H  konst
Pružná stredová zrážka 2 telies
v1
v2
Zachováva sa celková hybnosť a
celková mechanická energia
sústavy
m1v1  m2v2  m1v1  m2v2
(1)
1
1
2 1
2
2 1
m1v1  m2v2  m1v1  m2v22
2
2
2
2
(2)
(1) :
m1v1  v1   m2 v2  v2 
(2) :
m1v1  v1 v1  v1   m2 v2  v2 v2  v2 
m1  m2
2m2
v1 
v1 
v2
m1  m2
m1  m2
v2 
2m2
m1  m2
v1 
v2
m1  m2
m1  m2
Nepružná zrážka 2 teles
Nepružná srážka: celková kinetická energie sa nezachováva
v1
v2
m1v1  m2v2  m1v1  m2v2
1
1
2 1
2
2 1

m1v1  m2v2  m1v1  m2v22
2
2
2
2
Dokonale nepružná zrážka 2 telies
Šikmé zrážky
v2
v1
v1
Pružná šikmá zrážka 2 častíc jedna z ktorých do zrážky bola v kľude
Šikmá pružná zrážka

v2



m1v1  0  m1v1  m2v2

v1

v1
x:
m1v1  m1v1cos1  m2v2 cos2
y:
0  m1v1sin1  m2v2 sin2
1
1
2
2 1

m1v1  m1v1  m2v22
2
2
2